2025届百校大联考全国名校联盟高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2025届百校大联考全国名校联盟高二数学第一学期期末学业质量监测模拟试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．点分别为椭圆左右两个焦点，过的直线交椭圆与两点，则的周长为（）A.32 B.16C.8 D.42．设等差数列的前n项和为，且，则（）A.64 B.72C.80 D.1443．过点作圆的切线，则切线的方程为（）A. B.C.或 D.或4．设实系数一元二次方程在复数集C内的根为、，则由，可得.类比上述方法：设实系数一元三次方程在复数集C内的根为，则的值为A.﹣2 B.0C.2 D.45．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则为（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形6．在等比数列中，，是方程的两个实根，则（）A.-1 B.1C.-3 D.37．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称为三角形的欧拉线已知的顶点，则的欧拉线方程为（）A. B.C. D.8．在平面直角坐标系中，已知点，，，，直线AP，BP相交于点P，且它们斜率之积是.当时，的最小值为（）A. B.C. D.9．空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（）A. B.C. D.10．2021年4月29日，中国空间站天和核心舱发射升空，这标志着中国空间站在轨组装建造全面展开，我国载人航天工程“三步走”战略成功迈出第三步.到今天，天和核心舱在轨已经九个多月.在这段时间里，空间站关键技术验证阶段完成了5次发射、4次航天员太空出舱、1次载人返回、1次太空授课等任务.一般来说，航天器绕地球运行的轨道近似看作为椭圆，其中地球的球心是这个椭圆的一个焦点，我们把椭圆轨道上距地心最近（远）的一点称作近（远）地点，近（远）地点与地球表面的距离称为近（远）地点高度.已知天和核心舱在一个椭圆轨道上飞行，它的近地点高度大约351km，远地点高度大约385km，地球半径约6400km，则该轨道的离心率为（）A. B.C. D.11．抛物线的焦点到准线的距离为（）A. B.C. D.12．为迎接2022年冬奥会，某校在体育冰球课上加强冰球射门训练，现从甲、乙两队中各选出5名球员，并分别将他们依次编号为1，2，3，4，5进行射门训练，他们的进球次数如折线图所示，则在这次训练中以下说法正确的是（）A.甲队球员进球的中位数比乙队大 B.乙队球员进球的中位数比甲队大C.乙队球员进球水平比甲队稳定 D.甲队球员进球数的极差比乙队小二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．双曲线的离心率为____14．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为___________尺.15．如图将自然数，…按到箭头所指方向排列，并依次在，…等处的位置拐弯．如图作为第一次拐弯，则第33次拐弯的数是___________，超过2021的第一个拐弯数是____________16．已知定义在R上的函数的导函数，且，则实数的取值范围为__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆C：（）的离心率为，并且经过点，（1）求椭圆C的方程；（2）设点关于坐标原点的对称点为，点为椭圆C上任意一点，直线的斜率分别为，，求证：为定值18．（12分）给定函数.（1）判断函数f（x）的单调性，并求出f（x）的极值；（2）画出函数f（x）的大致图象，无须说明理由（要求：坐标系中要标出关键点）；（3）求出方程的解的个数.19．（12分）已知椭圆的离心率为，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若，分别为椭圆的上，下顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于另一点（异于椭圆的右顶点），交轴于点，直线与直线相交于点.求证：直线的斜率为定值.20．（12分）已知椭圆的离心率为，长轴长为，F为椭圆的右焦点（1）求椭圆C的方程；（2）经过点的直线与椭圆C交于两点，，且以为直径的圆经过原点，求直线的斜率；（3）点是以长轴为直径的圆上一点，圆在点处的切线交直线于点，求证：过点且垂直于的直线过定点21．（12分）已知是抛物线上的焦点，是抛物线上的一个动点，若动点满足，则的轨迹方程.22．（10分）在等差数列中，已知公差，且成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】由题意结合椭圆的定义可得，而的周长等于，从而可得答案【详解】解：由得，由题意得，所以的周长等于，故选：B2、B【解析】利用等差数列下标和性质，求得，再用等差数列前项和公式即可求解.【详解】根据等差数列的下标和性质，，解得，.故选：B.3、C【解析】设切线的方程为，然后利用圆心到直线的距离等于半径建立方程求解即可.【详解】圆的圆心为原点，半径为1，当切线的斜率不存在时，即直线的方程为，不与圆相切，当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即所以，解得或所以切线的方程为或故选：C4、A【解析】用类比推理得到，再用待定系数法得到，，再根据求解.【详解】，由对应系数相等得：，.故选：A.【点睛】本题主要考查合情推理以及待定系数法，还考查了转化化归的思想和逻辑推理的能力，属于中档题.5、B【解析】由余弦定理可得，再利用可得答案.【详解】因为，所以，由余弦定理，因为，所以，又，∴，故为直角三角形.故选：B.6、B【解析】由韦达定理可知，结合等比中项的性质可求出.