专题1.3勾股定理12大必考考点（知识梳理典例剖析变式训练）-2022-2023学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍（原卷版）

20222023学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【苏科版】专题1.3勾股定理12大必考考点精讲精练（知识梳理+典例剖析+变式训练）【目标导航】【知识梳理】1.勾股定理：（1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有这就是勾股定理．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）由于，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．2.勾股定理逆定理“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状，为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法.两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫做互逆定理,其中一个叫做另一个的逆定理.3.勾股定理的证明：（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．勾股数：4.勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．说明：个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…5.勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．【典例剖析】【考点1】勾股定理【例1】（2021秋•南京期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，分别以AB、AC为斜边向外作等腰直角三角形，它们的面积分别记作S1与S2，若S1＝16，S2＝25，则BC的长为（）A．4 B．6 C．8 D．10【变式1.1】（2022·江苏·南京市第二十九中学八年级期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是BC上的一点，且BD=2，DC=3，则ABA．4 B．9 C．16 D．25【变式1.2】（2022·江苏·泰州中学附属初中八年级期中）如图，在△ABC中，∠B=22.5°，∠C=45°，若AC=1，则BC的长是（）A．3+22 B．1+2 C．2【变式1.3】（2022·江苏·镇江市第三中学八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边BC沿CE翻折，点B落在点F处，连接CF交AB于点D，则FD的最大值为（

A．35 B．45 C．23【考点2】勾股定理与面积【例2】（2020春•潮南区期末）如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，则图中的阴影部分的面积（）A．9 B．92 C．94 D【变式2.1】（2022·江苏·星海实验中学八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，，分别以AB、AC、BC为直径向外作半圆，它们的面积分别记作S1、S2、S3，若S1=25A．9 B．11 C．32 D．41【变式2.2】（2021·江苏·海安市曲塘中学附属初级中学八年级阶段练习）如图，分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形，面积分别为S1、S2、S3.其中S1=4，A．8 B．16 C．160 D．128【变式2.3】（2022·江苏·海安市紫石中学八年级阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，以AC和BC为底边分别向外作等腰直角△AFC和等腰直角△BEC，若△AFC的面积为S1，△BCE的面积为S2，则A．8 B．16 C．24 D．32【考点3】勾股定理与弦图【例3】（2020秋•江阴市期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成大正方形，若小正方形的边长为3，大正方形边长为15，则一个直角三角形的周长是（）A．45 B．36 C．25 D．18【变式3.1】（2022·江苏·八年级课时练习）如图，“赵爽弦图”由4个全等的直角三角形所围成，在Rt△ABC中，AC＝b，BC＝a，∠ACB＝90°，若图中大正方形的面积为42，小正方形的面积为5，则(a+b)2的值为（

A．37 B．47 C．68 D．79【变式3.2】（2022·江苏·八年级单元测试）如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的．以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中∠AEB＝90°，AB＝13cm，BE＝5cm，则阴影部分的面积是（

）A．169cm2 B．25cm2 C．49cm2 D．64cm2【变式3.3】（2022·江苏·八年级专题练习）汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，构造了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图，大正方形ABCD由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，若∠ADE=∠AED，AD=45，则△ADEA．24 B．6 C．25 D．【考点4】直角三角形的判定【例4】（2019秋•玄武区校级期中）观察以下几组勾股数，并寻找规律：①6，8，10；②8，15，17；③10，24，26；④12，35，37；…，请你写出具有以上规律的第⑧组勾股数：．【变式4.1】（2022·江苏徐州·八年级期中）下列条件下，△ABC不是直角三角形的是（

）A．a2=bC．∠C=∠B+∠A D．∠A:∠B:∠C=3:4:5【变式4.2】（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在正方形网格中，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别画三角形，则图中直角三角形是（

