专题22反比例函数的图象

专题22反比例函数的图象【知识梳理】知识点01反比例函数的图象和性质

1、反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与轴、轴相交，只是无限靠近两坐标轴.【点石成金】（1）若点()在反比例函数的图象上，则点()也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称；（2）在反比例函数(为常数，)中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到轴和轴．2、画反比例函数的图象的基本步骤：（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；（4）反比例函数图象的分布是由的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．3、反比例函数的性质（1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，值随值的增大而减小；（2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，值随值的增大而增大；【点石成金】反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出的符号.知识点02反比例函数()中的比例系数的几何意义过双曲线()上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形的面积为.过双曲线()上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.【点石成金】只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的.【题型探究】1.在函数（为常数）的图象上有三点()，()，()，且，则的大小关系是（）．A．B．C．D．【答案】D；【解析】解：因为，所以函数图象在第二、四象限内，且在第二、四象限内，随的增大而增大．因为，所以．因为在第四象限，而，在第二象限，所以．所以．【总结】已知反比例函数，当＞0，＞0时，随的增大而减小，需要强调的是＞0；当＞0，＜0时，随的增大而减小，需要强调的是＜0．这里不能说成当＞0，随的增大而减小．例如函数，当＝－1时，＝－2，当＝1时，＝2，自变量由－1到1，函数值由－2到2，增大了．所以，只能说：当＞0时，在第一象限内，随的增大而减小．2.正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点B的横坐标为﹣2，当y1＜y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2【点拨】由正、反比例函数的对称性结合点B的横坐标，即可得出点A的横坐标，再根据两函数图象的上下关系结合交点的横坐标，即可得出结论．【答案】B．【解析】解：∵正比例和反比例均关于原点O对称，且点B的横坐标为﹣2，∴点A的横坐标为2．观察函数图象，发现：当x＜﹣2或0＜x＜2时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，∴当y1＜y2时，x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜2．【总结】本题考查了反比例函数与一次函数交点的问题、反比例函数的性质以及正比例函数的性质，解题的关键是求出点A的横坐标．本题属于基础题，难度不大，根据正、反比例的对称性求出点A的横坐标，再根据两函数的上下位置关系结合交点坐标即可求出不等式的解集．3.已知的图象是双曲线，且在第二、四象限，(1)求的值．(2)若点(－2，)、(－1，)、(1，)都在双曲线上，试比较、、的大小．【答案】解：(1)由已知条件可知：此函数为反比例函数，且，∴.(2)由(1)得此函数解析式为：．∵(－2，)、(－1，)在第二象限，－2＜－1，∴．而(1，)在第四象限，．∴4.如图所示，反比例函数的图象与一次函数的图象交于M(2，)，N(－1，－4)两点.(1)求反比例函数和一次函数的关系式；(2)根据图象写出使反比例函数的值大于一次函数值的的取值范围．【点拨】(1)由点N的坐标为(－1，－4)，根据待定系数法可求反比例函数的关系式．从而求出点M的坐标．再根据M、N的坐标，用待定系数法可求出一次函数的关系式；(2)结合图象位置和两交点的坐标，可得到使反比例函数大于一次函数的值的的取值范围．【解析】解：(1)设反比例函数的关系式为．由N(－1，－4)，得，∴＝4．∴反比例函数的关系式为．∵点M(2，)在双曲线上，∴．∴点M(2，2)．设一次函数的关系式为，由M(2，2)、N(－1，－4)，得解得∴一次函数的关系式为．(2)由图象可知，当＜－1或0＜＜2时，反比例函数的值大于一次函数的值．【总结】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式．也考查了待定系数法确定函数解析式以及观察函数图象的能力．5.已知点A(0，2)和点B(0，－2)，点P在函数的图象上，如果△PAB的面积是6，求P点的坐标．【点拨】由已知的点A、B的坐标，可求得AB＝4，再由△PAB的面积是6，可知P点到轴的距离为3，因此可求P的横坐标为±3，由于点P在的图象上，则由横坐标为±3可求其纵坐标．【解析】解：如图所示，不妨设点P的坐标为，过P作PC⊥轴于点C．∵A(0，2)、B(0，－2)，∴AB＝4．又∵且，∴，∴，∴．又∵在曲线上，∴当时，；当时，．∴P的坐标为或．【总结】通过三角形面积建立关于的方程求解，同时在直角坐标系中，点到坐标轴的距离等于相应坐标的绝对值．6.如图所示，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点A(3，2)．（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式．（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？（3）M()是反比例函数图象上的一动点，其中0＜＜3，过点M作直线MB∥轴，交轴于点B；过点A作直线AC∥轴交轴于点C，交直线MB于点D．当四边形OADM的面积为6时，请判断线段BM与DM的大小关系，并说明理由．【答案】解：（1）将A(3，2)分别代入，中，得，3＝2．∴＝6，．∴反比例函数的表达式为，正比例函数的表达式为．（2）观察图象，在第一象限内，当0＜＜3时，反比例函数的值大于正比例函数的值．（3）BM＝DM．