巧用放缩解高考题-国际应用数学进展

为命题的热点之一，备受关注。本文研究2023年高考数学试题本在放缩法，下面将详细说明放缩法在高考题中总能起到承上启下、至关重要的作用。【收稿日期】2023年7月21日【出刊日期】2023年9月15日【DOI】10.12208/j.aam.20231021Itisoftenencounteredinthederivativeclosingquestionsofcollegeentranceexaminatiocomprehensivequestionscombinedwithinequalities.Properthesolutionoftheproblem,andshrinkagemethodisalsoanimportantmathematicalidea.Thenewexaminationattachesgreatimportancetotheexaminationofthecorequalityomethodbearstheabilityofreasoningandargumentation,whichbelongstothecorequalityoflogicalreasoning[1],whichmakesitbecomeoneofthehottopicsofpropositionandattractsmuchattention.Thispaperstudiesthe2023andrationalthinking,andtheturningpointofthetopicisbasicallyinthereductionmethod,thefollowingwillbedetailedtoexplainthereductionmethodinthecollegeentranceexaminationquestionscainlinkingtheprecedingandthefollowing.【Keywords】Expansionandcontractionmethod;Collegeentranceex者的有效途径，符合学生用现有高中知识解决数学问题的能力，培养逻辑推理、数学运算的核放缩法的本质是不等式的传递性即若A>B,B>C，则A>C，一般用于两式或不等式两端差别较大的要平时做题时的经验积累。它常常渗透在不等式的某个环节上，因例1（2023年全国Ⅰ卷22题）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P记动点P的轨迹为W。（1）求W的方程; （2）已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于33.求最值问题对考生来说是“老朋友”了，但是在求解过程中会出现“障碍”—运算量过大（弦长AB和BC解析y=x2+1k则设BA，DA的斜率分别为k和−1k2222令k2=m，则m∈=m2+3m+，当时，f′<0，此时,，f(m)>0，此时f(m)单调递增，:矩形ABCD的周长大于3明不等式的常见方法与技巧往往渗透其中，起到引数化为幂函数，可以起到化难为易，峰回路转的作用，这一过程体现了转化与化归的思在数学高考中，三角函数是求导类题目的“常客”，这不仅仅是考察单个知识点，更强调的是知之间的整合，解决此类问题需要熟练掌握三角函数的奇偶性和单调性等性质，通过这些特殊性质，以用重要极限来合理放缩，可以解决大部分求导类大题中的三角函数问题。通过归纳总结这类问题，可好的培养学生逻辑推理及数学运算等核心素养。下例2（2023年全国Ⅱ卷22题1）证明：当0<x<1时，x−x2<sinx<x;（2）f，若x=0是f(x)的极大值点，求a的取值范围。进行求导，分类讨论0<a2<2和a2≥2即可，并且在第一题中给了提示，当0<a2≤2时，可利用sinx<x进行放缩，当a2≥2时，可利用x−x2<sinx进行放缩，再根据极大值的定义分析求解。解析1）略（2）令1−x2>0，解得−1<x<1，即函数f(x)的定义域为(−1,1)，1−x2:y=−lnu在定义域内单调递减，u=1−x2在(−1,0)上单调递增，在(0,1)上单调递减，在−ln1−x21−x2且f(−x)=cos(−bx)−ln1−(−x)2=cosbx−ln(1−x2)=f(x)，x)=−bsinbx 当0<b2≤2时，取m=min，则bx∈ x−2结合偶函数的对称性可知：f(x)在(−m,0)上单调递减，∴x=0是f(x)的极小值点，不合题意;2>2时，取x∈0,,bx−b2x2)−=3x3+b2x2+b3x+2−b2),:h在内存在唯一的零点，>0，结合偶函数的对称性可知：f(x)在(−n,0)上单调递增，:x=0是f(x)的极大值点，符合题意;综上所述：当b2>2，即a2>2时，解得a>或a<−,u。函数的放缩来解决难题，这里总结了一些对数函数常用的放缩：lnx≤kx+b型，lnx≤ax2+bx+c型，lnx≤kx+b型等，具体放缩需要根据（2）是否存在a,b，使得曲线关于直线x=b对称，若存在，求a,b的值，若不存在，说明理对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论a≤0，a≥和0<a<三中情况即可求得实数a的取（3）由函数的解析式可得f′(，:f(x)在区间(0,+∞)存在极值点，:f′(x)在区间(0,+∞)上存在变号零点，即零点两侧取异号，22:f(x)在区间(0,+∞)存在极值点，等价于g(x)在区间(0,+∞)上存在变号零点，:g(x)在区间(0,+∞)上单调递减，:g(x)<g(0)=0，g(x)在区间(0,+∞)上无零点，不合题意;:<1，所以g′′(x)>0,g′(x:g′(x)>g′(0)=0，则g(x)在区间(0,+∞)上单调递增，g(x)>g(0)=0，:g(x)在区间(0,+∞)上无零点，不符合题意;③当0<a<时，由=2a−=0可得x=当时，g′′<0，g′单调递减，令=lnx−x2+x，则h′当x∈(0,1)时，h′(x)>0,h(x)单调递增，当x∈(1,+∞)时，h′(x)<0,h(x)单调递减，根据零点存在性定理可知：g′(x)在区间(0,+∞)上存在唯一零点x0。当x∈(0,x0)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(x0,+∞)时，g′(x)>:g(x0)<g(0)=0。,:n(x)单调递减，注意到n(1)=0，,:g(x)=ax2+x−(x+1)ln(x+1)，,22:函数g(x)在区间(0,+∞)上存在变号零点，符合题意。用切线放缩法时要“先证后用”，其次要注意等号成,1ln3解析1）−1ln334*，:h(n+1)−h(n)<0，故h(n)在n∈N*上递减，故h(n)≤h(1)=1;当0<x<1时，φ′(x)>0，φ(x)递增，当x>1时φ′(x)<0，φ(x)递减，,:a1:h(x)在x>0时单调递减，则有h=0，即ln评析：第三问采用两种方法证明，一种是直接证明，通过作差法研究函数单调性，再通过构造函数进行放缩，经过累加证出;另一种是通过分析法，根据数列单调性，进行放缩，可想到累加和证明，两种方法的本质都是相同的，均采用合适的放缩来达到目的，读者可结合两种方法共同分析和出色的解题能力，还要求考生熟练的基本技能和临场[1]姜宗帅.巧用放缩法解决高中导数压轴题[J].读写算,2021(15)