专题27.1图形的相似-2020-2021学年九年级数学下册尖子生培优题典

20202021学年九年级数学下册尖子生同步培优题典【人教版】专题27.1图形的相似姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，其中选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2019秋•红桥区期末）下列各组图形中，是相似图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据相似图形的定义，对选项进行一一分析，排除错误答案．【解析】A．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；B．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；C．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；D．形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，此选项符合题意；故选：D．2．（2019秋•榆次区期中）在如图所示的各组图形中，相似的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．②④【分析】根据相似多边形的性质对各组多边形进行逐一判断即可．【解析】①∵正六边形与一般六边形的对应边不成比例，∴两图形不相似；②∵正方形的各角相等，且对应边的比相等，∴两正方形相似；③∵菱形的角相等，对应边的比也相等，∴两个菱形相似．④两个矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，∴两个矩形不一定相似．故选：C．3．（2018秋•丰顺县期末）如图所示的三个矩形中，其中相似形是（）A．甲与乙 B．乙与丙 C．甲与丙 D．以上都不对【分析】根据矩形相似的条件，判断对应边的比是否相等就可以．【解析】因为43因为21因为43故选：B．4．（2019秋•东营期中）如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图不一定相似的是（）A． B． C． D．【分析】根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案．【解析】矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件，故A符合题意；锐角三角形、菱形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件，故B、D不符合题意；正五边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件，故C不符合题意．故选：A．5．（2020•亳州模拟）下列图形中，一定相似的是（）A．两个正方形 B．两个菱形 C．两个直角三角形 D．两个等腰三角形【分析】根据相似形的对应边成比例，对应角相等，结合正方形，菱形，直角三角形，等腰三角形的性质与特点对各选项分析判断后利用排除法．【解析】A、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故本选项正确；B、两个菱形的对应边成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；C、两个直角三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误；D、两个等腰三角形的边不一定成比例，角不一定相等，所以不一定相似，故本选项错误．故选：A．6．（2018秋•福田区校级期末）下列说法正确的是（）A．菱形都是相似图形 B．矩形都是相似图形 C．等边三角形都是相似图形 D．各边对应成比例的多边形是相似多边形【分析】利用相似图形的定义分别判断后即可确定正确的选项．【解析】A、菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等，故错误，不符合题意；B、矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例，故错误，不符合题意；C、等边三角形的对应边成比例，对应角相等，故正确，符合题意；D、各边对应成比例的多边形的对应角不一定相等，故错误，不符合题意，故选：C．7．（2019秋•浦东新区校级月考）下列说法中，正确的是（）A．等腰三角形都是相似形 B．等边三角形都是相似形 C．平行四边形都是相似形 D．菱形都是相似形【分析】利用相似图形的定义分别判断后即可确定正确的选项．【解析】A、等腰三角形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，故错误，不符合题意；B、等边三角形都是相似形，正确，符合题意；C、平行四边形的对应角不一定相等，对应边不一定成比例，故错误，不符合题意；D、菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等，故错误，不符合题意，故选：B．8．（2019秋•普宁市期中）已知A4纸的宽度为21cm，如图对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似，则A4的高度约为（）A．29.7cm B．26.7cm C．24.8cm D．无法确定【分析】根据相似多边形的对应边的比相等列式计算即可．【解析】设A4纸的高度为xcm，∵对折后所得的两个矩形都和原来的矩形相似，∴12解得，x1＝﹣212（舍去），x2＝212≈29.7则设A4纸的高度为29.7cm，故选：A．9．（2019秋•渭滨区期末）如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝xcm，宽BC＝ycm，把这张纸片沿一组对边AB和DC的中点连线EF对折，对折后所得矩形AEFD与原矩形ADCB相似，则x：y的值为（）A．2 B．2 C．5+12 D【分析】根据相似多边形对应边的比相等，可得到一个方程，解方程即可求得．【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝ycm，由折叠的性质得：AE=12AB=∵矩形AEFD与原矩形ADCB相似，∴AEAD=AD∴x2＝2y2，∴x=2y∴xy故选：B．10．（2019秋•连州市期末）一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个和它相似的多边形的最长边为24，则这个多边形的最短边长为（）A．6 B．8 C．12 D．10【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【解析】设这个多边形的最短边长为x，∵两个多边形相似，∴246解得，x＝8，故选：B．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上11．（2018秋•嘉定区期中）已知两个三角形是相似形，其中一个三角形的两个角分别为25°、55°，则另一个三角形的最大内角的度数为100°．【分析】先根据三角形的内角和定理得出一个三角形的最大内角度数，再根据相似三角形的对应角相等得出另一个三角形最大内角度数．【解析】∵一个三角形的两个角分别为25°、55°，∴第三个角，即最大角为180°﹣（25°+55°）＝100°，∵两个三角形相似，∴另一个三角形的最大内角度数为100°，故答案为：100°．12．若两个相似多边形的对应边分别为4cm和8cm，则它们的相似比为1：2．【分析】根据相似多边形的对应边的比等于相似比即可解决问题．【解析】∵相似多边形的对应边的比等于相似比，∴它们的相似比＝4：8＝1：2，故答案为1：2．