数学同步训练：已知三角函数值求角

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1。3。3已知三角函数值求角知识点一：已知正弦值求角1．下列命题中正确的是A．若sinx＝sinα,则x＝αB．若sinx＝sinα，则x＝2kπ＋α(k∈Z）C．若sinx＝sinα,则x＝2kπ±α（k∈Z）D．若sinx＝sinα,则x＝2kπ＋α或x＝(2k＋1）π－α（k∈Z）2．已知α是三角形的内角，sinα＝eq\f(\r（3），2），则角α等于A.eq\f（π,6）B。eq\f（π,3）C.eq\f(5π，6)或eq\f(π,6）D。eq\f(2π,3）或eq\f(π,3)3．arcsin(sineq\f（2π，3))＝__________.4．下列命题中：①arcsin(－eq\f（1,2)）＝－arcsineq\f(1,2）；②arcsin0＝0；③arcsin1＝eq\f（π,2);④arcsin(－1)＝－eq\f(π，2），其中正确命题的序号是__________．知识点二:已知余弦值和正切值求角5．若cosx＝0,则x等于A.eq\f（π,2）B．kπ(k∈Z）C．2kπ＋eq\f（π,2)(k∈Z)D．kπ＋eq\f（π，2）(k∈Z)6．在下式arccoseq\f（5π,4)，arcsin(log34)，arcsin（eq\r(2）－1)2，arcsin（taneq\f（4π，3)）中，有意义的式子个数是A．0B．1C．27．若tanα＝eq\f(\r(3)，3)，且α∈（eq\f(π，2），eq\f（3π,2))，则α等于A.eq\f（π,6)B。eq\f(5π，6)C.eq\f（7π，6）D.eq\f（11π,6)8．点A(4a，－3a)（a≠0）在角α终边上，则tanα＝__________，α＝__________.9．已知cosx＝－eq\f（\r(3)，2），按要求求角x的值．（1）x是三角形的一个内角；(2）x∈［0，2π］．能力点一:符号arcsinx,arccosx，arctanx的应用10．使arcsin（1－x)有意义的x的取值范围是A．［1－π，1]B．［0，2]C．(－∞，1]D．［－1，1］11．适合tanx＝－eq\f（1，3)的角x的集合是A．{x|x＝（k＋1）π－arctaneq\f(1,3)，k∈Z}B．{x｜x＝（2k－1)π－arctaneq\f(1,3），k∈Z}C．｛x|x＝kπ＋arctaneq\f（1,3），k∈Z｝D．{x|x＝（k＋1)π＋arctaneq\f（1，3),k∈Z}12.eq\f(arcsin－\f（\r(3),2)＋arccos－\f（1,2),arctan－\r(3)）的值等于A.eq\f（1,2）B．0C．1D．－13．若0〈a<1，则在［0，2π］上满足sinx≥a的x的范围是A．[0，arcsina］B．［arcsina,π－arcsina］C．［π－arcsina，π］D．［arcsina,eq\f（π,2）＋arcsina］14．已知集合A＝{x|sinx＝eq\f（1,2）｝，B＝{x|tanx＝－eq\f（\r(3），3）}，则A∩B＝__________。15．若a＝arcsineq\f(1,4），b＝arctaneq\f（\r(5)，5）,c＝arccoseq\f(4，5)，则a、b、c的大小关系为__________．16．求下列函数的定义域：(1)y＝eq\r(\f(1,2）－cosx);（2)y＝eq\f（1,tanx－3）.能力点二：综合应用17．tan[arccos（－eq\f（1，4））］＝__________。18．在Rt△ABC中，C＝90°且sin2B＝sinAsinC，则A＝__________.19.若f(arcsinx）＝x2＋4x,求f（x)的最小值，并求f(x)取得最小值时的x的值．20．求下列函数的定义域与值域．(1)y＝eq\r(arcsin2cosx）；（2)y＝arccos（x2－x)．21．求函数y＝cos2x＋sinx的最大值和最小值，并求使函数取得最大和最小值时的自变量x的集合．答案与解析基础巩固1．D2.D3.eq\f(π，3）∵sineq\f（2π,3)＝sin(π－eq\f(π，3））＝sineq\f（π,3)＝eq\f(\r（3）,2）,∴arcsin（sineq\f（2π，3）)＝arcsineq\f（\r（3)，2）＝eq\f（π,3）.4．①②③④5．D6.B7．