（教学设计）第6章§33.2刻画空间点、线、面位置关系的公理(二)2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)

（教学设计）第6章§33.2刻画空间点、线、面位置关系的公理(二)2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）（教学设计）第6章§33.2刻画空间点、线、面位置关系的公理(二)2023-2024学年新教材高中数学必修第二册(北师大版2019)课程基本信息1.课程名称：高中数学必修第二册（北师大版2019）第6章§33.2刻画空间点、线、面位置关系的公理（二）

2.教学年级和班级：高二年级

3.授课时间：2023-2024学年度

4.教学时数：1课时核心素养目标教学难点与重点1.教学重点

①理解并掌握刻画空间点、线、面位置关系的公理（二）的基本概念和性质。

②能够运用公理解答有关空间几何位置关系的问题。

③培养学生在实际问题中应用公理解决问题的能力。

2.教学难点

①空间想象能力的培养，特别是对于空间几何图形的识别和构造。

②理解和运用公理证明空间几何问题的逻辑推理过程。

③在复杂空间几何问题中，正确选择和应用公理，形成解题策略。教学资源-硬件资源：投影仪、电脑、多媒体教学设备

-软件资源：几何画板软件、PPT演示文稿

-课程平台：学校教学管理系统

-信息化资源：数学教学视频、电子教案、在线练习题库

-教学手段：小组讨论、问题驱动、案例教学、实时反馈教学流程1.导入新课（5分钟）

-通过展示一些生活中的空间几何现象，如建筑物的结构、道路的布局等，引导学生思考空间点、线、面的位置关系。

-提问：“在上一节课中，我们学习了哪些公理？这些公理在现实生活中有哪些应用？”

