专题04几何综合题-2023年江苏常州中考数学真题模拟题分类汇编

专题04几何综合题1．（2022•常州）在四边形中，是边上的一点．若，则点叫做该四边形的“等形点”．（1）正方形“等形点”（填“存在”或“不存在”；（2）如图，在四边形中，边上的点是四边形的“等形点”．已知，，，连接，求的长；（3）在四边形中，．若边上的点是四边形的“等形点”，求的值．【答案】（1）不存在；（2）；（3）1【详解】（1）四边形是正方形，，，，是边上的一点．正方形不存在“等形点”，故答案为：不存在；（2）作于，边上的点是四边形的“等形点”，，，，，，设，则，由勾股定理得，，解得，，，，，在中，；（3）如图，边上的点是四边形的“等形点”，，，，，，，，，，，，．2．（2021•常州）【阅读】通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．【理解】（1）如图1，，，垂足分别为、，是的中点，连接．已知，．①分别求线段、的长（用含、的代数式表示）；②比较大小：（填“”、“”或“”，并用含、的代数式表示该大小关系．【应用】（2）如图2，在平面直角坐标系中，点、在反比例函数的图象上，横坐标分别为、．设，，记．①当，时，；当，时，；②通过归纳猜想，可得的最小值是．请利用图2构造恰当的图形，并说明你的猜想成立．【答案】（1）①，；②；（2）①，1；②1【详解】（1）①如图1中，，，，，，，，，，，，，，，，，②，根据垂线段最短可知，，即，，故答案为：．（2）①当，时，；当，时，，故答案为：，1．②猜想：的最小值为1．故答案为：1．理由：如图2中，过点作轴于，轴于，过点作轴于，轴于，连接，取的中点，过点作轴于，轴于，则，，当时，点在反比例函数图象的上方，矩形的面积，当时，点落在反比例函数的图象上，矩形的面积，矩形的面积，，即，的最小值为1．3．（2020•常州）如图1，点在线段上，，，，．（1）点到直线的距离是；（2）固定，将绕点按顺时针方向旋转，使得与重合，并停止旋转．①请你在图1中用直尺和圆规画出线段经旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法）．该图形的面积为；②如图2，在旋转过程中，线段与交于点，当时，求的长．【答案】（1）1；（2）①；②【详解】（1）如图1中，作于，，，，．，，，，，在和中，，，，法二：，，，，，．故答案为1；（2）①线段经旋转运动所形成的平面图形如图所示，此时点落在上的点处．．故答案为．②如图2中，过点作于．设．在中，，，，，，，在中，，，在中，则有，解得或（不合题意舍弃），，，．解法二：作于，设，则，，在中，利用勾股定理，构建方程，求出，可得结论．4．（2019•常州）【阅读】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数、三角形的内角和等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系，我们把这一思想称为“算两次”．“算两次”也称做富比尼原理，是一种重要的数学思想．【理解】（1）如图1，两个直角边长分别为、、斜边长为的直角三角形和一个两条直角边都是的直角三角形拼成一个梯形．用两种不同的方法计算梯形的面积，并写出你发现的结论；（2）如图2，行列的棋子排成一个正方形，用两种不同的方法计算棋子的个数，可得等式：；【运用】（3）边形有个顶点，在它的内部再画个点，以个点为顶点，把边形剪成若干个三角形，设最多可以剪得个这样的三角形．当，时，如图3，最多可以剪得7个这样的三角形，所以．①当，时，如图4，；当，时，；②对于一般的情形，在边形内画个点，通过归纳猜想，可得（用含、的代数式表示）．请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立．【答案】（1）直角长分别为、斜边为的直角三角形中；（2）；（3）①6，3；②【详解】（1）有三个△其面积分别为，和．直角梯形的面积为．由图形可知：，整理得，，．故结论为：直角长分别为、斜边为的直角三角形中．（2）行列的棋子排成一个正方形棋子个数为，每层棋子分别为1，3，5，7，，（图中的折线作为一层）．由图形可知：．故答案为．（3）①如图4，当，时，，如图5，当，时，．②算法Ⅰ．个三角形，共条边，其中边形的每边都只使用一次，其他边都各使用两次，所以边形内部共有条线段；算法Ⅱ．边形内部有1个点时，其内部共有条线段，共分成个三角形，每增加一个点，都必在某个小三角形内，从而增加3条线段，所以边形内部有个点时，其内部共有条线段，由化简得：．故答案为：①6，3；②．5．（2018•常州）（1）如图1，已知垂直平分，垂足为，与相交于点，连接．求证：．（2）如图2，在中，，为的中点．①用直尺和圆规在边上求作点，使得（保留作图痕迹，不要求写作法）；②在①的条件下，如果，那么是的中点吗？为什么？【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②是的中点【详解】（1）证明：如图1中，垂直平分线段，，，，．