2025届高三数学一轮总复习 第五章 第一讲 平面向量的概念及线性运算配套课件

第一讲平面向量的概念及线性运算2025年高考一轮总复习第五章

平面向量与复数名称定义备注向量既有大小又有方向的量平面向量是自由向量零向量长度为0的向量记作0单位向量长度等于1个单位长度的向量非零向量a的单位向

量为±

1.向量的有关概念名称定义备注

共线向量(平行向量)方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量记作a＝b相反向量长度相等且方向相反的向量记作a＝－b(续表)向量运算定义运算法则运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)2.向量的线性运算向量运算定义运算法则运算律减法求两个向量差的运算几何意义a－b＝a＋(－b)(续表)向量运算定义运算法则运算律数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μ

a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb(续表)3.向量共线定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b＝λa.【名师点睛】(4)向量加法的多边形法则多个向量相加，利用向量加法的三角形法则，如图5-1-1，首图5-1-1考点一平面向量的概念)1.(多选题)(2023年广东省月考)下列说法正确的是(A.平行向量不一定是共线向量答案：BCD2.下列命题正确的是__________.(填序号)①向量a，b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λa；③只有方向相同或相反的向量是平行向量；④若向量a，b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线.解析：易知①②③错误.∵向量a与b不共线，∴向量a，b，a＋b与a－b均不为零向量.若a＋b与a－b共线，则存在实数λ使a＋b＝λ(a－b)，即即a＋b与a－b不共线.故④正确.答案：④【题后反思】向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度.(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制.(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等.(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度.(5)零向量的关键是长度为0，规定零向量与任何向量共线.

考点二平面向量的线性运算考向1向量的线性运算答案：C(2)在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分别为)BC，CD的中点，则(解析：根据题意，作图如图5-1-2所示.图5-1-2答案：A考向2利用向量线性运算求参数[例2]如图5-1-3，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点图5-1-3解析：∵E为线段AO的中点，答案：B

【题后反思】平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略 (1)求向量的和或差时应根据向量的相对位置而选用不同的运算法则.两个共起点的向量求和时，应选用平行四边形法则；两个首尾相连的向量求和时，应选用三角形法则；两个共起点的向量作差时，既可利用相反向量的性质转化为首尾相连的向量求和，亦可用口诀“减数指向被减数”运算.

(2)在小题中遇到线段的等分点时，可直接用等和线定理运算.如例2中的点E是线段AC上离点A最近的四等分点，我们直接【考法全练】1.(考向1)如图5-1-4所示，已知AB是圆O的直径，点C，D5-1-4解析：连接CD，由点C，D是半圆弧的两个三等分点，得故选D.答案：D考点三共线向量定理及其应用[例3](1)设两个非零向量a与b不共线.②试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.②解：∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.图5-1-5解析：如图5-1-6，当P在△CDE内(包括边界)时，直线EC＝[3，4].图5-1-6答案：[3，4]【题后反思】利用向量共线定理解题的注意事项

(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用.

(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线.【变式训练】解析：在△ABC中，D，E分别为边AB，AC上的动点，若AD＝2DB，AE＝3EC，由于B，E，F三点共线，同理利用D，F，C三点共线，答案：D2.如图5-1-7所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延m＋n的取