高三数学同步练习下

［解析］(1)直线/的方程可化为y=直线/的斜率八意不因为|列甘(丁

+1)，

所以KI当且仅当M।।时等号成立•

所以，斜率左的取值范围是H/I

(2)不能.由(1)知/的方程为y=%(x-4),其中国W；.

圆C的圆心为C(4,-2),半径/'=2.

2

圆心。到直线/的距离d=~r-.

I4K

由博W],得d》忑>1,即d>2'

从而，若/与圆C相交，则圆C截直线/所得的弦所对的圆心角小于2学7r，

所以/不能将圆c分割成弧长的比值为3的两段弧.

14.在平面直角坐标系xOy中，设二次函数/(x)=x2+2x+MxGR)的图像与两坐标轴有三

个交点，经过这三个交点的圆记为C

(1)求实数/)的取值范围：

(2)求圆C的方程：

(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与6无关)？请证明你的结论.

[解析](1)令x=0,得抛物线过点(0,b).

令危)=0>得f+2%+6=0.

由题意应有6#0且4=4-4/>>0.

•••/)<1且bWO.

(2)设圆的方程为f+_/+£)x+助+尸=0.

令y=0,#x2+Dx+F=0.

这与丁+本+6=0是同一个方程，.F=b.

令x=0,得/+&+尸=0.此方程有一个根为6.

；.户+E，b+F=0.而F=b>■•E=-b-

圆C的方程为j?+y^+2x~by-y+b=O.

(3)圆C过定点，证明如下：

假设圆C过定点(xo,yo),(xo,乂)不依赖于6),将该点的坐标代入圆C的方程并变形为

/+据+2x0-yo+b(l-yo)=o.

1-yo=0

为了使上述方程对所有满足6<1(6^0)的b都成立，必须有22c△，解得

[xo+^o+2xo-70=0

Xo=ox=-2

'或J0

yo=1tvo=1

经验证：点(0,1),(-2,1)均在圆C上，因此圆C过定点.

15.(2011•温州)在平面直角坐标系xOy中，己知圆/+/一12%+32=0的圆心为。，过点

P(0,2)且斜率为4的直线与圆相交于不同的两点/、B.

(1)求上的取值范围；

(2)是否存在常数左，使得向量为+协与通共线？如果存在，求上值；如果不存在，请

说明理由.

［解析］(1)圆(x-6)2+/=4的圆心。(6,0),半径r=2,设过P点的直线方程为y=foc+2,

根据题意得塔望*2,「.4必+3k0,■为＜0.

W+24

(2)设/(xi，为)，5(x2,y2),

则ON+08=(xi+》2，为+力)，

将、=履+2代A?+J-］2x+32=0中消去y得(1+F)?+4(k-3)x+36=0,

X2是此方程两根，•..则Xi+必=

1十/C

4k(k-3)

又yi+y2=k(x\+X2)+4=-+

P(0,2),0(6,0),•,屈=(6,-2),

为+协与匝共线等价于-2g+X2)=6(yi+y2),

.8•g不-齐3)一64(kn-3)24,小3

不

3

由⑴知0),故没有符合题意的常数北

专题6第2讲圆锥曲线

一、选择题

1.(2011•安徽理，2)双曲线2?一丁=8的实轴长是()

A.2B.2啦

C.4D.4啦

［答案］C

［解析］由%2-/=8可得'-'=1,

则一=4,a=2,2。=4,故选C.

22

2.（2011・湖南理，5）设双曲线》一方=1（心0）的渐近线方程为3肚2y=0,贝布的值为（）

A.4B.3

C.2D.1

［答案］C

3

［解析］双曲线的渐近线方程为^=±不，

,3

比较y=±］x,.,•。=2.

22

3.（2011•天津文，6）已知双曲线，一方=l（a>0,b>0）的左顶点与抛物线y=2川仍>0）的

焦点的距离为4,且双曲线的••条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2,-1）,则双曲

线的焦距为（）

A.2y［3B.2小

C.473D.4小

［答案］B

［解析］..・抛物线的准线与双曲线的一条渐近线的交点为（-2,-1）,

-2=-2,p=4,抛物线方程为J=8x,

双曲线渐近线的斜率

••・抛物线焦点坐标为（2,0）.

由题意2-（-a）=4,得。=2,

.,./>=1,c2=a2+/>2=4+1=5.

