第2章《有理数的运算》（教师版）

20232024学年浙教版数学七年级上册易错题真题汇编（提高版）第2章《有理数的运算》考试时间：120分钟试卷满分：100分难度系数：0.43一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021秋•桓台县期末）如果a﹣b＞0，且a+b＜0，那么一定正确的是（）A．a为正数，且|b|＞|a| B．a为正数，且|b|＜|a| C．b为负数，且|b|＞|a| D．b为负数，且|b|＜|a|解：∵a﹣b＞0，∴a＞b，①b≥0则a一定是正数，此时a+b＞0，与已知矛盾，∴b＜0，∵a+b＜0，当b＜0时，①若a、b同号，∵a＞b，∴|a|＜|b|，②若a、b异号，∴|a|＜|b|，综上所述b＜0时，a≥0，|a|＜|b|．故选：C．2．（2分）（2022秋•潢川县期中）m是有理数，则m+|m|（）A．可以是负数 B．不可能是负数 C．一定是正数 D．可是正数也可是负数解：当m＞0时，m+|m|＞0，当m＝0时，m+|m|＝0，当m＜0时，m+|m|＝0，故选：B．3．（2分）计算（﹣3）2÷4×的结果是（）A．﹣9 B．9 C． D．解：（﹣3）2÷4×＝9××＝，故选：C．4．（2分）（2021春•浦江县期末）现有价格相同的6种不同商品，从今天开始每天分别降价10%或涨价10%，若干天后，这6种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为r，则r的最小值为（）A．（）3 B．（）4 C．（）5 D．（）6解：设6种商品最初的价格为a，则n天（其中有m天降价，n﹣m天涨价）后商品的价格为a（1﹣10%）m（1+10）n﹣m＝（）m（）n﹣ma，∴6种商品的价格可表示为：①（）m（）n﹣ma，②（）m+1（）n﹣m﹣1a，③（）m+2（）n﹣m﹣2a，④（）m+3（）n﹣m﹣3a，⑤（）m+4（）n﹣m﹣4a，⑥（）m+5（）n﹣m﹣5a，设最高价格和最低价格的比值为r，∴r的最小值为，故选：C．5．（2分）（2021秋•邹城市期中）如图，有①，②，③，④，⑤五张写着不同数字的卡片，请你从中抽取三张卡片，使其中两张卡片上数字之差与第三张卡片上数字的乘积最小，你抽取的三张卡片应是（）A．①，②，③ B．②，③，④ C．①，②，⑤ D．②，④，⑤解：4﹣（﹣2）＝6，6×（﹣5）＝﹣30．故选：C．6．（2分）（2021秋•启东市校级月考）下面结论正确的有（）①0是最小的整数；②在数轴上7与9之间的有理数只有8；③若a+b＝0，则a、b互为相反数；④有理数相加，和不一定大于其中一个加数；⑤1是绝对值最小的正数；⑥有理数分为正有理数和负有理数．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：①因为0不是最小的整数，所以①错误，不符合题意；②因为在数轴上7与9之间的有理数有无数个，所以②错误，不符合题意；③因为a+b＝0，所以a、b互为相反数，所以③正确，符合题意；④因为有理数相加，和不一定大于其中一个加数，所以④正确，符合题意；⑤因为1不是绝对值最小的正数，所以⑤错误，不符合题意；⑥因为有理数分为正有理数、0和负有理数，所以⑥错误，不符合题意．所以结论正确的有③④，2个．故选：B．7．（2分）（2022秋•永春县期中）设，利用等式（n≥3），则与A最接近的正整数是（）A．18 B．20 C．24 D．25解：利用等式（n≥3），代入原式得：＝48×（++…+﹣）＝12×（1﹣+﹣+﹣+…+）＝12×[（1++…+）﹣（+…+）]＝12×（1+）而12×（1+）≈25故选：D．8．（2分）（2022•西城区校级模拟）如图，A，B，C，D是数轴上四个点，A点表示数为10，E点表示的数为10100，AB＝BC＝CD＝DE，则数1099所对应的点在线段（）上．A．AB B．BC C．CD D．DE解：∵A点表示数为10，E点表示的数为10100，∴AE＝10100﹣10，∵AB＝BC＝CD＝DE，∴AB＝AE＝（10100﹣10），∴B点表示的数为＝（10100﹣10）+10，∵（10100﹣10）+10﹣1099＝×1099﹣＞0，∴（10100﹣10）﹣10＞0，∴数1099所对应的点在B点左侧，∴数1099所对应的点在AB点之间，故选：A．9．（2分）（2020秋•济南期末）取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．这个结论在数学上还没有得到证明．但举例验证都是正确的．