13．（2020秋•蜀山区校级月考）以正方形各边的中点为顶点，可以组成一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为2：2．【分析】设正方形ABCD的边长为2a，根据勾股定理求出正方形EFGH的边长，即可求解．【解析】如图，设正方形ABCD的边长为2a，∵E、F、G、H分别为正方形ABCD各边的中点，∴AE＝AH＝a，∵∠A＝90°，∴EH=AE∴新正方形与原正方形的相似比＝EH：AB=2a：2a=2：故答案为：2：2．14．（2019秋•平顶山期中）如图，E、F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点．若矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝6，则AD的长为62．【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【解析】∵矩形ABCD与矩形EABF相似，∴AEAB=AB解得，AD＝62，故答案为：62．15．（2019秋•资阳区期末）如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，且矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝1，则BC的长为2．【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【解析】∵矩形ABCD与矩形EABF相似，∴AEAB=AB解得，AD=2∴BC＝AD=2故答案为：2．16．（2020•朝阳区校级二模）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，AB＝2．点E在矩形ABCD的边BC上，连结AE，将矩形ABCD沿AE翻折，翻折后的点B落在边AD上的点F处，得到矩形CDFE．若矩形CDFE与原矩形ABCD相似，则AD的长为1+5【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【解析】∵矩形CDFE∽矩形ADCB，∴CDAD=DF整理得，AD2﹣2AD﹣4＝0，解得，AD1＝1-5（舍去），AD2＝1+故答案为：1+517．（2019秋•藤县校级期中）如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是67°．【分析】根据相似多边形的对应角相等以及四边形内角和为360°解决问题即可．【解析】如图，∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴∠A′＝∠A＝138°，∴α＝∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣138°﹣80°﹣75°＝67°，故答案为67°．18．（2020春•中山市校级月考）如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为135°．【分析】根据相似三角形的对应角相等即可得出．【解析】∵△ABC∽△DEF，∴∠BAC＝∠EDF，又∠EDF＝90°+45°＝135°，∴∠BAC＝135°．故答案是：135°．三、解答题（本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．在下列两组图形中，每组的两个三角形相似，m表示已知数．试分别确定α、x的值．【分析】如图1中，根据两个相似三角形的对应边成比例，即可求得x的值；如图2中，由相似三角形的对应边成比例，对应角相等，即可求得答案．【解析】如图1中，∵△ABC∽△A′B′C′，∴x18=m2m，∴x＝9；如图2中，∵∠D＝180°﹣65°﹣70°＝45°，∵△ABC∽△A′B′C′，∴α＝∠D＝45°．20．（2019秋•宽城区校级月考）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′．（1）α＝83°（2）求边x、y的长度．【分析】（1）利用相似多边形的对应角相等求得答案；（2）利用相似多边形的对应边成比例列式求得x、y的值；【解析】（1）∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴∠A＝∠A′＝62°，∠B＝∠B′＝75°，∴α＝360°﹣62°﹣75°﹣140°＝83°，故答案为：83°；（2）∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴x8解得：x＝12，y=3321．（2020秋•松江区月考）已知四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，并且点A与点A1、点B与点B1、点C与点C1、点D与点D1对应．（1）已知∠A＝40°，∠B＝110°，∠C1＝90°，求∠D的度数；（2）已知AB＝9，CD＝15，A1B1＝6，A1D1＝4，B1C1＝8，求四边形ABCD的周长．【分析】（1）根据相似多边形的对应角相等解决问题即可．（2）根据相似多边形的对应边成比例，解决问题即可．【解析】（1）∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1相似，∴∠C＝∠C1＝90°，∴∠D＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝360°﹣40°﹣110°﹣90°＝120°．（2）∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1相似，∴ABA∴96∴BC＝12，AD＝6，∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD＝9+12+15+6＝42．22．（2018秋•太原期中）如图，矩形ABCD中，AB＝4，点E，F分别在AD，BC边上，且EF⊥BC，若矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，求AD的长．【分析】利用相似多边形的性质得到ABDE=AEDC=12，而根据矩形的性质得到CD＝AB＝4，从而利用比例性质得到DE＝8，AE【解析】∵矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，∴ABDE∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝4∴4DE∴DE＝8，AE＝2，∴AD＝AE+DE＝2+8＝10．23．（2019秋•孟津县期中）一块长3m，宽1.5m的矩形黑板ABCD，如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5cm，边框的内外边缘所成的矩形ABCD与矩形A'B'C'D相似吗？为什么？【分析】先求出外框的长与宽，再求出对应边的比的值即可判断．【解析】不相似；内边缘的矩形ABCD长AD＝300cm，宽AB＝150cm，外边缘的矩形长A'D'＝315cm，宽A'B'＝165cm，∵ADA'D'=300ADA'D'所以内外边缘所成的两个矩形不相似．24．（2019秋•大观区校级期中）某校九年级数学兴趣小组在探究相似多边形问题时，他们提出了下面两个观点：观点一：将外面大三角形按图1的方式向内缩小，得到新三角形，它们对应的边间距都为1，则新三角形与原三角形相似．观点二：将邻边为6和10的矩形按图2的方式向内缩小，得到新的矩形，它们对应的边间距都为1，则新矩形与原矩形相似．请回答下列问题：（1）你认为上述两个观点是否正确？请说明理由．（2）如图3，已知△ABC，AC＝6，BC＝8，AB＝10，将△ABC按图3的方式向外扩张，得到△DEF，它们对