2025届高三数学一轮总复习 第六章 第二讲 空间几何体的表面积与体积配套课件

第二讲空间几何体的表面积与体积2025年高考一轮总复习第六章

立体几何项目圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S侧＝2πrlS侧＝πrlS侧＝π(r1＋r2)l1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下球S＝4πR22.柱体、锥体、台体、球的表面积和体积公式【名师点睛】(1)与体积有关的几个结论①一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.②底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.(2)几个与球有关的切、接常用结论①正方体的棱长为a，球的半径为R：a.若球为正方体的外接球，则2R＝a；b.若球为正方体的内切球，则2R＝a；c.若球与正方体的各棱相切，则2R＝

a.

考点一几何体的表面积

[例1](1)(2023年泉州市模拟)已知圆锥SO的母线长为2，AB是圆O的直径，点M是SA的中点.若侧面展开图中，△ABM为直角三角形，则该圆锥的侧面积为()A.π3

2πB. 3C.4π 3

8πD. 3解析：如图6­2­1所示，因为SB＝SA，且△ABM为直角三角形，所以SA⊥BM.图6-2-1又因为M为SA的中点，所以SB＝AB，答案：C

(2)(2024年北京市模拟)已知某圆台的侧面展开图是一个圆环被圆心角为90°的扇形所截得的扇环，且圆台的侧面积为2π，则该圆台体积的取值范围是_______________.

解析：圆台及侧面展开图如图6-2-2所示.图6­2-2

设圆台上底面为圆O1，半径为R1；下底面为圆O2，半径为R2；圆台母线为l，AB＝l1.

由圆台的侧面积为2π，可得(πR2＋πR1)·l＝2π，

由侧面展开是圆心角为90°的扇形所截得的扇环，【题后反思】(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.(2)旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和.(3)求组合体的表面积时应注意对衔接部分的处理.【变式训练】1.(2023年宜宾市期末)在△ABC中，AB＝BC＝AC＝2，将△ABC绕直线AB旋转一周，得到的旋转体的表面积为()

解析：在△ABC中，AB＝BC＝AC＝2，将△ABC绕直线AB旋转一周，得到的旋转体是两个圆锥体的组合体，如图D30所示.答案：B图D302.(2022年南京市质检)如图6-2-3所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2

，AD＝2，则四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积为________.

图6-2-3

解析：由题意可得，四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体为圆台上面挖去一个圆锥的组合体.如图D31，过点C作CE⊥AD交AD的延长线于点E，过点C作AB的垂线，垂足为点F.图D31则∠EDC＝180°－∠ADC＝45°，EC＝CD·sin45°＝2，ED＝CD·cos45°＝2，CF＝AE＝4，BF＝AB－AF＝3，

3.(2024年新疆维吾尔自治区一模)已知一个圆台的上、下底面半径分别为4和8，且它的侧面展开图扇环的面积为60π，则这个圆台的体积为____________.

解析：根据题意，设该圆台的母线长为l，其侧面展开图扇环的面积为60π，则有S＝π(8＋4)l＝60π，解得l＝5.其轴截面如图D32所示，分别过点D，C作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分别为E，F.图D32梯形ABCD为等腰梯形，且AB＝16，CD＝8.易得四边形CDEF为矩形，则EF＝CD＝8，答案：112π

考点二几何体的体积考向1多面体的体积通性通法：求几何体体积的常用方法

[例2](1)(2023年潍坊市期末)已知直四棱柱的高为1，其底面四边形ABCD水平放置的斜二测直观图为平行四边形A′B′C′D′，∠D′A′B′＝45°，A′B′＝2A′D′＝2，则该直四棱柱的体积为()

解析：∵四边形ABCD水平放置的斜二测直观图为平行四边形A′B′C′D′，∠D′A′B′＝45°，A′B′＝2A′D′＝2，∴原四边形ABCD是边长为2的正方形.又直四棱柱的高为1，∴该直四棱柱的体积为V＝22×1＝4.故选D.答案：D图6-2-4A.74B.73

7C. 2D.7答案：C考向2旋转体的体积

通性通法：求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得，一般是由母线、高、半径组成的直角三角形中列出方程并求解.

[例3]如图6-2-5，龙洗是中国古代的盥洗用具，状貌像鼎，用青铜铸造，因盆内有龙纹而称之为龙洗.龙洗盆体可以近似看作一个圆台，现有一龙洗盆高12cm，盆口直径24cm，盆底直径12cm.)现往盆内注水，当水深为4cm时，盆内水的体积为(图6-2-5

解析：如图6-2-6所示，画出圆台的直观图和轴截面的平面图形.在轴截面上作经过点F且与EF垂直的直线，分别交AB与CD的延长线于点G和点H.图6-2-6由题意知AB＝12，CD＝6，AC＝12，EC＝4.设EF＝x，则DH＝x－6，BG＝12－x.因为△DHF∽△BGF，因为GF＝AE＝8，HF＝CE＝4，答案：B

【考法全练】

1.(考向2)(2023年江门市开学)如图6-2-7，某青铜器的上半部分可以近似看作圆柱，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体.已知AB＝9cm，CD＝3cm，则该青铜器的体积为()图6-2-7解析：设上部圆柱的体积为V1，则答案：A图6-2-8答案：5030考点三组合体的表面积与体积

[例4]如图6-2-9，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周，求旋转体的表面积和体积.图6-2-9

解：如图6-2-9，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，

由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥.由上述计算知，圆柱的高为圆锥的侧面积为S2＝π·a·2a＝2πa2，圆柱的底面积为S3＝π(2a)2＝4πa2，圆锥的底面积为S4＝πa2，【题后反思】处理体积问题的思路

(1)“转”：指的是转换棱锥的底面与高，将原来不易求面积的底面转换为易求面积的底面，将原来不易看出的高转换为易求长度的高.

(2)“移”：指的是当棱锥的顶点沿着与底面平行的方向移动时，棱锥的高不变，体积也不变，移动顶点后可用“转”的方法求棱锥体积.(3)“拆”：指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体，便于计算.

(4)“拼”：指的是将小几何体嵌入一个大几何