）A．① B．② C．③ D．④【变式4.3】（2022·江苏·苏州高新区第一初级中学校八年级阶段练习）正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A、B是两格点，使得△ABC为直角三角形的格点C的个数是（）A．4个 B．5个 C．6个 D．8个【考点5】勾股数【例5】（2022·江苏·八年级课时练习）如图，正方形ABCD的边长为1，其面积为S1，以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为S2…，按此规律继续下去，则S1002299 B．22100 C．【变式5.1】（2022·江苏·东台市头灶镇六灶学校八年级期末）下列给出的四组数中，是勾股数的一组是（

）A．2，4，6 B．1，3，2 C．1，2，3 D．3，4，5【变式5.2】（2022·江苏·八年级课时练习）如图，图中的四边形都是正方形，三角形都是直角三角形，其中正方形的面积分别记为A，B，C，D，则它们之间的关系为（

）A．A+B=C+D B．A-C=D-B C．A+D=B+C D．以上都不对【考点6】勾股定理与分类讨论【例6】（2020秋•宝应县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动时间为ts，当t＝s时，△ABP是以AB为腰的等腰三角形．【变式6.1】（2022·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）八年级期中）如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=AC=23cm，点P从点B开始以1cm/s的速度向点C移动，当△ABPA．3s B．3s或4s C．1s或4s【变式6.2】（2022·河南·郑州市第三中学八年级阶段练习）若直角三角形的两边长分别为a，b，且满足a2A．5 B．16 C．5或7 D．25或7【变式6.3】（2022·广东深圳·八年级期中）若一个直角三角形的三边长分别为：6，8，x，则x的值是（