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：如图所示．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个解：根据分析，可得则所有符合条件的m的值为：128、21、20、3．故选：B．10．（2分）（2021秋•北仑区校级月考）对正整数n，记1×2×…×n＝n！若M＝1!×2!×…×10!，则M的正因数中共有完全立方数（）个．A．468 B．684 C．846 D．648解：∵M＝1！×2！×3！×4！×5！×6！×7！×8！×9！×10!，∴M＝1×29×38×47×56×65×74×83×92×10＝238×317×57×74，所以238含有的立方数约数有20、23、26…236共13个，317含有的立方数约数有30、33、36…315共6个，57含有的立方数约数有50、53、56共3个，74含有的立方数约数有70、73共2个，所以M含有立方数约数为13×6×3×2＝468，故选：A．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•铁岭模拟）随着自主研发能力的增强，我国在制造芯片最重要也是最艰难的技术上有了新突破——光刻机，将在2023年下半年推出第一台0.000000028m（28nm）工艺的国产沉浸式光刻机，其中数据0.000000028用科学记数法可表示为2.8×10﹣8．解：0.000000028＝2.8×10﹣8．故答案为：2.8×10﹣8．12．（2分）（2023•宿迁四模）有2023个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么这2023个数的和是0．解：由题意可得，这列数为：0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，…，∴前6个数的和是：0+1+1+0﹣1﹣1＝0，∵2023÷6＝337…1，∴这2023个数的和是：0×337+0＝0．故答案为：0．13．（2分）（2023•镇江二模）幺米是公认的最小长度单位，1幺米＝10﹣24米，24幺米用科学记数法表示为2.4×10﹣23米．解：24幺米＝24×10﹣24米＝2.4×10﹣23米．故答案为：2.4×10﹣23．14．（2分）（2023春•长宁区期末）a为有理数，定义运算符号△：当a＞﹣2时，△a＝﹣a；当a＜﹣2时，△a＝a；当a＝﹣2时，△a＝0．根据这种运算，则△[4+△（2﹣5）]的值为﹣1．解：根据题中的新定义得：△（2﹣5）＝△（﹣3）＝﹣3，则原式＝△（4﹣3）＝△1＝﹣1，故答案为：﹣115．（2分）（2022秋•安岳县期末）定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2写作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）写作（﹣3）④，读作“（﹣3）的圈4次方”．一般地，把（a≠0）记作：aⓝ，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：a①＝a．通过以上信息，请计算：2022②×（﹣）④+（﹣1）⑰＝3．解：2022②×（﹣）④+（﹣1）⑰＝2022÷2022×（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）+＝1×4+（﹣1）＝3．故答案为：3．16．（2分）（2022秋•铁东区校级月考）如下，方格表中的格子填上了数，每一行每一列及两条对角线中所填数的和均相等，则x的值9．16x111512解：16+11+12＝39，39﹣11﹣15＝13，39﹣12﹣13＝14，x＝39﹣16﹣14＝9．故答案为：9．17．（2分）（2021秋•庄河市期末）庄河十二月份某天上午10时气温为5℃，过4小时后气温上升了4℃，又过了3小时气温又下降2℃，则此时的气温是7℃．解：由题意可列：5+4﹣2＝7（℃）故答案为：7．18．（2分）（2018秋•成都期末）已知，|a|＝﹣a，＝﹣1，|c|＝c，化简|a+b|﹣|a﹣c|﹣|b﹣c|＝﹣2c．解：∵|a|＝﹣a，＝﹣1，|c|＝c，∴a为非正数，b为负数，c为非负数，∴a+b＜0，a﹣c≤0，b﹣c＜0，则原式＝﹣a﹣b+a﹣c+b﹣c＝﹣2c，故答案为：﹣2c19．（2分）（2018秋•翠屏区期中）如图，定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，第三次“F运算”的结果是11．