2025届高三数学一轮总复习 第九章 第八讲 离散型随机变量的数字特征配套课件

第八讲离散型随机变量的数字特征2025年高考一轮总复习第九章

计数原理、概率、随机变量及其分布Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn1.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为(1)均值2.均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X).(a，b为常数)3.两点分布、二项分布与超几何分布的数字特征(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).(3)若X为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取【名师点睛】均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数).【常用结论】均值与方差的四个常用性质(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数.(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2).(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.(4)若X1，X2

相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2).

考点一离散型随机变量的均值与方差

[例1](1)(2022年石河子校级月考)“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，在中国思想史上产生过深远影响.为弘扬中华优秀传统文化，某校计划开展“四书”诵读比赛活动，某班有4名同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这4本书中选取1本进行准备，且各自选取的书均不相同.比赛时，若这4名同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内容诵读，则抽到自己准备的书的学生人数的数学期望为(

)

1A. 2B.1C.23D.2解析：记抽到自己准备的书的学生人数为Y，则Y所有可能取值为0，1，2，4，答案：B

(2)(2023年武汉市月考)冰壶比赛是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一.冰壶比赛的场地如图9-8-1所示，其中左端(投掷线MN的左侧)有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时到营垒区圆心O的距离大小决定胜负.甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O中，得3分；冰壶的重心落在圆环A中，得2分；冰壶的重心落在圆环B中，得1分；其余情况均得0图9-8-1①求甲、乙两人所得分数相同的概率；②甲投掷冰壶10次，每次掷冰壶的结果互不影响，求甲得分的期望值.②设甲掷冰壶一次的得分为X，则X可能取值为0，1，2，3，所以随机变量X的分布列为：所以甲投掷冰壶10次的得分的期望值为E(10X)＝10E(X)＝20.【题后反思】求离散型随机变量ξ的均值与方差的步骤(1)理解ξ的意义，写出ξ可能的全部取值.(2)求ξ取每个值的概率.(3)写出ξ的分布列.(4)由均值、方差的定义求E(ξ)，D(ξ).【变式训练】

1.(一题两空)(2022年浙江卷)现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ＝2)＝________，E(ξ)＝________.解析：根据题意可得ξ的取值可为1，2，3，4，

2.(2023年新余市月考)一袋子中有除颜色外完全相同的3个白球和4个黑球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，取球7次，设取得的白球数为X，则D(X)＝()答案：C作答.假设在8道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是

且每考点二均值与方差在决策问题中的应用

[例2]为了进一步宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动.活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4道题目进行道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成.(1)求小明至少正确完成其中3道题的概率；(2)设随机变量X表示小宇正确完成题目的个数，求X的分布列及数学期望；

(3)现规定至少完成其中3道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参加市级比赛(活动规则不变)会更好，并说明理由.解：(1)记“小明至少正确完成其中3道题”为事件A，

因为P(B)＞P(A)，故小宇进决赛的可能性更大，所以应选择小宇去参加比赛.【题后反思】离散型随机变量的期望和方差应用问题的解题策略

实际问题中，若两个随机变量ξ1，ξ2，有E(ξ1)＝E(ξ2)或E(ξ1)与E(ξ2)较为接近时，就需要用D(ξ1)与D(ξ2)来比较两个随机变量的稳定程度.一般将期望最大(或最小)的方案作为最优方案.若各方案的期望相同，则选择方差最小(或最大)的方案作为最优方案.生产线[53，54][54，55)[55，56)[56，57)[57，58)[58，59)[59，60]甲/个49232824102乙/个214151716151【变式训练】

(2023年广东月考)某企业拥有甲、乙两条零件生产线，为了解零件质量情况，采用随机抽样方法从两条生产线共抽取180个零件，测量其尺寸(单位：mm)得到如表统计表，其中尺寸位于[55，58)的零件为一等品，位于[54，55)和[58，59)的零件为二等品，否则零件为三等品.生产线一等品非一等品合计甲/个乙/个合计/个(1)完成2×2列联表，依据α＝0.05的独立性检验，能否认为零件是否为一等品与生产线有关联？

