数学同步训练：函数的单调性

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2.1。3函数的单调性5分钟训练1.函数y=（2k+1)x+b在(-∞，+∞）上是减函数,则()A。k>B。k〈C。k〉D.k〈答案：D解析：一次函数的单调性取决于一次项系数的正负。当2k+1〈0时,函数为减函数,解得k〈.2。函数y=x2-6x+10在区间（2,4）上是(）A.递减函数B.递增函数C。先递减再递增D。先递增再递减答案：C解析：该函数的对称轴为x=3,根据图象可知函数在(2,4）上是先递减再递增的。3.一个函数的图象过点(1,2）,且在R上是递增的，则这个函数的解析式可以为_____________.答案:y=2x(不唯一)4。下图表示某市2006年6月份某一天的气温随时间变化的情况，请观察此图回答下列问题:（1)这天的最高气温是____________；(2）这天共有____________个小时的气温在31℃以上；(3）这天在____________（时间)范围内温度在上升;（4）请你预测一下，次日凌晨1点的气温大约是____________.答案:(1）37℃(2）9（3）3点-15点（4)23℃—提示：只要抓住图象提供的最高点、单调性以及计时的基本常识,便易知答案.10分钟训练1.若一次函数y=kx+b（k≠0)在(—∞，+∞)上是单调递减函数,则点(k，b)在直角坐标平面的（)A.上半平面B。下半平面C.左半平面D。右半平面答案：C提示：k〈0,b∈R.2.已知函数f（x)=2mx+4，若在［—2，1]上存在x0，使f（x0)=0,则实数m的取值范围是（)A。[，4]B.(—∞，—2］∪［1，+∞)C。［—1,2］D。［-2，1］答案：B解析：由一次函数的单调性可知：当且仅当f(-2)与f（1)异号,即f（—2)·f（1）≤0时,存在x0，使f(x0）=0，解得m≥1或m≤-2。3.定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等实数a、b，总有〉0成立,则必有()A.函数f(x)是先增加后减少B。函数f(x）是先减少后增加C.f（x)在R上是增函数D。f(x)在R上是减函数答案：C解析：由题意可知f（a)-f（b）与a-b同号，故f（x）在R上是增函数。4。函数y=（）A。在（—1,+∞）内单调递增B。在（-1,+∞）内单调递减C。在（1，+∞）内单调递增D.在(1，+∞）内单调递减答案:C提示：函数y=的图象可以看作是由函数y=的图象向右平移一个单位得到的。5.小军在《高中同步测控优化训练》中遇到这样一道题目:请写出一个在（-∞，0)上递减,在［0，+∞)上递增的函数。请你帮小军写出满足条件的一个函数:______________。答案:y=x2（不唯一）解析:此题只要写出满足条件的一个函数即可，如y=x2，y=x2+2,y=|x|等。6。证明函数y=在（1，+∞)上为增函数。证明:设x1、x2是(1，+∞）上的任意两个实数，且x1＜x2，则f（x1）-f(x2）=x1+—（x2+)=x1—x2+（）=x1-x2=（x1-x2）（）.∵x1-x2＜0，x1x2—1＞0，x1x2＞0，∴f（x1）—f（x2）＜0,即f（x1)＜f（x2）.∴函数y=在（1，+∞）上为增函数。30分钟训练1。已知m<—2,点（m-1，y1），(m,y2),(m+1，y3)都在二次函数y=x2—2x的图象上,则(）A.y1〈y2〈y3B。y3〈y2<y1C。y1<y3〈y2D.y2<y1<y3答案：B解析：因为函数y=x2-2x的图象的对称轴为x=1，又m〈—2,所以m—1，m，m+1都小于-1，即各点都在对称轴的左侧。又函数y=x2—2x的二次项系数为1,所以其图象对称轴左侧函数是递减的,于是有y3<y2<y1.2。(创新题）在股票买卖过程中,经常用到两种曲线,一种即时价格曲线y=f(x),另一种是平均价格曲线y=g（x）〔如f(2）=3是指开始买卖后两个小时的即时价格为3元；g（2)=3表示两个小时内的平均价格为3元〕,下图给出的四个图象,其中实线表示y=f（x）,虚线表示y=g（x）,其中可能正确的是（)答案：C解析：由开始交易时的价格与平均价格相同，可知A、D错误;当即时价格下降时，平均价格会发生变化，可知B错误.3。函数f（x）=—x2+2(a—1)x+2在（-∞,4)上是增函数,则a的范围是（）A。a≥5B.a≥3C。a≤3答案：A解析：函数的对称轴是x=a—1,由题意知,当a—1≥4，得a≥5.4。已知函数f（x)在区间[a,b］上具有单调性,且f（a)·f(b)<0,则方程f（x)=0在区间［a,b］上（)A。至少有一个实数根B.至多有一个实数根C。没有实数根D.有唯一的实数根答案：D解析：由条件知f(a)和f（b)异号,所以必存在唯一的实数c，使f（c)=0.5.函数y=的单调递减区间为（）A.(-∞,—3］B.（—∞,-1]C。［1，+∞)D.［-3,—1］答案：A解析:该函数的定义域为(-∞,—3］∪［1，+∞),函数f（x)=x2+2x-3的对称轴为x=—1,由复合函数的单调性可知该函数在区间(-∞,—3］上为减函数。6.已知函数f（x-2）=2x2-9x+13,则使函数f（x)是减函数的区间是___________。答案:(-∞，］解析:令t=x-2,则x=t+2.∴f（t）=2（t+2）2—9（t+2)+13=2t2—t+3.∴f(x)=2x2—x+3。∴函数的减区间是（-∞，］。7.已知y=f（x）在定义域（—1，1）上是减函数,且f(1-a)〈f（3a-1）,则a的取值范围是___________.答案：(0,)解析:由题意，可得1>1—a〉3a—1>-1,即解得0<a〈.所以a的取值范围是(0,)。8。二次函数y=ax2+ax+2（a≠0)在R上的最大值为f（a）,写出函数f(a)的解析式，判断f(a）在［1,5］上的单调性,并画出函数的图象。解：由题意得a〈0且二次函数y=ax2+ax+2(a≠0）在R上的最大值为，所以f(a)=。因为f（a）在［1,5]上无意义，所以f（a)在[1，5]上没有单调性。其图象如图.9.（探究题)下面是四种容器的侧面图,分别向这四种容器中以相同的速度注水.下面的图象中哪个图象可以大致刻画容器中水的高度与时间的函数关系：对于图（1)，对于图(2），对于图（3），对于图（4)，解：当以相同的速度向四个容器注水时，可以大致刻画容器中的高度与时间的关系：对于图(1)是第3个图,对于图（2)是第1个图，对于图(3）是第3个图，对于图(4)是第3个图.10.利用函数的单调性的定义证明：f（x）=-x3+1在(-∞,+∞）上