专题08勾股定理的应用-2023-2024学年八年级数学上学期期末必刷题型专题训练（华师大版）

专题08勾股定理的应用1．如图，一艘轮船从出发，自西向东航行，开往距它海里的处，海中有一个小岛，该岛周围海里内有暗礁，已知相距海里，相距海里，你认为轮船在持续向东航行途中会有触礁的危险吗？请说明理由．【答案】轮船在持续向东航行途中不会有触礁的危险，理由见详解【详解】解：如图所示，过点作于点，根据题意可知，海里，海里，海里，∴设，则海里，∵，∴在中，，在中，，∴，解得，，∴，∵岛周围海里内有暗礁，，∴轮船在持续向东航行途中不会有触礁的危险．2．如图一架25米长的梯子斜靠在一面墙上，梯子底端B到墙底的垂直距离为7米．(1)求这个梯子的顶端A到地面的距离的值；(2)如果梯子的顶端A沿墙竖直下滑4米到点D处，求梯子的底端B在水平方向滑动了多少米？【答案】(1)24米；(2)8米【详解】（1）解：∵，∴在中，由勾股定理得：米，∴这个梯子的顶端距地面的高度的长度是24米；（2）解：∵米，米，∴米，∵梯子下滑后长度不变，∴米，在中，米，∴米，∴梯子的底端在水平方向滑动了8米．3．一艘轮船从A港向南偏西48°方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的最短距离是．若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间．【答案】3h【详解】解：由题意，得，，，．在中，，即，∴，∴．在中，，即．．故轮船从C岛沿CA返回A港所需的时间为3h．4．某地要开发一个三角形植物园，其平面示意图如图所示（图上距离是由实际距离按适当比例缩小后得到），测得，，．(1)若入口E在边AB上，且，求从入口E到出口C的距离（线段CE的长度）；(2)在（1）的条件下，若线段CD是一条水渠，且点D在边AB上，，求线段DE的长度．【答案】(1)；(2)【详解】解：（1）∵，，，，∴，∴△ABC为直角三角形，且．∵，∴E为AB的中点，∴．（2）如图，过点C作交AB于点F．∵，∴．∵，∴．在Rt△CEF中，根据勾股定理，得，则．5．如图，我军巡逻艇正在处巡逻，突然发现在南偏东方向距离海里的处有一艘走私船，以海里小时的速度沿南偏西方向行驶，我军巡逻艇立刻沿直线追赶，半小时后在点处将其追上．求我军巡逻艇的航行速度是多少？【答案】我军巡逻艇的航行速度是海里小时【详解】解：如图所示，由题意得，，，，，巡逻艇沿直线追赶，半小时后在点处追上走私船，海里，在中，，海里，海里，海里，我军巡逻艇的航行速度是海里小时．答：我军巡逻艇的航行速度是海里小时．6．学过《勾股定理》后，某数学兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度．测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长1米（如图1），将绳子拉直时，测得拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为6米（如图2）．(1)若旗杆的高度米，那么绳子的长度可以表示为________米（用含x的代数式表示）(2)求旗杆的高度．【答案】(1)；(2)旗杆的高度为9米【详解】（1）解：旗杆的高度米，则绳子长为米，故答案为：；（2）解：在中，米，米，米，由勾股定理得：，解得：，答：旗杆的高度为9米．7．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地，如图，，，，．(1)技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点间的距离，便快速确定了．写出技术人员测量的是哪两点之间的距离以及确定的依据；(2)现计划在空地内种草，若每平方米草地造价30元，这块地全部种草的费用是多少元？【答案】(1)A、C两点之间的距离，依据见解析；(2)1080【详解】（1）测量的是点A，C之间的距离；依据是：如果是三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形；（2）如图，连接，∵由（1）得，在中，，在中，，，∵，∴，∴，∴（平方米），（元），答：这块地全部种草的费用是1080元．8．有一棵高的大树被大风吹折，折断处A与地面的距离．在大树倒下的方向上的点D处停着一辆小轿车，的距离为，求的距离（点B为大树顶端着地处）．