（2）①作点关于的对称点，连接交于，连接，点即为所求．理由：垂直平分，，，，，点即为所求．②结论：是的中点．理由：设交于．，，，，，，，，，，，，，，是的中点．6．（2022•金坛区模拟）如图，在中，，，，点为边的中点．动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度向点运动，当点不与点、重合时，连结．作点关于直线的对称点，连结、．设点的运动时间为秒．（1）线段的长为；（2）用含的代数式表示线段的长；（3）当点在内部时，求的取值范围；（4）当与相等时，直接写出的值．【答案】（1）2；（2）；（3）；（4）或【详解】（1）在中，由勾股定理得：，．故答案为：2．（2）当时，点在线段上运动，，当时，点在上运动，．综上所述，．（3）如图，当点落在上时，，，，，在中，，．如图，当点落在边上时，，，，，在中，，．如图，点运动轨迹为以为圆心，长为半径的圆上，时，点在内部．（4）如图，过点作于点，当时，，，，，，．如图，当时，，，，，，在中，，，，，．综上所述，或．7．（2022•金坛区一模）如图，正方形的边长是4，点是边上一个动点，连接，将沿直线翻折得到．（1）如图1，若点落在对角线上，则线段与的数量关系是；（2）若点落在线段的垂直平分线上，在图2中用直尺和圆规作出（不写作法，保留作图痕迹）．连接，则；（3）如图3，连接，，若，求的长．【答案】（1）；（2）75；（3）【详解】（1），理由如下：在正方形中，，，由折叠的性质可得：，，，为等腰直角三角形，即，由勾股定理可得：，即；（2）作图如下：则为即为所求，由题意可得：垂直平分，垂直平分，点在上，则，由折叠的性质可得，为等边三角形，，为等腰三角形，，，故答案为：75；（3）取的中点，连接，，如图，，，，，，，，点，，共线，设，则，在中，，，解得，即的长为．8．（2022•武进区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边落在轴上，点的坐标为，，，边与轴交于点．（1）直接写出点、、的坐标；（2）在轴上取点，直线经过点，与轴交于点，连接．①当时，求直线的函数表达式；②当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切时，求点的坐标．【答案】（1），，；（2）①或；②，【详解】（1）点的坐标为，．矩形中，，，，，．，，；（2）①点，．，．．，或．或．，或，．或．解得：或．直线的函数表达式为：或；②设的中点为，过点作于点，延长交于点，则，如图，由题意：以线段为直径的圆与矩形的边，所在直线相交．以线段为直径的圆与矩形的边，所在直线可能相切．Ⅰ、当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切相切时，则．设，则．．，，，．，为梯形的中位线．．．解得：．经检验，是原方程的根，，；Ⅱ、当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切相切时，则．，，，．，为梯形的中位线．．．解得：．经检验，是原方程的根，，．综上，当以线段为直径的圆与矩形的边所在直线相切时，点的坐标为，或，．9．（2022•常州模拟）如图，半圆的直径，以长为2的弦为直径，向点方向作半圆，其中点在上且不与点重合，但点可与点重合．（1）计算：劣弧的长；（2）思考：点与的最大距离为，此时点，间的距离为；点与的最小距离为．（3）探究：当半圆与相切时，求的长．（注：结果保留，，【答案】（1）；（2），2，；（3）当半圆与相切时，的长为或【详解】（1）连接，，，，，是等边三角形，，；（2）过点作于点，连接，，由点的位置可知，当点与点重合时点与的距离最大，如下图：此时，，，，，，是等边三角形，，由点的位置可知，当点与点重合时，与的距离最小，如下图：，，，故答案为：，2，；（3）当半圆与相切时，此时，且分以下两种情况讨论：①当点在线段上时，在中，由勾股定理得，，，，，，，当点在线段上时，此时，，，，综上，当半圆与相切时，的长为或．10．（2022•常州一模）如图（1），，为射线上一点，，以点为圆心，长为半径作交于点、．（1）当射线绕点按顺时针方向旋转多少度时与相切？请说明理由．（2）若射线绕点按顺时针方向旋转时与相交于、两点，如图（2），求的长．【答案】（1）当射线绕点按顺时针方向旋转或时与相切；（2）【详解】（1）当射线绕点按顺时针方向旋转或时与相切．理由如下：如图，设切点为，连．则，在中，，，，，，同理：当时，与相切，当射线绕点按顺时针方向旋转或时与相切．（2）过点作于点，射线绕点按顺时针方向旋转时与相交于、两点，，，在中，，，，，的长为：．11．（2022•天宁区模拟）以为直径作半圆，，点是该半圆上一动点，连接、，并延长至点，使，过点作于点、交于点，连接．（1）如图①，当点与点重合时，求的度数；（2）如图②，当时，求线段的长；（3）在点运动过程中，若点始终在线段上，是否存在以点、、为顶点的三角形与相似？若存在，请直接写出此时线段的长；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）或或【详解】（1）连接．