(2)将样本频率视为概率，从甲、乙两条生产线中分别随机抽取1个零件，每次抽取零件互不影响，以ξ表示这2个零件中一等品的数量，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)；

(3)已知该企业生产的零件随机装箱出售，每箱60个.产品出厂前，该企业可自愿选择是否对每箱零件进行检验.若执行检验，则每个零件的检验费用为5元，并将检验出的三等品更换为一等品或二等品；若不执行检验，则对每个卖出的三等品零件支付120元赔偿费用.现对一箱零件随机检验了20个，检出了1个三等品.将从两条生产线抽取的所有样本数据的频率视为概率，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望作为决策依据，是否需要对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由.生产线一等品非一等品合计甲7525100乙483280合计12357180解：(1)由题意得列联表如下：

零假设为H0：零件是否为一等品与生产线无关.根据列联表中的数据，经计算得到4.621＞3.841＝x0.05.

依据小概率值α＝0.05的独立性检验，推断H0

不成立，可以认为零件是否为一等品与生产线有关联.

若不对余下的所有零件进行检验，设检验费用与赔偿费用之和为Y，则Y＝20×5＋120X，所以E(Y)＝100＋120×E(X)＝100＋240＝340.若对余下的所有零件进行检测，则检验费用为60×5＝300(元).∵340＞300，∴应对剩下零件进行检验.的生产线.据统计，每条生产线每月出现故障的概率为，且至多⊙利用分类讨论思想求数学期望[例3](2021年佛山市调研)某企业拥有三条相同的且相互独立可能出现一次故障.(1)求该企业每月有且只有1条生产线出现故障的概率；

(2)在正常生产的情况下，每条生产线每月的利润是12万元；如果一条生产线出现故障能及时维修，还能创造8万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线就没有利润.为提高生产效益，企业决定安排维修工人对出现故障的生产线进行维修.如果一名维修工人每月只能及时维修一条生产线，且一名工人每月所需费用为1万元，以该企业每月实际利润的期望值为决策依据，你选择安排几名维修工？(实际利润＝生产线创造利润－维修工人费用)解：(1)设3条生产线中出现故障的条数为X，(2)①安排一名维修工时，设该企业每月的实际获利为Y1

万元.若X＝0，则Y1＝12×3－1＝35；若X＝1，则Y1＝12×2＋8×1－1＝31；若X＝2，则Y1＝12×1＋8×1＋0×1－1＝19；若X＝3，则Y1＝12×0＋8×1＋0×2－1＝7；②安排两名维修工时，设该企业每月的实际获利为Y2

万元.若X＝0，则Y2＝12×3－2＝34；若X＝1，则Y2＝12×2＋8×1－2＝30；若X＝2，则Y2＝12×1＋8×2－2＝26；若X＝3，则Y2＝12×0＋8×2＋0×1－2＝14；④安排三名维修工时，设该企业每月的实际获利为Y3

万元.若X＝0，则Y3＝12×3－3＝33；若X＝1，则Y3＝12×2＋8×1－3＝29；若X＝2，则Y3＝12×1＋8×2－3＝25；若X＝3，则Y3＝12×0＋8×3＋0×1－3＝21；依据，故选择安排两名维修工时实际利润最大.【高分训练】

(2022年肥城市模拟)“学习强国”学习平台的答题竞赛包括三项活动，分别为“四人赛”“双人对战”和“挑战答题”.在一天内参与“四人赛”活动，每局第一名积3分，第二、第三名各积2分，第四名积1分，每局比赛相互独立.在一天内参与“双人对战”活动，每局比赛有积分，获胜者得2分，失败者得1分，每局比赛相互独立.已知甲参加“四分的概率互不影响，均为，记乙进到n阶的概率为Pn，求P12.

(1)记甲在一天中参加“四人赛”和“双人对战”两项活动(两项活动均只参加一局)的总得分为X，求X