数学同步练习：函数第四小节

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.1.4函数的奇偶性1．下列函数中不是偶函数的是（)A．y＝－3x2B．y＝3x2＋|x|C．y＝eq\f(1,x2－1)D．y＝x2－x＋12．奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必定经过点（)A．(a，f(－a))B．(－a，f（a)）C．(－a，－f（a）)D．（a，f(eq\f（1，a）)）3．下列说法中，不正确的是（）A．图象关于原点成中心对称的函数一定是奇函数B．奇函数的图象一定过原点C．偶函数的图象若不经过原点，则它与x轴的交点个数一定是偶数D．图象关于y轴对称的函数一定是偶函数4．如果定义在区间[3－a，5］上的函数f（x)为偶函数，那么a＝__________.5．设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且x〉0时,f(x)＝x2＋1,则f（－2）＝__________.1．函数f(x）、g(x）的图象分别如图所示：则函数y＝f（x)·g(x）的图象可能是…()2．若f(x）在［－5,5]上是奇函数，且f（3）〈f（1)，则下列各式中一定成立的是()A．f(－1)<f（－3）B．f(0）>f（1)C．f(－2)>f(3）D．f(－3）<f（5)3．如果函数f(x）为偶函数，且在区间［3，7]上是增函数且最大值为5,那么f(x）在区间[－7，－3]上是()A．增函数且最小值为5B．增函数且最大值为5C．减函数且最小值为5D．减函数且最大值为54．若f（x）＝x2＋2ax－b为偶函数,且g（x）＝x＋b为奇函数,则a＝__________,b＝__________。5．已知f（x）＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2）＝10，则f（2）＝__________.6．函数f（x)＝eq\f(ax＋b,1＋x2）是定义在(－1，1)上的奇函数,且f(eq\f（1,2))＝eq\f（2,5），求函数f（x)的解析式．7．判断下列函数的奇偶性：（1）f(x）＝a；(2）f（x)＝(1＋x)3－3(1＋x2）＋2;（3）f(x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（x（1－x)，x〈0，,x（1＋x），x〉0.）)1．函数f（x)＝eq\r(x)是__________；f(x)＝eq\r（3,x)是__________；f(x)＝x＋1是__________；f（x）＝|x｜＋1是__________;f(x）＝eq\r（x）＋eq\r（－x）是__________．A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既奇又偶函数2．对任意奇函数f(x)(x∈R）都有()A．f(x）－f(－x)〉0B．f(x)－f(－x)≤0C．f（x)·f(－x）≤0D．f（x）·f（－x)〉03．设函数f（x）为奇函数,当x∈(0，＋∞）时，f(x)＝x2－1，则不等式f(x）>0的x的取值范围为（)A．（1，＋∞)B．(0,1)C．(－1，0)∪(1，＋∞）D．(－1,0）∪(0，＋∞）4．设函数f(x）(x∈R）为奇函数，且f（1）＝eq\f（1,2），f（x＋2）＝f(x)＋f(2)，则f(5）等于（)A．0B．1C.eq\f（5,2)D．55.已知偶函数y＝f(x）在区间[0，4］上是增函数，则f(－3）与f(π)的大小关系为__________．6．已知f（x）为奇函数，当x〉0时，f(x）＝x|x－2｜；当x<0时，f(x)＝__________。7．已知f（x)是R上的奇函数,若将f（x）的图象向右平移一个单位,则得到一个偶函数的图象，若f(－1)＝2，则f（1）＋f(2）＋f（3）＋…＋f(2009)＝__________.8．设f(x）是定义在（－∞，＋∞)上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2＋1，求f(x)的解析式．9．已知函数f（x）、g(x)是区间D上的奇函数，求证:函数f(x)·g（x)是区间D上的偶函数．10．已知f(x)是定义在[－6，6]上的奇函数，且f（x）在［0,3］上是x的一次式，在[3，6]上是x的二次式，且当3≤x≤6时,f(x)≤f(5）＝3，f(6)＝2，求f（x)的表达式．答案与解析课前预习1．