理由：∵，∴，即OC·OB＝12．∵OC＝3，∴OB＝4，即＝4．∴．∴，．∴MB＝MD．【随堂演练】1．已知是反比例函数图象上三点，若，，则下列关系式不正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由，则点、在第三象限，点在第一象限，然后根据各象限点的坐标特征对各选项进行判断．【详解】解：，反比例函数图象在一，三象限，在每个象限内，随的增大而减小，，，点、在第三象限，点在第一象限，．，关系式不正确的是，故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．2．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由反比例函数所在的象限可得到关于k的不等式，可求得答案【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，∴k1＜0，解得k＜1，故选：A．【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，掌握在（k≠0）中，当k＞0时，图象在第一、三象限，当k＜0时，图象在第二、四象限是解题的关键．3．若点A（x1，1）、B（x2，－2）、C（x3，3）在反比例函数（k是常数）的图象上，则x1、x2、x3的大小关系是（）A．x1＞x3＞x2 B．x1＞x2＞x3 C．x3＞x1＞x2 D．x3＞x2＞x1【答案】A【分析】根据反比例函数的性质，直接判断x1，x2，x3的大小关系即可．【详解】解：∵反比例函数(k是常数)，，∴在每个象限内，y随x增大而减小，∵点A（x1，1）、B（x2，－2）、C（x3，3）在反比例函数（k是常数）的图像上，，∴，故选：A．【点睛】本题主要考查反比例函数上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．4．已知反比例函数的图像经过点，若，则的取值范围为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先把（1，−3）代入中求出k得到反比例函数解析式为，再计算出自变量为−1对应的反比例函数值，然后根据反比例函数的性质求解．【详解】解：把（1，−3）代入得k＝1×（−3）＝−3，∴反比例函数的图象在二、四象限，在每个象限，y随x的增大而增大，当x＝−1时，＝3；所以当x＜−1时，函数值y的取值范围为0＜y＜3，故选：D．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．5．若点，，在反比例函数（是常数）的图象上，，则下列关系正确的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意得出反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，即可解答．【详解】解：∵x1＞0＞x2，y1＜0＜y2，∴该反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，又∵0＞x2＞x3，∴y2＞y3＞0．故选：A．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解决本题的关键是熟记反比例函数的性质，准确进行判断．6．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】将点分别代入反比例函数，求得x1，x2，x3的值后，再来比较一下它们的大小．【详解】解：∵点都在反比例函数的图象上，∴，即x1＝6，，即x2＝6；，即x3＝3，∵6＜3＜6，∴；故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．所有反比例函数图象上的点的坐标都满足该函数的解析式．7．己知点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据反比例函数的性质判断出函数图象所在的象限及增减性，然后再根据各点横坐标的特点解答即可．【详解】解：∵反比例函数∴函数图象的两支分别位于一、三象限，且在每个象限内y随x的减小而增大∵∴又∵点在第一象限∴∴．故选：B．【点睛】本题主要考查的是反比例函数的增减性，掌握反比例函数图象上点的坐标特点成为解答本题的关键．8．下列说法正确的是（）A．函数的图象是过原点的射线 B．直线经过第一､二､三象限C．函数，y随x增大而增大 D．函数，y随x增大而减小【答案】C【分析】根据一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质逐项判断即可得．【详解】A、函数的图象是过原点的直线，则此项说法错误，不符题意；B、直线经过第一､二､四象限，则此项说法错误，不符题意；C、函数，随增大而增大，则此项说法正确，符合题意；D、函数，随增大而增大，则此项说法错误，不符题意；故选：C．【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质是解题关键．9．位于第一象限的点E在反比例函数y＝的图象上，点F在x轴的正半轴上，O是坐标原点．若EO=EF，EOF的面积等于2，则（）A．4 B．2 C．1 D．－2【答案】B【分析】如图（见解析），设点的坐标为，从而可得，再根据等腰三角形的三线合一、三角形的面积公式可得，然后将点的坐标代入反比例函数的解析式即可得．【详解】解：如图，过点作于点，设点的坐标为，则，，，的面积等于2，，解得，将点代入得：，故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合、等腰三角形的三线合一，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题关键．10．如图，反比例函数的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E．若四边形ODBE的面积为6，则k的值为（）A． B． C．2 D．【答案】C【分析】从反比例函数图象上的点、、入手，分别找出、、的面积与的关系，列出等式求出值．【详解】解：由题意得：、、位于反比例函数图象上，则，，过点作轴于点，作轴于点，则，又为矩形对角线的交点，则矩形ABCO，由于函数图象在第一象限，，则，∴．故选：C．【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．11．如图，已知动点，分别在轴，轴正半轴上，动点在反比例函数图象上，轴，当点的横坐标逐渐增大时，的面积将会（）

