2025届高三数学一轮总复习 第三章 第七讲 正弦定理和余弦定理配套课件

第七讲正弦定理和余弦定理2025年高考一轮总复习第三章

三角函数、解三角形名称正弦定理余弦定理定理

R是三角形外接圆的半径a2＝b2＋c2－2bc

cos

A；b2＝a2＋c2－2ac

cos

B；c2＝a2＋b2－2ab

cos

C1.正弦定理与余弦定理(续表)角的分类A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解2.三角形解的判断3.三角形中常用的面积公式【常用结论】(1)在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB.(2)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.(3)内角和公式的变形①sin(A＋B)＝sinC；②cos(A＋B)＝－cosC.(4)角平分线定理如图3-7-1，在△ABC中，点D在BC边上，AD平分∠BAC，图3-7-1

考点一利用正、余弦定理解三角形1.(2023年北京卷)在△ABC中，(a＋c)(sinA－sinC)＝b(sinA－sinB)，则C＝()

所以(a＋c)(sinA－sinC)＝b(sinA－sinB)可化为(a＋c)(a－c)＝b(a－b)，答案：B解得AB＝4或2.故选BD.答案：BD3.(2023年全国Ⅰ卷)已知在△ABC中，A＋B＝3C，2sin(A－C)＝sinB.(1)求sinA的值；(2)设AB＝5，求AB边上的高.解：(1)∵A＋B＝3C，A＋B＋C＝π，

∵2sin(A－C)＝sinB，∴2sin(A－C)＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，∴2sinAcosC－2cosAsinC＝sinAcosC＋cosAsinC.∴sinAcosC＝3cosAsinC.解得h＝6，即AB边上的高为6.

4.(2021年全国Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asinC.(1)证明：BD＝b；(2)若AD＝2DC，求cos∠ABC.∴b＝2Rsin∠ABC，c＝2Rsin∠ACB，∵b2＝ac，∴b·2Rsin∠ABC＝a·2Rsin∠ACB，即bsin∠ABC＝asinC，∵BDsin∠ABC＝asinC，∴BD＝b.(2)解：在△BCD中，由正弦定理可知asinC＝BDsin∠BDC＝bsin∠BDC，而由题意可知ac＝b2⇒asinC＝bsin∠ABC，于是sin∠BDC＝sin∠ABC，从而∠BDC＝∠ABC或∠BDC＋∠ABC＝π.若∠BDC＝∠ABC，则△CBD∽△CAB，于是CB2＝CD·CA⇒【题后反思】解三角形问题的技巧

(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到.

(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.

考点二判断三角形的形状[例1](1)(多选题)(2023

年新乡市校级月考)对于△ABC，有如下判断，其中正确的判断是()A.若cosA＝cosB，则△ABC为等腰三角形B.若△ABC为锐角三角形，则sinA＞cosBC.若a＝8，c＝10，B＝60°，则符合条件的△ABC有两个D.若sin2A－sin2B＜sin2C，则△ABC是钝角三角形答案：ABD边)，则△ABC的形状为()A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b2＝c2.所以△ABC为直角三角形，无法判断两直角边是否相等.又sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，所以cosBsinC＝sinBcosC＋cosBsinC，即sinBcosC＝0，又sinB≠0，所以cosC＝0，又角C为三角形的内角，否相等.答案：A【题后反思】判断三角形形状的常用技巧若已知条件中既有边又有角，则(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状.此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.【变式训练】考点三与三角形面积、周长有关的问题考向1与三角形面积有关的问题[例2](2023年抚州市校级期末)△ABC的内角A，B，C的对【题后反思】(1)求三角形面积的方法①若已知三角形的一个角(角的大小或该角的正、余弦值)及该积.

②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入(1)中公式求面积.总之，结合图形选择恰当的面积公式是解题的关键.(2)已知三角形面积求边、角的方法①若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解.②若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解.考向2与三角形周长有关的问题答案：12

【考法全练】

1.(考向1)(2023年哈尔滨市校级期末)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知________(在以下这两个条件中任选一个填入上方的横线上作为已知条件，并解答下面两个问题，如果选择多个条件解答，按第一个解答计分)若选②，acosC＋ccosA＝2bcosB；(1)由正弦定理可得sinAcosC＋sinCcosA＝2sinBcosB，可得sin(A＋C)＝sinB＝2sinBcosB，又a＝2，由余弦定理得b2＋c2－a2＝2bc

cos

A＝bc，即(b＋c)2－2bc－4＝bc，∴b＋c≤4.∴a＋b＋c≤6，∴△ABC周长的最大值为6.⊙解平面图形问题图3-7-2(1)求sin∠BCE的值；(2)求CD的长.解：(1)在△BEC中，由正弦定理知

【反思感悟】平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决.在解决某些具体问题