【答案】的距离（点B为大树顶端着地处）为【详解】解：由图可知，为直角三角形，在中，，，∴，∴．答：的距离（点B为大树顶端着地处）为．9．如图，张叔叔在距离河面高度为的处，用长为的绳子拉点处的船靠岸，若张叔叔收绳后，船到达处，则船向岸边移动了多少米？【答案】船向岸A移动了【详解】解：∵开始时绳子的长为，张叔叔收绳后，船到达处，∴，由题意，得，∴，在中，，，在中，，，，∴，∴船向岸A移动了．10．《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…；翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺）将它往前推进两步（尺），此时踏板离地五尺（尺），求秋千绳索的长度．

【答案】秋千绳索的长度为尺【详解】解：设尺，尺，尺，（尺），尺，在中，尺，尺，尺，根据勾股定理得：，整理得：，即，解得：．答：秋千绳索的长度为尺．11．学校正在增加绿化区域，种植花草树木，提高校园的绿化覆盖率，准备在四边形的空地上种植花卉，如图所示，，，，，，求四边形的面积．

【答案】【详解】解：如图，连接，

，，，是直角三角形，；答：四边形的面积为．12．如图，有一个水池，水面是一个边长为16米的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面2米，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度与这根芦苇的长度分别是多少米？【答案】水的深度是15米，芦苇长为17米【详解】解：设水池里水的深度是x米，则芦苇长为米，由题意得，，解得：，，答：水池里水的深度是15米，芦苇长为17米13．如图是人们喜爱的秋千，已知秋千静止的时候，踏板A离地高为0.5米，将它往前推进2米到B（即的长为2），此时踏板离地高为1米，求秋千绳索的长度．【答案】秋千绳索的长度为米【详解】解：∵踏板A离地高为0.5米，为1米，∴（米），∵的长为2故设米，在中，即解得故秋千绳索的长度为米．14．【问题情境】某数学兴趣小组想测量学校旗杆的高度．【实践发现】数学兴趣小组实地勘查发现：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．【实践探究】设计测量方案：第一步：先测量比旗杆多出的部分绳子的长度，测得多出部分绳子的长度是1米；第二步：把绳子向外拉直，绳子的底端恰好接触地面的点C，再测量绳子底端C与旗杆根部B点之间的距离为5米；【问题解决】设旗杆的高度为x米，通过计算即可求得旗杆的高度．(1)依题知米，用含有x的式子表示为米；(2)请你求出旗杆的高度．【答案】(1)5；；(2)12米【详解】（1）解：根据题意知：米，米．故答案为：5；；（2）解：在直角中，由勾股定理得：，即．解得．答：旗杆的高度为12米．15．西安辅轮中学于11月13日对全校师生组织了一场应急疏散演练主题教育，本次活动中同学们加强了消防安全意识、提升了火灾预防和应急处置能力同学们通过消防员们的介绍了解到消防云梯主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务，消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险，如图，已知云梯最多只能伸长到（即），消防车高（即），救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？【答案】消防车从处向着火的楼房靠近的距离为【详解】解：由题意可知，，点、、三点共线，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，答：这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为．16．如图，一辆小汽车在一条限速的街路上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪的正前方处的点，过了后，测得小汽车所在的点与车速检测仪之间的距离为．(1)求，间的距离．(2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由．【答案】(1)；(2)没有超速，见解析【详解】（1）在中，，，且为斜边，，答：，间的距离为；（2）这辆小汽车没有超速．理由：，平均速度为：，，，这辆小汽车没有超速．17．荡秋千是孩子们的娱乐项目，如图，小明和小红在荡秋千，其中秋千架高2.4米，荡到最低时，秋千座位离地0.4m，小明荡到最高时，座位离地0.8m，此时小红荡出的水平距离是多少？（荡到秋千架两边的最高点之间的距离）其数据图形如图②所示，，．【答案】小红荡出的水平距离是【详解】解：由题意，和图可知：，，，由勾股定理，得：，∴小红荡出的水平距离是．18．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出的一段绳子长为1米，若将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为5米，求旗杆的高度．【答案】旗杆的高为【详解】解：设旗杆的长为，根据题意，得，，，在中，，，解方程得：．答：旗杆的高为．19．如图，欲在公路l同一侧挖两个土坑A、B，要求分别距公路、，且，挖出的土要运到公路边P处堆放，且要求点P到A、B距离之和最短．

