2025届高三数学一轮总复习 第六章 专题七 立体几何中的热点问题配套课件

专题七立体几何中的热点问题2025年高考一轮总复习第六章

立体几何

[例1](2023年锦州市一模)如图7-1(1)，△ABC是等边三角形，CO为AB边上的高线，D，E分别是CA，CB边上的点，AD＝BE使点C到点P的位置，PO＝3.(2)

(1)

图7-1(1)求证：OP⊥平面ABED；(2)求二面角B-PE-F的正弦值.DE∥AB.因为CO⊥AB，所以CO⊥DE.故DE⊥OF，DE⊥PF.又OF∩PF＝F，OF⊂平面FOP，PF⊂平面FOP，所以DE⊥平面FOP.因为OP⊂平面FOP，所以DE⊥OP.所以OF2＋OP2＝PF2，故OP⊥OF.又DE⊂平面ABED，OF⊂平面ABED，OF∩DE＝F，故OP⊥平面ABED.z轴正方向建立如图7-2所示空间直角坐标系.图7-2【题后反思】三步解决平面图形翻折问题【互动探究】

1.(2023年茂名市期末)如图7-3，在平面四边形ABCD中，AB∥DC，△ABD为边长为2的正三角形，DC＝3，O为AB的中点.沿DO将△AOD折起得到四棱锥P-OBCD，且PC＝图7-3(1)证明：BD⊥PC；(2)点E为线段PC上的动点(不含端点)，当平面POD与平面(1)证明：连接

OC交BD于点G，如图D63.图D63因为△ABD为边长为2的正三角形，点O为AB中点，所以PO⊥OC.又因为PO⊥OD，OD⊂平面OBCD，OC⊂平面OBCD，OD∩OC＝O，所以PO⊥平面OBCD.因为BD⊂平面OBCD，所以PO⊥BD.90°，所以△CDO∽△DOB.

所以∠DCO＝∠ODB. ∴∠ODG＋∠DOG＝∠DCO＋∠DOG＝90°.所以BD⊥OC.

因为PO⊂平面POC，OC⊂平面POC，PO∩OC＝O，

所以BD⊥平面POC.

因为PC⊂平面POC，所以BD⊥PC.

(2)解：由(1)可知，OB，OD，OP两两垂直，以O为原点，OB，OD，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图D64所示空间直角坐标系.图D64设平面EBD的一个法向量为n＝(x，y，z)，因为平面POD与平面EBD的夹角为30°，题型二探索性问题

[例2](2023年海口市校级期中)如图7-4所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1

中，AB⊥AC，四边形ABB1A1，ACC1A1

均为正方形，点D在线段AA1

上，点E是线段CC1的中点.图7-4(1)若A1D＝3DA，求平面BDE与平面ABC所成角的余弦值；(2)在线段A1B1(不含端点)上是否存在点F，使得EF∥平面z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图7­5所示.图7-5∴n＝(1，－1，4).∵AD⊥平面ABC，【题后反思】

(1)解决探索性问题的基本方法是假设结论成立或对象存在，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，则说明假设成立，即存在，并可进一步证明；否则假设不成立，即不存在.

(2)在棱上探寻一点满足各种条件时，要明确思路，设点坐标，应用共线向量定理a＝λb(b≠0)，利用向量相等，所求点坐标用λ表示，再根据条件代入，注意λ的范围.(3)利用空间向量的坐标运算，可将空间中的探索性问题转化为方程是否有解的问题进行处理.

【互动探究】

2.(2023年普宁市开学)如图7-6所示，在三棱锥P-ABC中，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC. (1)证明：BC⊥平面PAB； (2)若PA＝AB＝6，BC＝3，在线段PC上是否存在点D(不含端点)，使得二面角B-AD-C的正弦值为？若存在，确定点D的位置；若不存在，说明理由.图7-6(1)证明：过点

A作AE⊥PB于点E，如图D65.图D65因为平面PAB⊥平面PBC，且平面PAB∩平面PBC＝PB，AE⊂平面PAB，所以AE⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，所以AE⊥BC.又PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC.又因为AE∩PA＝A，AE⊂平面PAB，PA⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB.图D66因为点D在线段PC上(不含端点)，

题型三立体几何中的最值问题

[例3](1)如图7-7所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1

中，AB＝图7-7

解析：如图7-8，把△A1B1D1折起至△A′1B1D1，使平面A′1B1D1与平面BDD1B1共面，连接A′1B交B1D1于P，则此时的A′1P＋PB最短，即为A′1B的长.答案：A图7-8(2)如图7-9所示，PA⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD＝AE＝AP＝2.图7-9①求二面角A-PE-D的余弦值；②点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长.

解：①以A为原点，AE，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图7-10所示空间直角坐标系.各点的坐标为A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(2，0，0).图7-10

令y＝1，解得z＝1，x＝1.所以m＝(1，1，1)是平面PED的一个法向量.

【题后反思】解决与空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题时，一般可以从三方面着手：一是从图形的几何特征入手，充分利用其几何性质去解决；二是利用空间几何体的侧面展开图；三是找出问题中的代数关系，建立目标函数，利用代数方法求目标函数的最值.解题的途径有很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法、二次数的配方法、公式法、函数有界法(如三角函数等)及导数法等求解.【互动探究】3.如图7­11，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD︵︵所在的平面垂直，M是CD上异于C，D的点.(1)求证：平面AMD⊥平面BMC；(2)当三棱锥M-ABC的体积最大时，求平面MAB与平面MCD的夹角的正弦值.图7-11

(1)证明：平面

CMD⊥平面ABCD，平面CMD∩平面ABCD＝CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD.因为DM⊂平面CMD，所以