-'-2c=2点.

4.（2011・山东荷泽）方程为5+9=13泌>。）的椭圆左顶点为4左、右焦点分别为自、

尸2,。是它短轴上的一个顶点，若3加|=扇+2旗，则该椭圆的离心率为（）

A2Bl

［答案］D

［解析］-：?>DF}=DA+2DF2,

■■■2（DF］-DFi）=DA-DFi,

•'-F\A=2F2F\?即a-c=4c,

c1

「•e=_=£.

a5

5.（2011•海南五校联考）如图，正六边形48CQE/的两个顶点力、。为双曲线的两个焦

点，其余4个顶点都在双曲线上，则该双曲线的离心率是（）

A.,\/3+1B币一1

C币D.小

［答案］A

［解析］设正六边形的边长为1,则ED=1,

AD=2,.■-2a=AE-ED=yf3-1,2c=AD=2,

6.（201卜大连一模）设尸为抛物线/=2网户0）的焦点，A,B,C为该抛物线上三点，当荡

+F8+FC=0,且|法|+|两+|所=3时，此抛物线的方程为（）

A.y^—2jcB.，=4x

C./=6xD.J=8x

［答案］A

［解析］由题意知焦点畤，0）,设4（xi，%）,5（X2.y2）,C（x3,y3）,则由成+无+元?

=0,得（X|，）+（X2，）+（X3-2）=0>-1-^i+X2+X3=当又由抛物线定义，得04|+\FB\+\FC

I=（xi+，+（》2+§）+（X3+§=3p=3,，p=1,因此所求抛物线的方程为J=2x.

7.（2011•大纲全国卷理，10）已知抛物线C：“=4x的焦点为尸，直线y=2x-4与C交于Z,

8两点，则cos//F8=（）

A.1B.|

［答案］D

“=4x

［解析］方法一：联立"，不妨设/在x轴上方，:./GM）,8（1,-2）,

y=2x-4

点坐标为(1,0),•,•法=(3,4),FB=(O,-2),

FA-FB-84

cosNAFB

\FA\-\FB\5X25,

方法二：|力8|=3小，|/用=5,即=2,

人……心开+-L4BI24

由余弦正理知，cosN/FB=«2抽丁・但尸|---=

8.（文）（2011・辽宁文，7）已知产是抛物线y=丫的焦点，A,8是该抛物线上的两点，\AF\

+|8g=3,则线段N8的中点到y轴的距离为（）

A、B.1

「D2

J4u'4

［答案］C

［解析］如图所示：

■■■\AF\=\AK\,\BF\=\BM\

\AK\+\BM\=\AF\+网=3

■'-AB的中点尸到准线的距离

\PN\=如K|+\BM\）=I

315

;•点p至物轴的距离为5-w=1

222

（理）（2011•浙江理，8）已知椭圆G：夕+齐=1（心6>0）与双曲线Cz：f=1有公共的

焦点，C的一条渐近线与以Ci的长轴为直径的圆相交于4,B两点.若Ci恰好将线段三

等分，贝W）

B.，=13

D.Z>2=2

［答案］C

•••椭圆中：a=b2+5,由条件知|/8|=2”,

2222

ay=ah得/=4/+,

丁=4：弁庐又2山2+丁=土阴,

a2b24a2b2a

彳天+彳天=马

整理，得：a=II/?2,结合。2=〃+5,得/=；•,b2=^,选C.

二、填空题

9.（2011•陕西质检二）已知抛物线C的顶点为原点，焦点在x轴匕直线y=x与抛物线

C交于/,8两点.若尸（2,2）为的中点，则抛物线C的方程为.

［答案］y2=4x

［解析］设抛物线的标准方程为丁=2px,A（x）,pi）,8（x2，及），则=2pxi,£=212,

两式相减可得（yi-㈤必+及）=2p（xi-X2）,则kAB=""我=?,-'.^=1,解得p=2,

修一工2乃十”一

即所求抛物线方程为/=4x.

10.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为网1,0）,直线/与抛物线C相交于4、B

两点,若48的中点为（2,2）,则直线/的方程为.

［答案］y=x

［解析］因为抛物线顶点在原点，焦点尸（1,0）,故抛物线方程为丁=4x.设4Q］,力），8（如

y2）。1£工2），

则才=4勺，族=4工2.

•••S一及）5+力）=4（修一孙），

・•・直线为8的方程为y-2=x-2,即y=x.

