第一章空间向量与立体几何夯实基础-02空间向量的数量积运算

第一章空间向量与立体几何02空间向量的数量积运算问题导学：1.类比平面向量数量积，你能给出空间向量数量积的定义吗？2.空间向量数量积有哪些注意点？向量夹角的取值范围有要求吗？3.怎样定义向量垂直？4.类似的，在空间，向量a在向量b的投影有什么意义？向量a在直线的投影呢？向量a在平面的投影呢？知识构建知识点一空间向量的夹角1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．2．范围：0≤〈a，b〉≤π.，特别地，当〈a，b〉＝eq\f(π,2)时，a⊥b.知识点二空间向量的数量积定义已知两个非零向量、，则叫做向量与的数量积，记作，即。规定：零向量与任何向量的数量积都为。性质设，是非零向量，是单位向量，则①；②；③或；④；⑤。运算律①，；②（交换律）；③（分配律）。求空间向量数量积的步骤①将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；②利用向量的运算规律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；③代入求解。知识点三空间向量的投影①如图(1)，在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量．类似地，可以将向量向直线投影(如图(2))。②如图(3)，向量向平面投影，就是分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，得到，向量称为向量在平面上的投影向量。这时，向量，的夹角就是向量所在直线与平面所成的角。类型剖析类型一、空间向量数量积的计算类型二、利用空间向量数量积求模长类型三：利用空间向量数量积求夹角类型四：利用空间向量数量积证明垂直问题四、类型应用题型一空间向量数量积的计算【例1】如图，已知棱长为的正四面体ABCD，点，，分别是，，的中点，求下列向量的数量积：

(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）（2）根据数量积的定义可得；（3）（4）根据三角形的中位线定理先得，再利用数量积定义可得.【详解】（1）（2）（3）因为点，分别是，的中点，所以，所以（4）因为点，分别是，的中点，所以，所以【跟踪训练11】（2023·全国·高二专题练习）正四面体的棱长为，点、分别是、的中点，则______．【答案】/0.25【详解】如图所示，正四面体的棱长为，点、分别是、的中点，所以，故故答案为：【跟踪训练12】如图，已知正方体的棱长为1，设，，，则（）A．1B．C．D．2【答案】A【解析】根据向量的加法法则得，因为正方体的边长为1，为体对角线，所以，所以在直角三角形中，所以，故选：A【跟踪训练13】（2024·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考阶段练习）平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，求的值是__________．【答案】1【分析】选定基底，根据空间向量的加减运算表示出，再根据空间向量的数量积的运算，即可求得答案.【详解】由题意得，，则,故答案为：1.类型二、利用空间向量数量积求模长【例2】如图，在平行六面体中，，．求：(1)；(2)的长．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，由空间向量数量积的定义，代入计算，即可得到结果.（2）根据题意，由结合空间向量数量积的运算律，代入计算，即可得到结果.【详解】（1）由题意可得：.（2）因为则，所以.【跟踪训练21】如图，在平行六面体中，，，，，，求：(1)；(2)的长.【答案】(1)10(2)【分析】（1）利用数量积的定义即可求解；（2）根据模长公式即可求解.【详解】（1）．（2）因为，所以类型三利用空间向量数量积求夹角【例3】如图，在平行六面体中，，，，，，E是的中点，设，，．(1)求的长；(2)求和夹角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据空间向量基本定理得到，平方后结合空间数量积公式求出，求出答案；（2）先求出，结合空间向量夹角余弦公式求出答案.【详解】（1）由题意得，又，，，，，故，故；（2），则.【跟踪训练31】（2024·河北·统考模拟预测）点、分别是正四面体ABCD棱、的中点，则______．【答案】【分析】以为基底，，即可求解.【详解】解：以为基底，它们两两之间均为，设正四面体ABCD棱长为2，则,所以，所以,故答案为：【跟踪训练32】（2324高二上·湖北·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，．(1)求的长．(2)求异面直线与所成的角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用及向量的运算律和数量积求解即可.（2）利用及向量的数量积求夹角即可.【详解】（1），所以，即的长为.（2），又由余弦定理得，所以设所求异面直线所成角为，.类型四：利用空间向量数量积证明垂直问题【例4】（2024秋·重庆九龙坡·高二重庆实验外国语学校校考期末）如图，已知平行六面体中，底面是边长为1的菱形，，(1)求线段的长；(2)求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）设，则，∵，则.∵，∴.故线段的长为.（2）证明：∵，∴.故.【跟踪训练4】（2023·江苏·高二专题练习）已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点.(1)用表示，并求出；(2)求证：.【答案】(1)，(2)证明见解析【详解】（1）因为点是的重心，所以因为点是线段的中点，所以.因为正四面体的棱长为，所以,所以，所以.（2），所以.五、素养提升【例5】（2024·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，四边形为矩形，且，，．(1)求线段的长度；(2)求异面直线与所成角的余弦值；(3)若为的中点，证明：．【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）由已知角的三边作为空间向量的一组基底，由基底表示再进行模长计算即可；（2）由基底表示、，再代入向量夹角公式计算即可；（3）由计算即可得结果.【详解】（1）因为，所以，∴，所以线段的长度为．（2）∵，，∴，故异面直线与所成角的余弦值为.（3）因为为的中点，所以，又∵，∴，即．六、随堂检测：1．棱长为2的正四面体ABCD中，点E是AD的中点，则（

）

A．1 B．－1 C． D．【答案】A【分析】由求解即可．【详解】，所以．故选：A．2．已知空间单位向量，，两两垂直，则（

）A． B． C．3 D．6【答案】A【分析】先根据单位向量得出模长，再根据垂直得出数量积，最后应用运算律求解模长即可.【详解】因为空间单位向量两两垂直,所以，所以.故选：A.3..（2324高二下·江苏·课前预习）如图，在直三棱柱中，，，则向量与的夹角是（）

A．30° B．45°C．60° D．90°【答案】C【分析】由线面垂直推导出线线垂直，再利用向量运算及夹角公式运算求解.【详解】∵平面，平面，平面，∴.∵，，∴，又，∴E为的中点，∴.∵，∴.∵∴＝,又，∴.故选：C.4.（2024·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，在平行六面体中，，，，，，则与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据空间向量的基本定理和向量的数量积的定义即可求解.【详解】设，，，因为向量不共面，故可构成空间的一组基底，结合，，，，，所以=0，，，则，，可得，，，所以，又因为异面直线所成角的范围是，所以与所成角的余弦值为.故选：B.5（2324高二下·福建漳州·阶段练习）在平行六面体中，，，，，，则=【答案】【分析】根据题意，由条件可得，再由空间向量的模长公式计算即可得.【详解】因为，所以，故.故答案为：.6.如图所示，平行六面体中，，.

(1)用向量表示向量，并求；(2)求.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据空间向量的线性运算，得到，结合向量的数量积的运算法则，即可求解；（2）由空间向量的运算法则，得到，结合向量的数量积的运算公式，即可求解.【详解】（1）解：根据空间向量的线性运算，可得，可得，所以.（2）解：由空间向量的运算法则，可得，因为且，所以.7.（2324高二上·河南开封·期末）如图，在空间四边形ABCD中，，，，，.(1)求；(2)求CD的长.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据数量积的定义直接求解即可；（2）先利用加法法则表示，然后利用数量积的运算律求解即可.【详解】（1）因为，，，所以；（2）因