2025届高三数学一轮总复习 第六章 第五讲 直线、平面垂直的判定与性质配套课件

第五讲直线、平面垂直的判定与性质2025年高考一轮总复习第六章

立体几何1.直线与平面垂直(1)定义

如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面.定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直

⇒l⊥α(2)判定定理与性质定理定理文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行

⇒a∥b(续表)

2.直线和平面所成的角

(1)定义

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0°的角.(2)范围：3.平面与平面垂直(1)二面角的有关概念①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；

②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.(2)平面和平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直

⇒α⊥β(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理定理文字语言图形语言符号语言性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直⇒l⊥α(续表)提醒：两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”这一条件.【名师点睛】直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直.(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，他们的交线也垂直于第三个平面.

考点一线面垂直的判定与性质

[例1]如图6-5-1，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.求证： (1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.图6-5-1证明：(1)在四棱锥P-ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.又∵AC⊥CD，且PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，且∠ABC＝60°，得△ABC为正三角形，所以AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD，且PC⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.又PD⊂平面PCD.∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AE⊂平面ABE，AB⊂平面ABE，且AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.【题后反思】证明线面垂直的常用方法及关键

【变式训练】

如图6-5-2，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F在BB1上. (1)求证：C1D⊥平面AA1B1B； (2)在下列给出的三个条件中选取两个条件，并根图6-5-2据所选条件证明：AB1⊥平面C1DF.证明：(1)∵ABC-A1B1C1是直三棱柱，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1.∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，∴AA1⊥C1D.又A1B1⊂平面AA1B1B，AA1⊂平面AA1B1B，且A1B1∩AA1＝A1，∴C1D⊥平面AA1B1B.(2)选①和③能证明AB1⊥平面C1DF.以下是证明过程.如图D49，连接DF，A1B.图D49∵D，F为A1B1，BB1

中点，∴DF∥A1B.在△ABC中，AC＝BC＝1，AC⊥BC，∴侧面AA1B1B为正方形.∴A1B⊥AB1，DF⊥AB1.∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1.∵DF⊂平面C1DF，C1D⊂平面C1DF，且DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF.考点二面面垂直的判定与性质

[例2]

如图6-5-3所示，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.图6-5-3证明：(1)∵平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA⊂平面PAD，∴PA⊥底面ABCD.(2)∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，∴AB∥DE，且AB＝DE.∴四边形ABED为平行四边形.∴BE∥AD.又∵BE

平面PAD，AD⊂平面PAD，∴BE∥平面PAD.(3)∵AB⊥AD，而且ABED为平行四边形.∴BE⊥CD，AD⊥CD，由(1)知PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，且PA∩AD＝A，PA，AD⊂平面PAD，∴CD⊥平面PAD.又∵PD⊂平面PAD，∴CD⊥PD.∵E和F分别是CD和PC的中点，∴PD∥EF.∴CD⊥EF，又BE⊥CD且EF∩BE＝E，∴CD⊥平面BEF，又CD⊂平面PCD，∴平面BEF⊥平面PCD.【题后反思】证明面面垂直的两种方法【变式训练】(1)求证：平面MOC⊥平面VAB；(2)求三棱锥B-VAC的高.图6-5-4(1)证明：∵AC＝BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB.∵平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB.∵OC⊂平面MOC,∴平面MOC⊥平面VAB.

考点三垂直关系的综合应用

[例3]如图6-5-5，AB是⊙O

的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点. (1)证明：△PBC是直角三角形； (2)若PA＝AB＝2，且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为

时，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.图6-5-5(1)证明：∵AB

是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的一动点.∴BC⊥AC， ∵PA⊥平面ABC， ∴BC⊥PA.又PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC，∴△BPC是直角三角形.(2)解：如图

6-5-6，过点A作AH⊥PC于点H，图6-5-6∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥AH.又PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，∴AH⊥平面PBC，∴∠ABH是直线AB与平面PBC所成的角.∵PA⊥平面ABC，∴∠PCA就是PC与平面ABC所成的角.【题后反思】(1)证明垂直关系时，要充分利用定义、判定和性质实现线线垂直、线面垂直、面面垂直关系的相互转化.(2)线面角的计算，首先要利用定义和题目中的线面垂直作出所求角，然后在一个直角三角形中求解.

【变式训练】

在四棱锥P-ABCD中，△PAD是等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，AD＝2AB＝2BC，∠BAD＝∠ABC＝90°. (1)在AD上是否存在一点M，使得平面PCM⊥平面ABCD，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；(2)若△PCD的面积为8，求四棱锥P-ABCD的体积.解：(1)当M为AD的中点时，使得平面PCM⊥平面ABCD.证明如下：如图D50，连接CM，PM，图D50由△PAD是等边三角形，可得PM⊥AD，而平面PAD⊥平面ABCD，PM⊂平面PAD，AD为平面PAD和平面ABCD的交线，可得PM⊥平面ABCD，又因为PM⊂平面PCM，可得平面PCM⊥平面ABCD.

考点四平行关系与垂直关系的综合应用

[例4]如图6-5-7，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点.求证： (1)PE⊥BC； (2)平面PAB⊥平面PCD；(3)EF∥平面PCD.图6-5-7证明：(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD.所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，且PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB.又PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.(3)如图6-5-8，取PC中点G，连接FG，DG.图6-5-8因为F，G分别为PB，PC的中点，因为底面ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形.所以EF∥DG.又因为EF

平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.【题后反思】

求解垂直与平行的综合问题时，应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.如果有面面垂直的条件时，一般要用其性质定理，即在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.【变式训练】1.如图6-5-9，在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥AD，PA⊥CD，E为侧棱PC上一点.(1)若BE⊥PC，求证：PC⊥平面BDE；(2)若PA∥平面BDE，求平面BDE把四棱锥P-ABCD分成两部分的体积之比.图6-5-9(1)证明：如图

D51，连接AC，因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.因为PA⊥AD，PA⊥CD，且AD∩CD＝D，所以PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD.又因为PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC，图D51所以BD⊥PC.又因为BE⊥PC，BD∩BE＝B，所以PC⊥平面BDE.(2)解：设

AC∩BD＝O，如图D51，连接OE，因为四边形ABCD为菱形，所以AO＝OC.

因为PA∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝OE，

所以平面BDE把四棱锥P-ABCD分成两部分的体积比为1∶3(或3∶1).2.如图6­5­10，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥底面A1B1C1，D是AB中点.(1)证明：AC1∥平面B1CD；(2)若∠ACB＝90°，AA1＝BC，证明：平面A1C1B⊥