若n＝449，则第449次“F运算”的结果是8．解：本题提供的“F运算”，需要对正整数n分情况（奇数、偶数）循环计算，由于n＝449为奇数应先进行F①运算，即3×449+5＝1352（偶数），需再进行F②运算，即1352÷23＝169（奇数），再进行F①运算，得到3×169+5＝512（偶数），再进行F②运算，即512÷29＝1（奇数），再进行F①运算，得到3×1+5＝8（偶数），再进行F②运算，即8÷23＝1，再进行F①运算，得到3×1+5＝8（偶数），…，即第1次运算结果为1352，…，第4次运算结果为1，第5次运算结果为8，…，可以发现第6次运算结果为1，第7次运算结果为8，从第4次运算结果开始循环，且奇数次运算的结果为8，偶数次为1，而第499次是奇数，这样循环计算一直到第449次“F运算”，得到的结果为8．故答案为：8．20．（2分）（2021秋•新乡期中）某种细胞开始有两个，1小时后分裂成4个并死去一个，2个小时后分裂成6个并死去一个，3小时后分裂成10个并死去1个，按此规律，请你计算经过n个小时后，细胞存活的个数为（2n+1）个（结果用含n的代数式表示）解：根据题意得：A0＝2，A1＝3，A2＝5，A3＝9，…按此规律，6小时后存活的个数是26+1＝65个，经过n个小时后，细胞存活的个数为An＝2n+1（个）．故答案为：（2n+1）．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•祁阳县期末）计算：（1）；（2）﹣10+8÷（﹣2）2﹣（﹣4）×（﹣3）．解：（1）＝﹣36×+36×﹣36×＝﹣18+30﹣21＝12﹣21＝﹣9；（2）﹣10+8÷（﹣2）2﹣（﹣4）×（﹣3）＝﹣10+8÷4﹣12＝﹣10+2﹣12＝﹣8﹣12＝﹣20．22．（8分）（2023春•定远县期中）对于等式an＝b，若知道a和n求b，则称为乘方运算；若知道b和n求a，则称为开方运算．现新定义：对于等式an＝b中，知道a和b求n，且规定n＝L（a，b）．如：24＝16，则有：L（2，16）＝4．（1）根据上述规定，填空：①L（3，81）＝4；②L（2，0.25）＝﹣2；（2）计算：L；（3）探索L（2，3）•L（3，5）与L（2，5）的大小关系，并说明理由．解：（1）①∵34＝81，∴L（3，81）＝4，故答案为：4；②∵2﹣2＝0.25，∴L（2，0.25）＝﹣2，故答案为：﹣2；（2）∵（）﹣3＝27，25＝32，∴L＝﹣3+5＝2；（3）L（2，3）•L（3，5）＝L（2，5），设L（2，3）＝x，L（3，5）＝y，L（2，5）＝z，则2x＝3，3y＝5，2z＝5，∴3y＝（2x）y＝2xy＝5，∴2xy＝2z，∴xy＝z，即L（2，3）•L（3，5）＝L（2，5）．23．（6分）（2022秋•成都期末）（1）计算：|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣|；（2）小明同学在计算（﹣6）×（﹣）﹣23时，发现题中有一个数字被墨水污染了．如果计算结果等于6，求被污染的数字是多少？解：（1）|﹣|+|﹣|+|﹣|+…+|﹣|＝﹣+﹣+﹣+...+﹣＝﹣＝；（2）设被污染的数字是x，由题意得：（﹣6）×（﹣x）﹣23＝6，﹣4+6x﹣8＝6，6x＝6+4+8，6x＝18，x＝3，∴被污染的数字是3．24．（8分）（2023春•吴江区期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）；如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（3，9）＝2，（4，16）＝2，（﹣2，﹣8）＝3；（2）有同学在研究这种运算时发现一个现象：（3n，4n）＝（3，4），他给出了如下的证明：设（3n，4n）＝x，∴（3n）x＝4n即（3，4）＝x，∴（3n，4n）＝（3，4）．①若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，请你尝试运用上述这种方法证明a+b＝c；②猜想[（x﹣1）n，（y+1）n]+[（x﹣1）n，（y﹣2）n]＝（（x﹣1），（y2﹣y﹣2））（结果化成最简形式）．解：（1）∵32＝9，∴（3，9）＝2；∵42＝16，∴（4，16）＝2；∵（﹣2）3＝﹣8，∴（﹣2，﹣8）＝3．