【详解】解：在等比数列中，由题意知：，，所以，，所以且，即.故选：B.7、D【解析】根据题意得出的欧拉线即为线段的垂直平分线，然后求出线段的垂直平分线的方程即可.【详解】因为，所以线段的中点的坐标，线段所在直线的斜率，则线段的垂直平分线的方程为，即，因为，所以的外心、重心、垂心都在线段的垂直平分线上，所以的欧拉线方程为.故选：D【点睛】本题主要考走查直线的方程，解题的关键是准确找出欧拉线，属于中档题.8、A【解析】设出点坐标，求得、所在直线的斜率，由斜率之积是列式整理即可得到点的轨迹方程，设，根据双曲线的定义，从而求出的最小值；【详解】解：设点坐标为，则直线的斜率；直线的斜率由已知有，化简得点的轨迹方程为又，所以点的轨迹方程为，即点的轨迹为以、为顶点的双曲线的左支（除点），因为，设，由双曲线的定义可知，所以，当且仅当、、三点共线时取得最小值，因为，所以，所以，即的最小值为；故选：A9、A【解析】由空间向量共面定理构造方程求得结果.【详解】空间四点共面，但任意三点不共线，，解得：.故选：A.10、A【解析】根据远地点和近地点，求出轨道即椭圆的半长轴和半焦距，即可求得答案.【详解】设椭圆的半长轴为a，半焦距为c.则根据题意得;解得，故该轨道即椭圆的离心率为，故选：A11、C【解析】根据抛物线方程求出焦点坐标与准线方程，即可得解；【详解】解：因为抛物线方程为，所以焦点坐标为，准线的方程为，所以焦点到准线的距离为；故选：C12、C【解析】根据折线图，求出甲乙中位数、平均数及方差、极差，即可判断各选项的正误.【详解】由题图，甲队数据从小到大排序为，乙队数据从小到大排序为，所以甲乙两队的平均数都为5，甲、乙进球中位数相同都为5，A、B错误；甲队方差为，乙队方差为，即，故乙队球员进球水平比甲队稳定，C正确.甲队极差为6，乙队极差为4，故甲队极差比乙队大，D错误.故选：C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由题意得：考点：双曲线离心率14、【解析】利用等差数列的通项公式求出首项和公差，然后求出其中某一项.【详解】解：由题意得从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，设其公差为，解得故立夏的日影子长为尺.故答案为：15、①.②.【解析】根据题意得到拐弯处的数字与其序数的关系，归纳得到当为奇数为；当为为偶数为，分别代入，即可求解.【详解】解：由题意，拐弯处的数字与其序数的关系，如下表：拐弯的序数012345678拐弯处的数1235710131721观察拐弯处的数字的规律：第1个数；第3个数；第5个数；第7个数；，所以当为奇数为；同理可得：当为为偶数为；第33次拐弯的数是，当时，可得，当时，可得，所以超过2021第一个拐弯数是.故答案为：；.16、【解析】由题意可得在R上单调递增，再由，利用函数的单调性转化为关于的不等式求解【详解】定义在R上的函数的导函数，在R上单调递增，由，得，即实数的取值范围为故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）证明见解析【解析】（1）根据题意可列出关于的三个方程，解出即可得到椭圆C的方程；（2）根据对称可得点坐标，再根据斜率公式可得，然后由点为椭圆C上的点得，代入化简即可求出为定值【小问1详解】由题意解得，.所以椭圆C的方程为.【小问2详解】因为点关于坐标原点的对称点为，所以的坐标为.，，所以，又因为点为椭圆C上的点，所以.18、（1）函数的减区间为，增区间为，有极小值，无极大值；（2）具体见解析；（3）具体见解析.【解析】（1）对函数求导，进而求出单调区间和极值；（2）结合（1），并代入几个特殊点，再结合函数的变化趋势作出图象；（3）结合（2），采用数形结合的方法求得答案.【小问1详解】，时，，单调递减，时，，单调递增，故函数在x=-1处取得极小值为，无极大值.【小问2详解】作图说明：由（1）可知函数先减后增，有极小值；描出极小值点，原点和点（1，e）；当时，函数增加得越来越快，当时，函数越来越接近于0.【小问3详解】结合图象可知，若，则方程有0个解；若，则方程有2个解；若或，则方程有1个解.19、（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）根据条件求出，即可写出椭圆方程；（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆，可表示出坐标，继而得出直线的方程，令可得的坐标，即可求出直线的斜率并得出定值.【详解】（1）设椭圆的焦距为，则①，②，又③，由①②③解得，，，所以椭圆的标准方程为.（2）证明：易得，，直线的方程为，因为直线不过点，所以，由，得，所以，从而，，直线的斜率为，故直线的方程为.令，得，直线斜率.所以直线的斜率为定值.【点睛】本题考查椭圆的方程的求法，考查椭圆中的定值问题，属于中档题.20、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）由题意中离心率和长轴长可求出，即可求出椭圆方程.（2）设出与的坐标即直线的方程，把直线与椭圆方程进行联立写出韦达定理，由题意以为直径圆经过原点可得，化简即可求出直线的斜率.（3）由题意可得圆的方程，设，由和直线的方程化简，即可得到答案.【小问1详解】，，椭圆C的方程为.【小问2详解】由题意知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为.设.把直线的方程与椭圆的方程进行联立得：..由以为直径圆经过原点知，..经检验，满足，所以.【小问3详解】由题意可得圆的方程为，设，由得.①.当时，，直线的方程为.直线过椭圆的右焦点.当时，直线的斜率为且过，②把①代入②中得.故直线过椭圆的右焦点.综上所述，直线过椭圆的右焦点.21、【解析】由抛物线的方程可得到焦点坐标，设，写出向量的坐标，由向量间的关系得到，将点代入物线即可得到轨迹方程.【详解】由抛物线可得：设①在上，将①代入可得：，即.【点睛】求轨迹方程，一般是求谁设