2222

11.（文）（2011•山东文，15）已知双曲线'一5=l（a>0,6>0）和椭圆,+彳=1有相同的焦

点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为

［答案］

［解析］椭圆焦点为（士、Q,0）,所以々2+/=7,椭圆离心率为e=¥，「.乌二手乂？，

「.。=2,6=市，

X2v2

・,・双曲线方程为『［=1.

（理）（2011•江西理，14）若椭圆?+》=1的焦点在x轴匕过点（1,1）作圆，+丁=1的切

线，切点分别为4,8,直线48恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是

22

故椭圆的上顶点坐标为（0,2）.因此c=l,b=2,。=小，所求椭圆方程为方+；=1.

解法二：由题意可得切点4（1,0）.

\n2mn4\

切点加，〃）满足J-二一:，解得噌，工

jn,+力2=1,

・•・过切点44的直线方程为2x+y-2=0.

令y=0得x=1,即c=1;

令x=0得y=2,即6=2.

22

・"2=ft2+C2=5,.二椭圆方程为］■+；=1.

22

12.（文）（2011♦江西文，12）若双曲线上一\=1的离心率e=2,则加=.

［答案］48

［解析］c2=<72+fe2=16+m,又.•？=%

V16+7W

「•e=2=―----,「♦m=48.

（理）（2011•海淀模拟）-知有公共焦点的椭圆与双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，左、

右焦点分别为P、F2,且它们在第一象限的交点为尸，是以尸分为底边的等腰三角

形.若|PF||=10,双曲线的离心率的取值范围为(1,2).则该椭圆的离心率的取值范围是

|2

［答案］(§，g)

［解析］设椭圆的半焦距为c,长半轴长为m由椭圆的定义及题意知，\PF,\=2a-\PF2\

=2a-2c=10,得到o-c-5=0,因为双曲线的离心率的取值范围为(1,2),所以1＜痣五＜2,

.・1＜碧，•…/七川-喂，且;＜1-娱4•.•该椭圆的离心率的取值范围是4,

Z3ac+5c+53c+533

三、解答题

13.(2011•北京西城5月抽考)已知椭圆C：夕+/=l(a＞Q0)的离心率为坐椭圆C上任

意一点到椭圆C两个焦点的距离之和为6.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线/：y=h-2与椭圆C交于/,8两点，点尸(0,1),且四|=|PB|,求直线/的

方程.

［解析］⑴由已知2q=6,e=：=乎，

解得4=3,C=杂,所以yJ一02=3,

22

所以椭圆C的方程为a+1=1.

《+/=1

(2)由产3得，(1+3然)？-12&+3=0,

y=kx-2

因为直线/与椭圆C有两个不同的交点，

所以A=144〃-12(1+3必)＞0,解得必

设/（xi，y\）,8（x2，72）＞的中点为E,

12k3

则X|+"2=EP'XM2=7T/

4

Ni+%=k（x\+X2）-4=k、+31-4=

1+3*'

所以的中点坐标为

因为|以|=|尸8],所以尸kPE-kAB=-1,

…1+31

所以一6k一…卜

1+3必

解得4=1或左=-1,经检验，符合题意.

所以直线/的方程为x-y-2=0或x+y+2=0.

22

14.(文)(2011•天津文，18)设椭圆方+3=1(心6>0)的左、右焦点分别为尸尸2,点尸3

6)满足尸&|=四&|.

(1)求椭圆的离心率e；

(2)设直线尸&与椭圆相交于48两点，若直线P&与圆。+1)2+&-小尸=16相交于河,

N两点、,且|〃做=//用，求椭圆的方程.

［解析］(1)设FI(-GO)，F2(C,0)(C>0),

因为|「&|=\F\FzV所以.(q-cy+J=2c,整理得2(/+^-1=0,得，-1(舍)或亍=

1

T

所以e=；.

(2)由(1)知“=2c,b=R可得椭圆方程为3父+4/=12。2,直线P&的方程为y=

-c)，

f3?+4j/2=12c2,

A,8两点的坐标满足方程组<广，

［y=yl3(x-c).

Q

消去y并整理，得5x?-8cx=0,解得X|=o,X2=-c,

fx,=O,卜2三，

得方程组的解厂，〈厂

卜=-小。3A/3

［及=寸—

不妨设力修，B(0,-小c),

所以=«豺+(乎°+同、=ye.