(1)找到堆放点P的位置；(2)求的最小值．【答案】(1)作点A的对称点，连接交直线l于点P，则点P即为所求；(2)的最小值为．【详解】（1）如图所示，点P即为所求；（2）如图所示，过作交的延长线于H，

∵，，∴，∴，∴∴的最小值为．20．问题情境：如图①，一只蚂蚁在一个长为，宽为的长方形地毯上爬行，地毯上堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且等于宽，木块从正面看是一个边长为的等边三角形，求一只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．(1)数学抽象：将蚂蚁爬行过的木块的侧面“拉直”“铺平”，“化曲为直”，请在图②中用虚线补全木块的侧面展开图，并用实线连接；(2)线段的长即蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程，依据是_________；(3)问题解决：求出这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程．【答案】(1)图形见解析；(2)两点之间线段最短；(3)这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为．【详解】（1）解：如图所示，即为所求：（2）解：线段的长即蚂蚁从点处到达点处需要走的最短路程，依据是两点之间线段最短，故答案为：两点之间线段最短；（3）根据题意可得：展开图中的，．在中，由勾股定理可得：，即这只蚂蚁从点A处到达点C处需要走的最短路程为．21．如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙壁上，这时梯子的底端B到墙壁的距离，当梯子的顶端A沿墙壁下滑到达点时，底端B沿水平地面向外滑动到点．当时，线段的长度与线段的长度相等吗？你是怎样知道的？【答案】线段的长度与线段的长度不相等，理由见解析．【详解】解：线段的长度与线段的长度不相等．理由：在中，，，∴，∵，∴，在中，，，∴，∴，∴线段的长度与线段的长度不相等．22．如图，某校有一块三角形空地，，为了更好的落实“双减”政策，丰富孩子们的课业生活，学校计划将该三角形空地改造成多功能区域，现要求将三角形区域设计成手工制作区，其余部分设计成健身区，经测量：米，米，米，米.(1)求的度数；(2)求图中健身区（阴影部分）的面积.【答案】(1)；(2)平方米【详解】（1）因为，米，米，所以（米），因为米，米，所以，所以是直角三角形，．（2）图中阴影部分的面积（平方米）．23．大明宫国家遗址公园是世界文化遗产，全国重点文物保护单位，其地处长安城（今西安）北部的龙首原上，公园里视野开阔，障碍物极少，成为不少市民放风筝的绝佳场所．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作：①测得的长度为24米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为30米；③牵线放风筝的小明身高为1.6米（）．已知，，，请你帮他们求出风筝的垂直高度．【答案】风筝的垂直高度为19.6米【详解】因为，所以，在中，米，米，所以（米），所以（米），答：风筝的垂直高度为19.6米．24．如图，隧道的截面由半圆和长方形构成，长方形的长为，宽为，若该隧道内设双行道，现有一辆货运卡车高，宽，则这辆货运卡车能否通过该隧道？【答案】能通过，见解析【详解】解：能通过，如图：在上取G，使，过G作于F反向延长交半圆E，则，圆的半径，由勾股定理，得，E点与的距离为；所以能通过．25．2023年杭州亚运会精彩纷呈．某社区为进一步宣传亚运精神，开辟了一块四边形空地，如图，社区计划将其布置成展区，陈列有关亚运会图片．现测得，，，且．(1)试说明；(2)求四边形展区（阴影部分）的面积．【答案】(1)见解析；(2)【详解】（1）解：中，，，，，，，是直角三角形，；（2）过点作于点，，，，在中，，，，，．26．如图，湖面上有一朵盛开的红莲，它高出水面．大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，已知红莲移动的水平距离为，则水深是多少？【答案】【详解】红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长．设水深h厘米，由题意得：中，，，，由勾股定理得：，即，解得．答：水深是27．如图，有一架救火飞机沿东西方向，由点飞向点，在直线的正下方有一个着火点，且点与两点的距离分别为和，又两点距离为，飞机与着火点距离在以内可以受到洒水影响．