-引导学生回顾上一节课的内容，为新课的学习做好铺垫。

2.新课讲授（15分钟）

-讲解新课内容，具体包括以下三个方面：

①介绍刻画空间点、线、面位置关系的公理（二），如平行公理、垂直公理等，并解释其含义。

②通过示例图形，展示公理在实际问题中的应用，如判断线与面是否平行、线与线是否垂直等。

③分析公理在解题过程中的作用，如如何利用公理简化问题、提高解题效率。

3.实践活动（15分钟）

-实践活动一：让学生在纸上画出一些空间几何图形，如长方体、正方体等，并标出各个点、线、面之间的位置关系。

-实践活动二：给定一个实际空间几何问题，要求学生运用所学的公理进行分析和解答。

-实践活动三：组织学生进行小组讨论，分享自己在实践活动中的发现和困惑，互相学习和帮助。

4.学生小组讨论（10分钟）

-讨论一：如何运用公理判断空间几何图形中点、线、面的位置关系？

举例回答：如判断长方体中一条边与一个面的位置关系，可以通过平行公理和垂直公理进行判断。

-讨论二：在解决实际空间几何问题时，如何选择合适的公理进行解答？

举例回答：如在求解线段与平面所成的角时，可以运用垂直公理和三角函数知识进行解答。

-讨论三：如何将公理与实际问题相结合，提高解题效率？

举例回答：在解决空间几何问题时，可以先分析问题中的点、线、面关系，然后选择合适的公理进行解答，从而简化问题和解题过程。

5.总结回顾（5分钟）

-回顾本节课所学内容，重点强调刻画空间点、线、面位置关系的公理（二）的应用。

-总结学生在实践活动中的表现，对学生的讨论和解答进行点评，指出优点和需要改进的地方。

-强调学生在实际解题中要善于运用公理，提高解题效率，培养空间想象能力和逻辑思维能力。学生学习效果学生学习效果主要体现在以下几个方面：

1.知识掌握方面：

-学生能够准确理解和记忆刻画空间点、线、面位置关系的公理（二），包括平行公理、垂直公理等。

-学生能够熟练运用公理解答相关的空间几何问题，如判断线与面是否平行、线与线是否垂直等。

-学生能够通过公理的应用，解决实际问题，如空间几何图形的构建、空间角度的计算等。

2.能力提升方面：

-学生的空间想象能力得到了显著提升，能够更好地在脑海中构建和操作空间几何图形。

-学生的逻辑推理能力得到了锻炼，能够通过公理进行严密的逻辑推理，形成解题思路。

-学生的实际问题解决能力得到了增强，能够将理论知识与实际问题相结合，提出有效的解决方案。

3.思维发展方面：

-学生在学习过程中，逐渐形成了通过公理分析问题的思维方式，这有助于他们在解决复杂问题时，能够快速定位关键信息。

-学生在小组讨论中，学会了倾听他人的观点，通过交流讨论，能够整合不同的思路，形成更加完善的解题策略。

-学生在总结回顾环节，能够自我反思学习过程中的不足，通过教师的点评，找到了改进的方向。

4.学习态度方面：

-学生对空间几何的学习兴趣得到了激发，他们更加积极主动地参与到课堂讨论和实践活动之中。

-学生在学习过程中，表现出了良好的学习态度，对遇到的困难和挑战，能够坚持不懈地克服。

-学生对数学学科的认识得到了深化，他们开始意识到数学知识在解决实际问题中的重要作用。

5.综合运用方面：

-学生能够将所学的公理与之前学过的空间几何知识相结合，形成更加系统的空间几何知识体系。

-学生在解决综合性的空间几何问题时，能够灵活运用多个公理，提高解题效率和准确性。

-学生在未来的学习过程中，将能够更加自信地面对空间几何问题，因为他们已经具备了扎实的理论基础和实际操作能力。内容逻辑关系1.空间点、线、面位置关系的公理理解

①空间点、线、面的基本概念及其相互关系，如点在直线上、线在平面内等。

②公理的定义和表述，如平行公理的定义是“如果一条直线与平面内的两条直线都平行，那么这两条直线平行”。

③公理的应用条件，如垂直公理适用于判断线与面、线与线之间的垂直关系。

2.公理在解题中的应用

①解题策略的选择，如何根据题目条件选择合适的公理进行分析。

②解题过程中的逻辑推理，如何运用公理进行严密的逻辑推理。

③解题后的结果验证，如何利用公理检验解题结果的正确性。

3.空间几何问题的实际应用

①空间几何问题的现实背景，如何将实际问题转化为空间几何问题。

②公理在解决实际问题中的作用，如何利用公理简化问题和解题过程。

③实际问题的解答步骤，如何按照逻辑顺序运用公理进行解答。重点题型整理题型一：判断题

1.题目：在空间几何中，如果一条直线与平面内的两条直线都垂直，那么这两条直线一定垂直。

答案：错误。根据垂直公理，如果一条直线与平面内的两条直线都垂直，那么这两条直线平行，而不是垂直。

题型二：填空题

2.题目：如果一条直线与平面内的两条平行线都相交，那么这两条直线所成的角是______。

答案：相等。

题型三：证明题

3.题目：已知直线AB和平面α，点C在平面α内，且BC垂直于平面α。证明：直线AB与平面α垂直。

答案：证明过程如下：

-连接点B和点C，形成线段BC。

-由于BC垂直于平面α，根据垂直公理，直线BC与平面α内的任意直线都垂直。

-由于直线AB与线段BC相交，且BC垂直于平面α，根据垂直公理的推论，直线AB与平面α垂直。

题型四：应用题

4.题目：一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，求证：对角线AC与对角线BD所成的角是直角。

答案：证明过程如下：

-设长方体的顶点分别为A、B、C、D，其中ABCD是底面，AC是底面对角线，BD是顶面对角线。

-由于长方体的对边平行，底面ABCD是矩形，因此AC与BD平行。

-由于长方体的侧面是矩形，且AC与BD分别垂直于底面和顶面，根据垂直公理，AC与BD所成的角是直角。

题型五：综合题

5.题目：在空间中，直线AB与平面α相交于点C，点D在平面α内，且CD垂直于平面α。已知∠ACB=30°，BC=10cm，求直线AB与平面α所成的角。

答案：解答过程如下：

-由于CD垂直于平面α，根据垂直公理，直线CD与平面α内的任意直线都垂直。

-因此，∠ACD是直线AB与平面α所成的角。

-在直角三角形ACD中，∠ACD=90°-∠ACB=60°。

-根据三角函数，tan(∠ACD)=BC/CD，由于∠ACD=60°，tan(60°)=√3。

-因此，CD=BC/tan(60°)=10cm/√3=10√3/3cm。

-直线AB与平面α所成的角∠ACD的正切值是√3，因此∠ACD=60°。教学评价与反馈1.课堂表现：

-学生在课堂上的参与度较高，能够积极回答问题，提出自己的疑问。

-学生能够跟随教师的讲解思路，对空间点、线、面位置关系的公理（二）有较好的理解和掌握。

-在实践活动中，学生能够主动尝试，通过实际操作加深对公理的理解。

2.小组讨论成果展示：

-学生在小组讨论中，能够有效地交流思想，共同解决问题。

-每个小组都能够展示出对公理应用的深入理解，能够举例说明公理在实际问题中的应用。

-小组讨论成果展示中，学生能够清晰地表达自己的思路，展示了解题过程和最终答案。

3.随堂测试：

-随堂测试题目涵盖了本节课的重点知识点，包括公理的理解、应用和实际问题的解决。

-学生在测试中表现良好，能够迅速准确地运用公理解题，显示出对知识点的掌握程度。

-测试结果反映出学生在某些方面还存在理解不足，需要进一步巩固和练习。

4.课后作业完成情况：

-学生能够按时完成课后作业，作业质量较高，能够体现出对课堂内容的理解和应用。

-作业中，学生对公理的应用存在一些误区，需要教师在下节课进行针对性的讲解和指导。

-学生在作业中提出的疑问，教师能够及时回复，帮助学生解决学习中的困难。

5.教师评价与反馈：

-针对学生的课堂表现，教师给予积极的评价