数学同步优化训练：函数y=Asin（ωx+φ）的图象

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1.5函数y=Asin(ωx+φ）的图象5分钟训练(预习类训练，可用于课前）1。若函数f(x）=sin（ωx+φ）的部分图象如图1-图1A.ω=1,φ=B。ω=1,φ=-C。ω=,φ=D。ω=，φ=—解析:由=-（—)=π，得T=4π，ω==，所以f(x)=sin(x+φ），把φ=代入解析式中验证，符合sin(×+）=1，故φ=。答案:C2。正弦函数f（x)=Asin(ωx+φ)+k的定义域为R，周期为,初相为，值域为[-1，3］，则f(x)=______________________.解析：根据正弦函数f（x）=Asin（ωx+φ)+k的最大值和最小值与A和k的关系,可求出A和k,从而可得出f(x)的表达式。答案：2sin(3x+）+13。已知函数y=3sin(x-)。（1）用“五点法"作函数的图象;（2)求此函数的周期、振幅、初相.解：(1）(2)周期T===4π，振幅A=3,初相是-。10分钟训练（强化类训练，可用于课中）1.要得到y=sin（2x-）的图象，只要将y=sin2x的图象()A.向左平移个单位B。向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位解析一:由于y=sin（2x—）=sin［2(x-)]，所以要得到r=sin(2x-)的图象，需将y=sin2x的图象向右平移。解析二:y=sin2x经过点(0,0),y=sin（2x—）则经过点(，0)，这是与x轴交点中在原点右边最接近原点的交点，而在原点左边与x轴交点中最接近原点的是（—，0）。∴只要将y=sin2x的图象向右平移个单位，就可得到y=sin(2x）的图象.答案：D2.y=Asin（ωx+φ）+h的图象如图1-图1A.y=sin（+）+B。y=sin（+）+C.y=3sin（12x+）+D。y=sin(+）+解：由图象可以看出最高点与最低点的横坐标的差的绝对值为,∴=+=.∴T=.又∵T=，即=,｜ω|=,ω＞0，∴ω=.答案：B3。有下列四种变换方式：①向左平移,再将横坐标变为原来的；②横坐标变为原来的，再向左平移;③横坐标变为原来的，再向左平移;④向左平移，再将横坐标变为原来的。其中能将正弦曲线y=sinx的图象变为y=sin(2x+）的图象的是()A.①②B。①③C.②③D.②④解析：由y=sinx的图象得到y=sin(2x+)的图象可知①②变换都可以.答案:A4。已知受噪声干扰的正弦波信号的相关信号图形如图1—图1此图可以视为函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0,｜φ|＜）图象的一部分,试求出其解析式。解：已知信号最大、最小的波动幅度为6和—6,∴A=6。又根据图象上相邻两点的坐标为和，间距相当于y=Asin(ωx+φ)的图象的半个周期，∴T=2（—）=π.∵T=,∴T==π，解得ω=2.观察图象，点(，0)是五个关键点中的第三个点，∴×2+φ=π，解得φ=.综上所述，y=6sin（2x+)。5.单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(cm)和时间t（s）的函数关系为s=6sin(2πt+）.(1)作出它的图象；（2)单摆开始摆动(t=0）时，离开平衡位置多少厘米？（3)单摆摆动到最右边时,离开平衡位置多少厘米？(4）单摆来回摆动一次需多少时间？解:（1）找出曲线上的五个特殊点，列表如下：t……2πt+…0π2π…s…060-60…用光滑曲线连接这些点，去掉(，0）区间的图象再作出(,1)区间的图象，得函数s=6sin(2πt+）在t∈［0，1]一个周期内的图象(如图)。(2）当t=0时，s=6sin=3（cm)，即单摆开始摆动时,离开平衡位置3cm。(3）s=6sin（2πt+）的振幅为6,所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6cm.(4）s=6sin(2πt+)的周期T==1，所以单摆来回摆动一次需要的时间为1s。30分钟训练(巩固类训练，可用于课后）1.函数y=sin(—3x+)的图象作适当变动就可以得到y=sin（—3x)的图象，这种变动可以是(）A.沿x轴方向向右平移个单位B。沿x轴方向向左平移个单位C.沿x轴方向向右平移个单位D.沿x轴方向向左平移个单位解析：方法一（直接法):由函数y=sin（-3x+)=sin[-3（x—）]的图象变换到函数y=sin(-3x）=sin［—3（x)］的图象，按照“左加右减”的原则,只需沿x轴方向向左平移个单位即可.方法二（逆变换）:由函数y=sin(-3x）=sin［-3(x)］的图象得到函数y=sin（—3x+)=sin［-3(x—)］的图象，需将原图沿x轴方向向右平移个单位。那反过来就是答案.答案：D2.把函数y=sin（2x+）的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标缩小到原来的一半,纵坐标扩大到原来的4倍，则所得的图象的解析式是（）A。y=4sin(4x—）B.y=4sin（4x+）C。y=4cos（2x+)D。y=4cos(4x+)解析:由y=sin（2x+)y=sin［2（x—)+］，即y=sin(2x—）y=sin(4x—）y=4sin(4x—)答案：A3.如果图1—图1-5A。sin（1+x)B.sin（—1—x）C.sin（x—1）D。sin(1-x）解析：“排除法”。根据所给图象经过点（1，0),排除选项A、B,又当x=0时，y＞0，所以排除C项，选D项。“直接法”.下图可以看作是由y=sin(—x)=-sinx的图象向右平移1个单位得到，所以所求解析式为y=sin［—(x-1)］=sin（1—x）。选D项。答案：D4.为了得到函数y=sin(2x-）的图象，可以将函数y=cos2x的图象…()A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D。向左平移个单位长度解析：y=cos2x=sin（2x+）=sin［2（x+)-］.答案：B5。方程sin2x=sinx在区间（0，2π）内解的个数是（)A.1B。2C。3解析：在同一坐标系中作出函数y=sin2x和y=sinx的图象如下图所示。它们在(0,2π)内交点个数即为所求方程解的个数，从而应选C。答案：C6。给出下列命题:①存在实数x,使sinx+cosx=；②若α、β是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ；③函数y=cos(+）是奇函数；④函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到y=sin（2x+）的图象；⑤在△ABC中，A＞BsinA＞sinB.其中正确的命题的序号是_________________。解析：③y=cos(+)=sin；⑤若A、B都是锐角,即A、B∈［0,］，根据正弦函数在这个区间上是增函数，所以sinA＞sinB；若A是钝角，B是锐角，则0＜B＜π—A＜,所以sin（π-A）＞sinB.所以sinA＞sinB。答案:③⑤7.函数y=sin（2x—），当x=__________________时，取最小值.解析：函数y=sin(2x—)取最小值，则满足2x-=2kπ—(k∈Z），解出x即可。答案：kπ—（k∈Z）8.如图1—求：（1)这段时间的最大温差是多少?(2)函数的解析式。图1解：（1)由题中图所示，可知这段时间的最大温差是30-10=20(℃）。（2)图中从6时到14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ）+b的半个周期的图象，∴·=14—6，解得ω=.由图示，A=（30-10）=10，b=(30+10)=20。这时，y=10sin(x+φ)+20.将x=6，y=10代入上式，可得φ=。综上，所求解析式为y=10sin（x+)+20，x∈［6,14]。9。若函数y=f（x)的图象上每点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位,沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线与y=sinx的图象相同,求y=f(x).解：y=sinxy=sinx+1y=sin（