A．越来越小 B．越来越大C．不变 D．先变大后变小【答案】C【分析】设点，作可得，根据可得答案．【详解】解：如图，过点作于点，则，设点，则，当点的横坐标逐渐增大时，的面积将会不变，始终等于，故选：．【点睛】本题主要考查反比例函数系数的几何意义，熟练掌握在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．12．已知反比例函数的解析式为y＝，且图象位于第一、三象限，则a的取值范围是（）A．a＝1 B．a≠1 C．a＞1 D．a＜1【答案】C【分析】根据反比例函数的图象特点即可得答案．【详解】∵反比例函数的解析式为，且图象位于第一、三象限，∴，解得，故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数的图象特点是解题关键．13．已知点在双曲线上，点在直线上，则的值为______．【答案】3【分析】将点代入反比例函数中得到，将点代入中得到，最后对通分再整体代入求值即可．【详解】解：∵点在双曲线上，∴，∵点在直线上，∴，即∴，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数及一次函数上点的坐标特点，点在函数上，将点的坐标代入解析式即可得到等式，然后再代入求值．14．如图，一条直线经过原点O，且与反比例函数y＝（k＞0）交于点A、C，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，连接BC，若△ABC的面积为2，则k的值为___．【答案】2【分析】首先根据反比例函数与正比例函数的图象特征，可知A、C两点关于原点对称，则O为线段AC的中点，故△BOC的面积等于△AOB的面积，都等于1，然后由反比例函数y＝(k＞0)的比例系数k的几何意义，可知△AOB的面积等于|k|，从而求出k的值．【详解】解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、C两点，∴A、C两点关于原点对称，∴OA=OC，∴△BOC的面积=△AOB的面积=2÷2=1，又∵A是反比例函数y＝(k＞0)图象上的点，且AB⊥y轴于点B，∴△AOB的面积=|k|，∴|k|=1，∴|k|=2∵k＞0，∴k=2．故答案为2．【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到反比例函数的比例系数k的几何意义：反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=|k|．15．已知：反比例函数y＝（m﹣3）xm﹣2的图象是双曲线．（1）求m的值；（2）若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（1，y3）都在双曲线上，试比较y1，y2，y3的大小关系．【答案】（1）m＝1；（2）y3＜y1＜y2．【分析】(1)根据反比例函数的定义与负整数指数幂的运算，可得若反比例函数的图象是双曲线，必有，解可得m值；(2)由(1)可得，反比例函数的解析式，进而可得y1，y2，y3的值，比较可得答案．【详解】(1)根据题意，得若反比例函数的图象是双曲线，必有，解得：；(2)由(1)可得，反比例函数的解析式为，根据题意，易得y1＝1，y2＝2，y3＝﹣2，比较可得y3＜y1＜y2．【点睛】本题考查了反比例函数的定义、反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握计算方法是解题的关键．16．已知在函数中，随的增大而增大，，（1）化简；（2）点在函数图象上，且纵坐标与横坐标的积为，求的值．【答案】（1）3k2；（2）1【分析】（1）根据反比例函数的性质，得k＜0，进而即可化简A；（2）先求出k的值，再代入求值，即可．【详解】解：∵函数中，随的增大而增大，∴k＜0，∴=3k2；（2）∵点在函数图象上，且纵坐标与横坐标的积为，∴k=2，∴A=3k2=3(2)2=1．【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，代数式的化简求值，熟练掌握反比例函数的性质以及函数图像上点的坐标特征，是解题的关键．17．如图，点A是反比例函数图象上的一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA，若△OAB的面积为2，求该反比例函数的解析式．【答案】【分析】根据过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝|k|及反比例函数图象位置求出k值，即可得出结论．【详解】解：∵△OAB的面积为2，∴OB·AB＝2，即OB·AB＝4．∴｜k︱＝4．∴k＝±4．∵y＝过一、三象限，∴k＞0，∴k＝4．∴反比例函数解析式为．【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键．18．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．（1）求这两个函数的表达式；（2）求的面积；（3）根据图象回答：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．【答案】（1）；（2）；（3）＜＜或＞【分析】（1）由过利用待定系数法求解反比例函数解析式，再求的坐标，再利用的坐标，利用待定系数法求解一次函数的解析式即可得到答案；（2）连接利用一次函数的解析式求解的坐标，再利用即可得到答案；（3）由反比例函数的值大于一次函数的值，则反比例函数图像在的相同的取值范围内，其图像在一次函数的图像上方，结合图像可得答案．【详解】解：（1）过反比例函数为：把代入把代入得：所以一次函数为：．（2）如图，连接记与轴交于，令则（3）由反比例函数值大于一次函数值可得，反比例函数图像在的相同的取值范围内，其图像在一次函数的图像上方，所以此时：＜＜或＞【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，坐标系内图形的面积的计算，利用函数图像解不等式，掌握以上知识是解题的关键．【高分突破】1．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）已知点在反比例函数的图像上，且，则下列结论一定正确的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】把点A和点B的坐标代入解析式，根据条件可判断出、的大小关系．【详解】解：∵点，）是反比例函数的图像上的两点，∴，∵，∴，即，故D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征，掌握图像上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．2．（2023·湖北宜昌·统考中考真题）某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据点求出反比例函数的解析式，再根据反比例函数的性质即可得．【详解】解：设反比例函数的解析式为，将点代入得：，则反比例函数的解析式为，所以这个函数的图象位于第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大，又点在函数的图象上，且，，即，故选：C．【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题关键．3．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）已知点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据反比例函数的图象与性质解答即可．【详解】解：∵，∴图象在一三象限，且在每个象限内y随x的增大而减小，∵，∴．故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．4．（2023·天津·统考中考真题）若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据反比例函数的性质，进行判断即可．【详解】解：，，∴双曲线在二，四象限，在每一象限，随的增大而增大；∵，∴，∴；故选：D．【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．5．（2023·山西·统考中考真题）已知都在反比例函数的图象上，则a、b、c的关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．【详解】解：∵反比例函数中，∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小．∵∴位于第三象限，∴∵∴∵∴点位于第一象限，∴∴故选：B．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．6．（2023·湖北·统考中考真题）在反比例函数的图象上有两点，当时，有，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意可得反比例函数的图象在一三象限，进而可得，解不等式即可求解．【详解】解：∵当时，有，∴反比例函数的图象在一三象限，∴解得：，故选：C．【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，根据题意得出反比例函数的图象在一三象限是解题的关键．7．（2023·湖南·统考中考真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于直N，若四边形的面积为2．则k的值是（