）A．10 B．27 C．2 D．10或【考点7】勾股定理的应用：高度问题【例7】（2021秋•六合区期中）如图，有一个水池，水面是一个边长为14尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水的深度是（）A．15尺 B．24尺 C．25尺 D．28尺【变式7.1】（2020·江苏·仪征市实验中学东区校八年级阶段练习）小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高.【变式7.2】（2022·江苏·泰州市姜堰区第四中学八年级）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地的高度AB为2.7米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.5米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.6米的地方时（BC=1.6米），感应门自动打开，AD为多少米？【变式7.3】（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校八年级期中）如图，在一棵树CD的10m高处的B点有两只猴子，它们都要到A处池塘边喝水，其中一只猴子沿树爬下走到离树20m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线跃入池塘的A处．如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树多高？【考点8】勾股定理的应用：滑梯问题【例8】（2020春•濉溪县期末）如图1，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，云梯的顶端距地面15米，梯子的长度比梯子底端离墙的距离大5米．（1）这个云梯的底端离墙多远？（2）如图2，如果梯子的顶端下滑了8m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？【变式8.1】（2022·江苏·泰州市第二中学附属初中八年级期中）如图，长为10m的梯子AB斜靠在竖直于地面的墙上，梯子的顶端A到地面的距离AC为8m．(1)求水平地面上梯子底端B与墙壁的距离BC的长度；(2)当梯子的顶端A下滑2m到点A'时，底端B向外滑动到点B'，求此时【变式8.2】（2022·江苏·连云港市新海实验中学八年级期中）如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的AC上，这时点B到墙底端C的距离BC为0.7米．(1)求AC的值；(2)如果梯子的顶端沿墙面下滑0.4米，那么点B是否也向外移动0.4米？请通过计算说明．【变式8.3】（2022·江苏·八年级专题练习）如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的墙面上，一端在墙面A处，另一端在地面B处，墙角记为点C．(1)若AB=6.5米，BC=2.5米．①竹竿的顶端A沿墙下滑1米，那么点B将向外移动多少米？②竹竿的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，请求出移动的距离（保留根号）．(2)若AC=BC，则顶端A下滑的距离与底端B外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不等，请比较顶端A下滑的距离与底端B外移的距离的大小．【考点9】勾股定理的应用：点到线的距离问题【例9】（2020秋•吴江区期中）某校机器人兴趣小组在如图所示的三角形场地上开展训练．已知：AB＝10，BC＝6，AC＝8；机器人从点C出发，沿着△ABC边按C→B→A→C的方向匀速移动到点C停止；机器人移动速度为每秒2个单位，移动至拐角处调整方向需要1秒（即在B、A处拐弯时分别用时1秒）．设机器人所用时间为t秒时，其所在位置用点P表示（机器人大小不计）．（1）点C到AB边的距离是4.8；（2）是否存在这样的时刻，使△PBC为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【变式9.1】（2022·江苏·八年级单元测试）《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s【变式9.2】（2022·江苏·八年级专题练习）“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米．(1)求小汽车6秒走的路程；(2)求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？【变式9.3】（2022·江苏无锡·八年级期中）新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大喇叭响起来了，宣传横幅挂起来了，电子屏亮起来了，电视、广播、微信、短信齐上阵，防疫标语、宣传金句频出，这传递着打赢疫情防控阻击战的坚定决心．如图，在一条笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离AB为800米，若宣讲车周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车在公路MN上沿MN方向行驶．(1)请问村庄A能否听到宣传？请说明理由；(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是300米/分钟，那么村庄A总共能听到多长时间的宣传？【考点10】勾股定理及逆定理的综合计算【例10】（2020秋•江都区期中）为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，∠ADC＝90°，CD＝6m，AD＝8m，AB＝26m，BC＝24m，（1）求出空地ABCD的面积．（2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？【变式10.1】（2022·江苏·泰州中学附属初中八年级期中）如图，四边形ABCD是公园中的一块空地，∠B=90°,AB=6m(1)连接AC，判断△ACD的形状并说明理由；(2)公园为美化环境，欲在该空地上铺草坪，已知草坪每平方米80元，试问铺满这块空地共需费用多少元？【变式10.2】（2022·江苏·姜堰区实验初中八年级）如图，在△ABC中，AB=AC=10，(1)尺规作图（要求：保留作图痕迹，不写作法）①作∠BAC的平分线交BC于点D；②作边AC的中点E，连接DE；(2)在（1）所作的图中求DE，BE的长．【变式10.3】（2022·江苏·星海实验中学八年级期中）如图，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB，垂足为D．(1)证明：∠A=2∠BCD；(2)若AC=4，BC=22，求CD(3)若CD=3，BD=1，点P是线段AB上一点，当∠ACP=∠ACD-∠BCD时，求点P到直线AC的距离．【考点11】勾股定理的应用：存在性问题【例11】（2018秋•江都区期中）如图1A村和B村在一条大河CD的同侧，它们到河岸的距离AC、BD分别为1千米和4千米，又知道CD的长为4千米．（1）现要在河岸CD上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选．方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即AC+AB）．（如图2）方案2：作A点关于直线CD的对称点A′，连接A′B交CD于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道AM和BM．（即AM+BM）（如图3）从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工．请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适．（2）有一艘快艇Q从这条河中驶过，当快艇Q与CD中点C相距多远时，△ABQ为等腰三角形？直接写出答案，不要说明理由．【变式11.1】（2022·江苏·苏州市立达中学校八年级期中）如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=6cm，若点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A→C→B→A运动，设运动时间为(1)若点P在AC上，且满足PA=PB时，求出此时t的值；(2)若点P恰好在∠BAC的角平分线上（点A除外），求t的值；(3)若点Q为AB中点，在点P运动的过程中，当∠PCQ=∠PQC时，则t的值为___________．（请直接写出结果）【变式11.2】（2022·江苏徐州·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，AC=6cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm(1)直接写出BC=______cm；(2)当AP平分∠BAC时，求t的值；(3)当△ABP为等腰三角形时，求t的值．【变式11.3】（2022·江苏·无锡市天一实验学校八年级期中）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=8，D是AC上的一点，CD=3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P(1)当t=2秒时，求AP的长度；(2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值；(3)过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE=CD？【考点12】勾股定理的证明综合问题【例12】（2020秋•天宁区期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．（1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理；（2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线）的周长为24，OC＝3，求该飞镖状图案的面积；（3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3，若S1+S2+S3＝16，则S2＝163【变式12.1】（2022·江苏·南京市第十二初级中学八年级期中）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=a，AC=b，AB=c．将Rt△ABC绕点O依次旋转90°、180°和270°，构成的图形如图1所示．