数学同步训练：余弦定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1。1.2余弦定理5分钟训练（预习类训练,可用于课前)1。在△ABC中，已知a=6，b=8,c=10，则a2+b2_____________c2，cosA=_____________,cosB=_____________，cosC=_____________,c2_____________a2+b2-2abcosC，a2_____________b2+c2—2bccosA，b2_____________a2+c2—2accosB（其中第一、五、六、七空选填“=”或“≠"）。解析:第一空容易填出，从而判断△ABC为直角三角形，通过计算容易填出后面的空.答案：=0===2.在△ABC中，已知a=2,b=3，C=,则c=_____________.解析:直接应用余弦定理c=。答案：3.在△DEF中，DE=2，EF=3，FD=4,则cos∠DFE=v_____________。解析:利用余弦定理，cos∠DFE=。答案：784.在△ABC中，若a=+1,b=—1,c=，则△ABC的最大角的度数为______________.解析：由c＞a＞b知：角C为最大角，则cosC=,∴C=120°即此三角形的最大角为120°.答案:120°10分钟训练(强化类训练,可用于课中)1。已知a、b、c分别是△ABC的三边长,且满足:(a+b+c）（a+b—c）=ab,则∠C等于（）A。60°B。90°C.120°D.150°解析:由已知得a2+b2—c2=—ab，cosC=,C=120°.答案：C2.已知一锐角三角形的三边长为2、3、x,则x的取值范围是(）A。B.1＜x＜5C.1＜x＜D。＜x＜5解析:首先应该考虑由三角形的三边间的关系得即1＜x＜5（这容易忽视)，故只要要求最大边是3或x所对的角是锐角即可，即其余弦为正，有4+x2-9＞0，4+9—x2＞0，综上得＜x＜，故选A。答案：A3。△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b2=ac，且c=2a，则cosB等于（）A.B。C。D.解析：△ABC中，b2=ac，且c=2a，则b=，∴cosB=,选B.答案:B4.在△ABC中，已知a=7,b=8,cosC=，则最大内角的余弦值为____________。解析：要求其最大内角的余弦,首先应该判断最大内角是哪一个，即是其最大边，故可以先由余弦定理求得c，从而判定最大内角求得结果.由余弦定理得c==3，b＞a＞c，故最大内角为B，再由余弦定理求得其余弦.答案：5.（2006高考北京卷,理12)在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC=5∶7∶8，则∠B的大小是___________.解析:sinA∶sinB∶sinC=5∶7∶8a∶b∶c=5∶7∶8.设a=5k，b=7k，c=8k,由余弦定理可解得B的大小为.答案：6。如右图，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD=10，AB=14,∠BDA=60°，∠BCD=135°,求BC的长.解：在△BAD中，由余弦定理有AB2=AD2+BD2-2·AD·BC·cos∠ADB.设BD=x,代入有142=x2+102—2·10xcos60°,x2-10x-96=0.∴x1=16，x2=-6(舍去）,即BD=16.在△BCD中，由正弦定理，可得BC=·sin30°=。30分钟训练（巩固类训练，可用于课后）1。已知在△ABC中，下列等式中恒成立的是（)A。cos2A=cos2B+cos2C-2cosBcosCcosAB.sin2A=sin2C.sin2A=sin2B+sin2C—2sinBsinCsinAD.cos2A=cos2解析：只要将正、余弦定理结合在一起，即可得到.由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB,c=2RsinC，将其代入a2=b2+c2—2bccosA中,两边同时除以4R2得sin2A=sin2B+sin2答案：B2。在△ABC中，AB=3,BC=，AC=4，则sinA等于（）A。B.C。D.解析：由余弦定理得cosA=，∴sinA=。答案：A3。边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角的和是（）A.90°B.120°C.135°D.150°解析：设边长为7的边对应的角为B，则cosB=，∴B=60°．∴A+C=120°。答案：B4。在△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4，则cos∠ABC=_____________。解析：由正弦定理及已知得a∶b∶c=2∶3∶4，故可设a=2m(m＞0)，则b=3m，c=4m,由余弦定理得cos∠ABC=。答案:5。在△ABC中,∠A+∠C=2∠B，b2=ac，那么△ABC的形状是_____________。解析：由∠A+∠C=2∠B得B=60°，又由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac。又b2=ac,∴ac=a2+c2-ac，（a-c)2=0，a=c，∴a=b=c，故△ABC是正三角形.答案：正三角形6.在△ABC中,C=60°,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，则=___________。解析:由余弦定理得cosC=,a2+b2—c2=ab。而=1.答案:17.在△ABC中，2sinA=，试判断△ABC的形状.解：由已知得cosB+cosC=，由正、余弦定理得，即a2(b+c）+bc(b+c)-(b+c)（b2-bc+c2）=2bc。（b+c)，a2=b2+c2,∴△ABC是直角三角形.8。(2006高考上海卷，18）如右图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救。甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？(角度精确到1°）解:连接BC,由余弦定理得BC2=202+102—2×20×10cos120°=700.于是,BC=。∵,∴sin∠ACB=。∵∠ACB＜90°，∴∠ACB=41°.∴乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援.9。（2006高考天津卷，理17)如右图，在△ABC中，AC=2，BC=1,cosC=.(1）求AB的值；（2)求sin(2A+C）的值.解：（1)由余弦定理，AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cosC=4+1—2×2×1×=2.那么AB=。（2）由cosC=，且0＜C＜π得sinC=。由正弦定理，,解得sinA=，所以，cosA=。由倍角公式sin2A=2sinA·cosA=，且cos2A=1-2sin2A=，故sin(2A+C）=sin2AcosC+cos2AsinC=。1