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文档简介
专题五平面向量中的范围与最值问题2025年高考一轮总复习第五章
平面向量与复数题型一与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题图5-1答案:A
(2)对称性是数学美的一个重要特征,几何中的轴对称,中心对称都能给人以美感,激发学生对数学的兴趣.如图5-2所示,在菱形ABCD中,∠ABC=120°,AB=2,以菱形ABCD的四条边为直径向外作四个半圆,P是这四值为()图5-2A.5B.3C.32D.52则x+y=1,所以λ+μ=k(x+y)=k.因为P是四个半圆弧上的一动点,图5-3所以当EF与图形下面半圆相切时,λ+μ取得最大值,设线段AB的中点为M,线段AC的中点为O1,连接MP,连接DO1
并延长使之与EF交于点O2,过M作MN⊥DO2,垂足为N,因为∠ABC=120°,AB=2,所以DO1=1,答案:D范围”的题目,一般的解题思路是过点P作直线AC的平行线,再根据等和线定理,结合相似三角形或平行线分线段成比例定理,得到λ+μ的值或取值范围.【互动探究】答案:D图5-4题型二与数量积有关的最值(范围)问题[例2](1)已知在边长为2的等边三角形ABC中,M,N分别为解析:建立如图5-5所示的平面直角坐标系,则B(-1,0),C(1,0),A(0,),图5-5图5-6A.18B.24C.36D.48图5-7答案:D
【题后反思】对于求向量数量积取值范围的题目,可考虑通过建立平面直角坐标系来求解.若题目的设问与已知直线上的动点相关,则可求出已知直线的方程后,利用直线方程表示已知直线上动点的坐标;若题目的设问与已知圆上的动点相关,则可利用圆的参数方程表示圆上动点的坐标.例如,若点P为⊙M:(x-a)2+(y-b)2=r2上的动点,则点P的坐标可表示为(a+rcosθ,b+rsinθ).【互动探究】3.(2022年北京卷)在△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°.()A.[-5,3]C.[-6,4]
B.[-3,5]D.[-4,6]
解析:以C为坐标原点,CA,CB所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系(图略),则A(3,0),B(0,4).答案:D图5-8解析:以O为原点建立如图D27所示的平面直角坐标系,设图D27答案:B题型三与模有关的最值(范围)问题[例3](1)已知a,b是单位向量,a·b=0,且向量c满足|c-)a-b|=1,则|c|的取值范围是(
解析:a,b是单位向量,a·b=0,设a=(1,0),b=(0,1),答案:A(2)平面向量a,b,c满足|a|=|b|=a·b=2,|a+b+c|=1,则(a+c)·(b+c)的最小值是()解析:设a+b+c=β,由|a+b+c|=1,得|β|=1,则(a+c)·(b+c)=(β-b)·(β-a)=β2-(a+b)·β+a·b=3-(a+b)·β.又|a|=|b|=a·b=2,答案:B【互动探究】5.(2023
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