D判断函数的奇偶性首先应判断定义域是否关于原点对称,其次再验证f（x)与f（－x）的关系,最后下结论．2．C由奇函数的定义可知，奇函数的图象必过点（x，f(x）)与(－x,－f（x）)．3．B如函数y＝eq\f(1，x）是奇函数，但它的图象不过原点．4．8若一个函数具备奇偶性，则它的定义域必关于原点对称．∴3－a＝－5。∴a＝8.5．－5由f（x)在（－∞，＋∞）上是奇函数得f（－x）＝－f(x)，即f（－2）＝－f（2）＝－(22＋1）＝－5。课堂巩固1．A由题意知f（x)为偶函数,g(x）为奇函数，∴f(x)·g（x）为奇函数，可排除B.再由x＝0时，f(x)·g（x）无意义，可排除C、D。2．Af(－1）＝－f(1）,f(－3）＝－f(3）,又f(3)<f（1）,∴－f（1)〈－f(3)，即f（－1)〈f(－3)．3．D偶函数关于原点对称的两区间上单调性相反．4．00∵f（x）为偶函数,∴f（－x）－f（x)＝0对任意x∈R都成立．∴（x2－2ax－b）－（x2＋2ax－b）＝0，即－4ax＝0恒成立．∵x∈R，∴a＝0。同理g（x）＝x＋b为奇函数,则g（－x)＋g(x）＝0对任意x∈R都成立．∴b＝0。5．－26令g(x）＝x5＋ax3＋bx，易得g（x）为奇函数，∴f(－2）＝g（－2）－8＝10。∴g(－2)＝18。∴g（2）＝－18.∴f(2）＝g(2）－8＝－18－8＝－26。6．解：∵f(x）为定义在(－1,1）上的奇函数，∴f（0)＝0,即b＝0。又f(eq\f(1，2)）＝eq\f（2，5）,∴eq\f(\f(1,2）a，1＋(\f(1,2））2）＝eq\f（2，5）.∴a＝1.∴f(x)＝eq\f（x，1＋x2）.7．解：(1)若a＝0，则满足f（－x)＝f（x）＝0且f（－x)＝－f(x)＝0，f(x）既是奇函数又是偶函数．若a≠0，f(－x）＝f(x）＝a≠0，f（x）为偶函数．(2)f（x)＝(x＋1)3－3（1＋x2)＋2＝x3＋3x,∵f(－x)＝（－x)3＋3×(－x）＝－(x3＋3x)＝－f(x)，∴f(x）为奇函数．（3）当x<0时，－x>0，f(－x）＝－x（1－x）＝－f(x）,当x〉0时，－x<0,f(－x)＝－x(1＋x）＝－f(x),∴f(x)为奇函数．课后检测1．CACBD判断函数的奇偶性必须确定两点．(1）定义域关于原点对称；（2）f（－x)与f(x）的关系．2．C奇函数的函数图象关于原点对称，即f(－x)＝－f（x)，∴f(x)·f(－x)＝－f2（x）≤0.3．C当x>0时，由f(x）〉0，解得x>1，则当x∈（0,1）时，f(x)<0，由对称性可得当x∈（－1，0)时，f(x）〉0，∴x的取值范围为（－1，0）∪（1，＋∞）．4．Cf(5）＝f(3＋2）＝f(3)＋f（2)＝f(1）＋2f（2）．当x＝－1时，由f(－1＋2)＝f(－1)＋f(2)可得f(2)＝2f(1)＝1，∴f（5）＝eq\f（1，2）＋2×1＝eq\f（5，2）.5．f（－3)〈f（π)∵f(－3)＝f(3)且f(x）在［0,4］上是增函数,∴f（－3)＝f(3)〈f(π)．6．x|x＋2｜(x〈0）当x<0时，－x〉0，∴f(－x)＝－x|－x－2｜＝－x|x＋2｜.∵f（－x)＝－f(x），∴－f(x）＝－x·｜x＋2|.∴f(x)＝x|x＋2｜(x<0）．7．－2由题意可构造一个如图所示的函数图象，由图象易得f(1）＝－2，f（2)＝0，f(3)＝2，f（4)＝0,且函数的周期为4，∴f（1)＋f（2）＋f(3)＋…＋f(2009)＝f(2009）＝f（1)＝－2。8．解：当x〈0时，－x〉0，∴f（－x)＝(－x)2＋1＝x2＋1.∴f（x)＝－f(－x）＝－x2－1。当x＝0时，f(0)＝0。∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x2＋1，x>0，,0，x＝0，,－x2－1,x<0.))9。解：设F(x）＝f（x)·g(x)，则F(x)的定义域为D。F（－x)＝f(－x)·g(－x)＝［－f(x)]·［－g（x）]＝f（x）·g（x）＝F（x），∴函数f(x）·g(x)是区间D上的偶函数．10．解：由题意，当3≤x≤6时，设f(x)＝a(x－5）2＋3,又f(6)＝2，∴2＝a（6－5)2＋3。∴a＝－1.∴当3≤x≤6时，f（x)＝－（x－5)2＋3.∴f（3）＝－(3－5)2＋3＝－1。又f（x)为奇函数,∴f(0)＝0。∴一次函数过（0,0），(3，－1）两点．∴f(x）＝－eq\f(1,3)x（0≤x≤3)．当－3≤x≤0时，－x∈［0,3]，∴f(x）＝－f(－x）＝－eq