）

A．2 B． C．1 D．【答案】A【分析】证明四边形是矩形，根据反比例函数的值的几何意义，即可解答．【详解】解：轴于点M，轴于直N，，四边形是矩形，四边形的面积为2，，反比例函数在第一、三象限，，故选：A．【点睛】本题考查了矩形的判定，反比例函数的值的几何意义，熟知在一个反比例函数图像上任取一点，过点分别作x轴，y轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积为是解题的关键．8．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为与关于直线对称，反比例函数的图象与交于点．若，则的值为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】过点B作轴，根据题意得出，再由特殊角的三角函数及等腰三角形的判定和性质得出，，利用各角之间的关系，确定，B，O三点共线，结合图形确定，然后代入反比例函数解析式即可．【详解】解：如图所示，过点B作轴，

∵，∴，∴，，∴，，∴，，∵与关于直线对称，∴，∴，∴，B，O三点共线，∴，∵，∴，∴，∴，将其代入得：，故选：A．【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数及反比例函数的确定，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．9．（2023·湖南怀化·统考中考真题）如图，反比例函数的图象与过点的直线相交于、两点．已知点的坐标为，点为轴上任意一点．如果，那么点的坐标为（

）

A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】反比例函数的图象过点，可得，进而求得直线的解析式为，得出点的坐标，设，根据，解方程即可求解．【详解】解：∵反比例函数的图象过点∴∴设直线的解析式为，∴，解得：,∴直线的解析式为，联立，解得：或，∴，设，∵，解得：或，∴的坐标为或，故选：D．【点睛】本题考查了一次函数与反比例数交点问题，待定系数法求解析式，求得点的坐标是解题的关键．10．（2023·广西·统考中考真题）如图，过的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别