(1)请通过计算说明，着火点是否受洒水影响；(2)若救火飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要13秒，请你通过计算说明在救火飞机从点飞到点的过程中，着火点能否被扑灭．【答案】(1)着火点洒水影响，见解析；(2)着火点能被扑灭，见解析【详解】（1）解：着火点C受洒水影响，理由如下，如图，过点作，垂足为，

，，，，，，是直角三角形，，（米），，着火点C受洒水影响（2）解：如图，当时，飞机正好喷到着火点，

，，在中，，，飞机的速度为，（秒），14秒13秒，着火点能被扑灭，答：着火点能被扑灭．28．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则．

(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答：(2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？(3)在第（2）问中若时，，，设，求x的值．【答案】(1)见详解；(2)；(3)x【详解】（1）梯形的面积为，也可以表示为，∴，即；（2）∵，∴，在中，，即，解得，即，（千米），答：新路比原路少0.25千米；（3）设，则，在中，，在中，，∴，即，解得：．29．一梯子长，如图那样斜靠在一面墙上，梯子底端到墙的距离长．(1)这架梯子的顶端离地面有多高？(2)设梯子顶端到水平地面的距离为，底端到垂直墙面的距离为，若，根据经验可知：当时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子的顶端下滑了到，梯子底端滑动到处，请问此时使用梯子是否安全．【答案】(1)；(2)所以此时使用梯子不安全．【详解】（1）根据勾股定理可得答：梯子的顶端离地面．（2）由题知则此时因为所以此时使用梯子不安全．30．如图是一个长、宽、高的仓库，在其内壁的点A（长的四等分点）处有一只壁虎、点B（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离为多少？【答案】【详解】解：由题意可知，仓库的长为、宽为、高为，点A是长的四等分点，点B是宽的三等分点如图1，此时，，，，；如图2，此时，，，，；如图3，此时，，，，，，壁虎爬到蚊子处的最短距离为多少．31．小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点A，小王的赛车从点出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于32米时，遥控信号会相互干扰，米，米．(1)出发3秒钟时，遥控信号是否会相互干扰？(2)当两赛车距A点的距离之和为35米时，通过计算说明遥控信号是否会相互干扰？【答案】(1)出发3秒钟时，遥控信号不会相互干扰；(2)两赛车距点A的距离之和为35米时，遥控信号将会相互干扰，见解析【详解】（1）解：出发秒钟时，米，米米，米米，米（米）出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰；（2）设出发秒钟时，两赛车距A点的距离之和为35米，由题意得，，解得此时，此时，即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰．32．如图，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为．(1)求供水点到喷泉需要铺设的管道长；(2)试说明．【答案】(1)供水点到喷泉需要铺设的管道长为；(2)【详解】（1）解：由题意可知在中，∴．在中，∴供水点到喷泉需要铺设的管道长为；（2）∵，，，∴，∴．33．如图，学校准备在阴影部分修建草坪，经施工人员测量，，米，米，米，米．(1)判断△ABC的形状并证明．(2)求草坪（阴影部分）的面积．【答案】(1)直角三角形，见解析；(2)96平方米【详解】（1）解：△ABC为直角三角形．理由如下：∵，米，米，∴（米），在△ABC中，∵米，米，米，∴，∴△ABC为直角三角形，；（2）解：草坪（阴影部分）的面积（平方米）．答：草坪（阴影部分）的面积为96平方米．34．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，，现在要在公路上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等，则市场E应建在距A多少千米处？并判断此时的形状，请说明理由．【答案】20千米处，等腰直角三角形，理由见解析【详解】解：设，则，在直角△ADE中，，在直角△BCE中，，∴，解得：，即；∴市场E应建在距A的20千米处；∵，，在和中，，可得，∴，又∵，∴，∴又∵，∴是等腰直角三角形．35．一辆装满货物的卡车，高米，宽米，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞，如图所示，已知半圆的直径为，长方形的另一条边长是．(1)此卡车是否能通过桥洞？试说明你的理由．(2)为了适应车流量的增加，先把桥洞改为双行道，要使宽为，高为的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少增加到多少？【答案】(1)此卡车能通过桥洞，理由见解析；(2)【详解】（1）解：此卡车能通过桥洞，理由如下；如图，记长方形宽的中点为，圆心为，取，过作交半圆于，交半圆的直径为，∴，由勾股定理得，，∴，∵，∴此卡车能通过桥洞；（2）解：如图2，同理（1），由题意知，，∴，由勾股定理得，，∴，∴，∴桥洞的宽至少要增加到．36．如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的处开凿隧道修通一条公路到处，已知点与公路上的停靠站的距离为，与公路上另一停靠站的距离为，停靠站之间的距离为，且．