故答案为：2，4，3；（2）①∵（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，∴4a＝5，4b＝6，4c＝30，∴4a×4b＝5×6＝30＝4c，∴4a+b＝4c，即a+b＝c；②设[（x﹣1）n，（y+1）n]＝p，[（x﹣1）n，（y﹣2）n]＝q，由上述结论，知（x﹣1）p＝y+1，（x﹣1）q＝y﹣2，且[（x﹣1）n，（y+1）n]+[（x﹣1）n，（y﹣2）n]＝p+q，∵（x﹣1）p×（x﹣1）q＝（y+1）（y﹣2），即（x﹣1）p+q＝y2﹣y﹣2，∴[（x﹣1），（y2﹣y﹣2]＝p+q，∴[（x﹣1）n，（y+1）n]+[（x﹣1）n，（y﹣2）n]＝[（x﹣1），（y2﹣y﹣2]．故答案为：（x﹣1），（y2﹣y﹣2）．25．（8分）（2022秋•湘潭县期末）已知x，y为有理数，现规定一种新运算*，满足x*y＝xy﹣2x+1（1）求3*2的值；（2）对于任意两个有理数x，y，是否都有x*y＝y*x成立？如果成立，请证明，如果不成立，请举反例说明；（3）如图，数轴上线段AB＝2（单位长度），CD＝4（单位长度），点A在数轴上表示的数是1*（﹣9），点C在数轴上表示的数是（﹣8）*．若线段AB以6个单位长度每秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度每秒的速度向左匀速运动．问运动多少秒时，BC＝8（单位长度）？此时点B在数轴上表示的数是多少．解：（1）3*2＝3×2﹣2×3+1＝1（2）不成立，当x＝3，y＝2时，x*y＝3*2＝3×2﹣2×3+1＝1，y*x＝2*3＝2×3﹣2×2+1＝6﹣4+1＝3，∴对于任意两个有理数x，y，x*y＝y*x不一定成立；（3）∵点A在数轴上表示的数是1*（﹣9）＝1×（﹣9）﹣2×1+1＝﹣10，∵AB＝2，∴点B在数轴上表示的数是：﹣8，∵点C在数轴上表示的数是（﹣8）*＝﹣8×﹣2×（﹣8）+1＝16，设运动t秒时，BC＝8（单位长度），分两种情况：①当点B在点C的左侧时，由题意得：（16﹣2t）﹣（﹣8+6t）＝8，t＝2，此时点B在数轴上表示的数是：﹣8+6t＝﹣8+12＝4，②当点B在点C的右侧时，由题意得：（﹣8+6t）﹣（16﹣2t）＝8，t＝4，此时点B在数轴上表示的数是：﹣8+6t＝﹣8+24＝16．26．（8分）（2021秋•红花岗区期末）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题．【类比探究】（1）猜想并写出：＝；【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：；【迁移应用】（3）探究并计算：．解：（1）＝，故答案为：；（2）由（1）易得：＝＝＝；（3）+＝﹣×（++++…+）＝﹣×（1﹣++…+）＝﹣×（1﹣）＝﹣×＝﹣．27．（8分）（2022秋•龙沙区期中）【概念学习】规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫作除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作2的圈3次方，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作﹣3的圈4次方，一般地，把记作aⓝ，读作a的圈n次方．【初步探究】（1）直接写出计算结果：3③＝，（﹣）⑤＝﹣27．（2）关于除方，下列说法错误的是C．A．任意非零数的圈2次方都等于1B．对于任意正整数n，1的圈n次方都等于1．C．3④＝4③．D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数．【深入思考】（3）我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？除方→2④＝2÷2÷2÷2＝2×××＝（）2＝乘方幂的形式Ⅰ．试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式；5⑥＝（）4，（﹣）⑩＝28；Ⅱ．想一想，将一个非零有理数a的圈n（n为大于2的正整数）次方写成幂的形式等于（）n﹣2；Ⅲ．算一算，求122÷（﹣）④÷（﹣2）⑤﹣（﹣）⑥÷33的值．解：（1）3③＝3÷3÷3＝，（﹣）⑤＝（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）÷（﹣）＝﹣27，故答案为：，﹣27；（2）任意非零数的圈2次方都等于1，A选项正确；对于任意正整数n，1的