为中点，，是等边三角形，，为直径，，；（2）连接．垂直平分，，，，，，，，，，，，；（3）①当交点在、之间时，若，此时，，，，则；若，此时，，则；②当交点在、之间时，．综上所述，或或．12．（2022•常州模拟）阅读下面的材料小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题：如果，都为锐角，且，，求的度数．小敏是这样解决问题的：如图1，把，放在正方形网格中，使得，，且，在直线的两侧，连接，可证得是等腰三角形，因此可求得请参考小敏思考问题的方法解决问题：如果，都为锐角，当，时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角，画出，由此可得．【答案】45；45【详解】如图1，把，放在正方形网格中，使得，，且，在直线的两侧，连接，可证得是等腰三角形，因此可求得；参考小敏思考问题的方法解决问题：如果，都为锐角，当，时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角，画出，由此可得．故答案为：45；4513．（2022•武进区校级一模）已知在以为圆心的扇形中，，点为弧上一动点，射线交射线于点，过点作的垂线交射线于点，连接．（1）如图1，当四边形为矩形时，求的度数：（2）如图2，当扇形的半径长为5，且时，求线段的长．【答案】（1）；（2）【详解】（1）四边形为矩形，，，，为等边三角形，，；（2）过点作于，如图2，则，，，，，即，解得，，，，，，即，．14．（2022•钟楼区校级模拟）如图①，是矩形的边上的一点，于点，，，．（1）证明，并计算点到直线的距离（结果保留根号）．（2）在图①的基础上，延长线段交边于点，如图②，则的长为．【答案】（1）；（2）【详解】（1）四边形是矩形，，，，，，，，，，，即，点到直线的距离；（2）四边形是矩形，，，，，，，，，，得，即，，；故答案为：.15．（2022•武进区一模）如图，为的直径，，为上的两点，，过点作直线，交的延长线于点，连接．（1）求证：是的切线．（2）若，，求劣弧的长．【答案】（1）见解析；（2）【详解】（1）证明：连接，，，，，，，是的切线；（2）解：为的直径，，，，，，，的长．16．（2022•常州一模）在平行四边形中，对角线与边垂直，，点是延长线上的一点，点是射线上的一点，且．（1）如图1，如果点与点重合，则的余弦值；（2）如图2，若四边形的周长是16，设，，①求关于的函数关系式并写出自变量取值范围；②若，求的面积．【答案】（1）；（2）①；②或【详解】（1）设与相交于点，，，四边形是平行四边形，，，，在中，，，，设，，则，的余弦值，故答案为：；（2）①四边形的周长是16，，设，，则，，，，，，，，，，，，，，，；②，，当点在边上，，，，由题意得，，，，，当点在的延长线上，，，，由题意得，，，，综上，的面积是或．17．（2022•钟楼区校级模拟）将一副三角板按如图所示的方式摆放，，，点为边上的点，，，（1）的大小为度．（2）若三角板固定，将三角板绕点逆时针旋转，①当点第一次落在直线上时停止旋转，请在图1中用直尺和圆规画出线段旋转运动所形成的平面图形（用阴影表示，保留画图痕迹，不要求写画法），则该图形的面积为．②当旋转至、、三点共线时，求的长．【答案】（1）75；（2）①，②或【详解】（1）如图1中，设交于点．，，．故答案为：75；（2）①图形如图所示：，，，，，，，阴影部分的面积．故答案为：．②如图中，当点落在线段上时，在中，，，．如图中，当点落在上时，同法可得，此时．综上所述，满足条件的的值为或．18．（2022•金坛区二模）已知，在中，，，．点、分别是边、上一点，将沿翻折，使得点落在边上的点处．（1）如图1，平分，交边于点，连接．①探索与的位置关系，证明你的结论；②若，求的面积；（2）连接，若，求的长．【答案】（1）①，②；（2）【详解】（1）①，证明：平分，，，，，；②，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，；（2）取的中点，连接，则，，，，，，，，，，，，，，．19．（2022•武进区二模）在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．点、点分别为和上的动点，点从点出发，沿方向以每秒1个单位匀速运动；同时，点从点出发，沿方向以每秒1个单位匀速运动．过点作，与交于点，点为点关于轴的对称点，当点停止运动时，点也停止运动，连接，，，设运动时间为解答下列问题：（1）连接、，若，则；（2）设的面积为，求与之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值，并求出此时，两点间的距离；若不存在，请说明理由．【答案】（1）4；（2）；（3）存在，当时，或当时，【详解】（1）点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．，，点