C∵taneq\f(π,6)＝eq\f(\r(3）,3)，且在(eq\f（π，2)，eq\f(3π,2))内,有tan（π＋eq\f(π，6)）＝eq\f(\r（3）,3），∴α＝eq\f（7π，6）。8．－eq\f(3,4）kπ－arctaneq\f(3,4）(k∈Z）tanα＝eq\f(－3a，4a）＝－eq\f（3，4）,∴角α终边在第二、四象限，∴α＝kπ－arctaneq\f(3,4).9．解：已知coseq\f（π，6）＝eq\f(\r（3),2），cosx＝－eq\f（\r(3)，2)<0,∴x是第二或第三象限的角．（1)x是三角形的一个内角，则x∈（eq\f（π,2)，π)，∴x＝π－eq\f(π，6)＝eq\f(5π，6).（2)已知x∈[0,2π]，则x∈[eq\f(π,2)，eq\f（3π,2）］．∴x＝π－eq\f（π,6)或x＝π＋eq\f(π,6)，即x＝eq\f(5π，6）或x＝eq\f（7π,6）为所求．能力提升10．B由－1≤1－x≤1得0≤x≤2.11．A12．D原式＝eq\f(－\f(π，3)＋\f(2π，3)，－\f(π，3））＝eq\f（\f(π,3)，－\f(π,3))＝－1.13．B∵0〈a<1，则在[0,2π]内使sinx＝a的角为arcsina与π－arcsina,∴满足sinx≥a的x的范围是[arcsina，π－arcsina］．14．{x｜x＝2kπ＋eq\f（5π,6），k∈Z｝15．c>b>a∵sina＝eq\f(1,4),sinb＝eq\f（\r(6)，6)，sinc＝eq\f（3，5），又∵eq\f(3，5)>eq\f(\r(6）,6)〉eq\f(1,4)。∴c〉b>a。16．解：（1)为使函数有意义，eq\f（1,2)－cosx≥0，即cosx≤eq\f(1,2），由余弦函数性质知－1≤cosx≤eq\f(1，2），∴2kπ＋eq\f（π，3）≤x≤2kπ＋eq\f(5π，3）(k∈Z），即所求函数定义域是[2kπ＋eq\f(π,3），2kπ＋eq\f（5π,3）](k∈Z)．（2）已知tanx－3≠0，即tanx≠3.∴x≠kπ＋arctan3(k∈Z)．∵x≠eq\f(π，2)＋kπ，k∈Z,∴函数的定义域是{x∈R｜x≠kπ＋arctan3且x≠eq\f(π,2）＋kπ，k∈Z}．17．－eq\r(15）令α＝arccos（－eq\f(1，4）），则α∈[0,π]，cosα＝－eq\f（1，4）,∴sinα＝eq\f（\r（15）,4)。∴tanα＝eq\f(sinα，cosα）＝－eq\r(15）。18．arcsineq\f(\r（5)－1,2)由已知A＋B＝90°，且sin2B＝sinA，∴sin2(90°－A）＝sinA,即cos2A∴sin2A∴sinA＝eq\f（－1±\r(5），2)。∵0<A<90°，∴sinA＝eq\f(\r（5)－1,2）。故A＝arcsineq\f（\r(5）－1，2)。19．解：令t＝arcsinx，t∈[－eq\f（π,2）,eq\f（π,2)]．则sint＝x，sint∈［－1，1］，于是f(t)＝sin2t＋4sint,即f(x）＝（sinx＋2）2－4,x∈［－eq\f(π,2),eq\f(π，2）]．∵－1≤sinx≤1，∴当sinx＝－1，即x＝－eq\f(π,2)时，f(x)取得最小值（－1＋2)2－4＝－3.拓展探究20．解：（1）由arcsin(2cosx)≥0得0≤2cosx≤1,即0≤cosx≤eq\f（1，2），∴函数的定义域为｛x｜2kπ－eq\f（π，2）≤x≤2kπ－eq\f(π，3),k∈Z｝∪｛x|2kπ＋eq\f(π，3）≤x≤2kπ＋eq\f（π,2），k∈Z｝，由0≤arcsin(2cosx）≤eq\f（π,2)知，函数的值域为[0,eq\r（\f（π，2))]．（2)由－1≤x2－x≤1得eq\f（1－\r(5），2）≤x≤eq\f（1＋\r（5）,2），又x2－x＝（x－eq\f（1，2））2－eq\f(1,4)≥－eq\f（1,4），∴0≤arccos(x2－x）≤arccos（－eq\f(1，4）)＝π－arccoseq\f（1,4）.∴函数的定义域为[eq\f(1－\r(5)，2),eq\f(1＋\r(5)，2）］，值域为[0，π－arccoseq\f(1，4）]．21.解：由sin2x＋cos2x＝1，得cos2x＝1－sin2x，∴y＝cos2x＋sinx＝－sin2x＋sinx＋1。∴y＝－(sinx－eq\f（1，2））2＋eq\f(5，4）.∵－1≤sinx≤1