(1)求修建的公路的长；(2)一辆货车从点到点处走过的路程是多少？【答案】(1)；(2)【详解】（1）解：，，，，是直角三角形，，，（）．故修建的公路的长是；（2）解：在中，（），故一辆货车从点到处的路程是．37．笔直的河流一侧有一营地C，河边有两个漂流点A，B，其中．由于周边施工，由C到A的路现在已经不通．为方便游客，在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．(1)判断△BCH的形状，并说明理由；(2)求原路线的长．【答案】(1)直角三角形；(2)；【详解】（1）解：∵千米，千米，千米，∴，∴，∴△BCH是直角三角形；（2）解：∵，∴，∵，∴，∴．38．如图所示，一棵米高的大杉树在一次台风中被刮断，折断处到树根的距离是米，树顶落在离树根点米处，科研人员要查看断痕处的情况，在离树根有米的处竖起一个梯子，点，，在一条直线上．请问这个梯子有多长？【答案】这个梯子有米长．【详解】解：由已知可得：米，米，米，米，，∴米，∴，∴，∴，∵米，由勾股定理得：，∴（米），即这个梯子的长应是米，答：这个梯子有米长．39．某消防队在一次应急演练中，消防员架起一架长的云梯，如图，云梯斜靠在一栋楼的外墙面上，这时云梯底端距墙脚的距离，．(1)当消防员接到命令，按要求将云梯从顶端A下滑到位置上（云梯长度不改变），即，那么它的底部B在水平方向滑动到的距离是多少？(2)在演练中，高的楼房窗口处有求救声，消防员需调整云梯去救援被困人员，经验表明，云梯靠墙摆放时，如果云梯底端离墙的距离不小于云梯长度的，则云梯和消防员相对安全，在相对安全的前提下，云梯的顶端能否到达高的楼房窗口去救援被困人员？【答案】(1)它的底部B在水平方向滑动到的距离是；(2)云梯的顶端能到达高的楼房窗口去救援被困人员【详解】（1）解：∵在中，，∴，∵在中，，∴，即它的底部B在水平方向滑动到的距离是；（2）解：若云梯底端离墙的距离刚好为云梯长度的，则能够到达墙面的最大高度为：，∵，∴，∴云梯的顶端能到达高的楼房窗口去救援被困人员．40．课本再现如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为．在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？

方法探究（1）对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间