于是

圆心(-1,小)到直线P巳的距离

I一小一5-/c|市|2+c|

d=-----------=-------

22

因为/+(号">=42,所以1(2+°)2+°2=16.

整理得7c2+12c-52=0,得c=-7(舍)，或c=2,

X2V2

所以椭圆方程为2++=1.

1012

(理)(2011•天津理，18)在平面直角坐标系中，点P(a,6)3>6>0)为动点，丹，B分别

22

为椭圆£+5=1的左、右焦点，已知△吊P&为等腰三角形.

(1)求椭圆的离心率e；

(2)设直线尸&与椭圆相交于4B两点,M是直线PF?上的点，满足工序说/=-2,求点“

的轨迹方程.

[解析](1)设入(-c,0),尸2(。,0)(。>0).由题意，可得即叱“-cP+A=2c.

整理得

2俳+/1=。得17(舍)或汨.

所以e=g.

(2)由(1)知”=2c,b=®可得椭圆方程为3x2+4/=Me?,直线尸&方程为。=小。-

c).

f3x2+4y-=12c

A,8两点的坐标满足方程组<厂

[y=y]3(x-c).

8

消去y并整理，得5f-8cx=0,解得xi=0,X2=铲.

(X1=0,卜2=铲，

得方程组的解V厂《厂

Lxi=一5c，3V5

卜2=5a

不妨设'(°’-小C)

设点M的坐标为(x,y),则彳y-BM=（x,y+y/3c\

由y=y[3(x-c),得。=x-坐y.

于是4A/=-|x,BM=（x,小x）.

由《MBA/=-2,即（4阴y+（5,小工=-2,化简得-16小中一15

=0,

此18x2-15”、、10』+5

将尸代入1一,得'=一位L

所以x>0.

因此，点M的轨迹方程是18x2-16小9-15=0(x>0).

2

15.(2011•北京理，19)已知椭圆G：，+，=1,过点(〃7,0)作圆x?+”=l的切线/交椭圆

G于4B两点.

(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率；

(2)将表示为m的函数，并求的最大值.

［解析］(1)由已知得。=2,6=1,

所以c=qj一九=5

所以椭圆G的焦点坐标为(-，5,0),(小,0),离心率为6=亍=坐

(2)由题意知，困21,

当加=1时，切线/的方程为x=1,点48的坐标分别为(1,乎)，(1,-),此时148|

=黄.

当m=-1时，同理可得|48|=,.

当|相|>1时，设切线/的方程为y=-X-m).

y=k(x-m)，

由<f得(1+4月)工2-8后mx+4必加2-4=0.

彳+y1.

设45两点的坐标分别为(X1，「1),(孙，%)，则

8仗m4/^m2-4

修+乃=77^'

又由/与圆密+:/=I相切，得.\km\_i

即加2*=[+I

22

所以M8广^/(x2-X|)+(y2-yi)

T(1+*)[(xi+MJ二4XIM]

匚,2、.640/4(4k2m2-4\

=4(i+炉)i+4后]

m2+3'

由于当机=±1时，\AB\=y[3,

4xFi\m\

所以|N8|=涓]31mW(_8,-1]u[1,+8).

因为=4'3<2,且当机=士>/5时，\AB\=2.

m网+而

所以M目的最大值为2.

专题6

QHXL强化训练

1.（2011•长沙5月模拟）已知三直线八：2x~y+a^0（a>0）,直线小一4x+2y+l=0和

7

，3：x+y—1=0,且/i与，2的距离是而仃.

⑴求。的值；

（2）能否找到一点P,使尸同时满足下列三个条件：①P是第一象限的点；②点尸到6的距

离是点P到/2的距离的3：③点尸到/|的距离与点P到八的距离之比是啦小.若能,求点P坐标;

若不能，说明理由.

[解析]（l）'-'/i：2x-y+a=0,l2:2x~y-^=0,

解得0=3或4=-4（丫0>0,舍去）

（2）设存在点尸（xo,次）满足②，则点尸在与小，2平行的直线/'：2x-y+c=0,且，全引=

产上

钉&

_13._11

即0nc2一$，

c13…八11八

.二2%0一如+g=0或2x（）』+不=0.

若点尸满足条件③，由点到直线的距离公式，有

加-%+3|—/.隔+泗-1|

小y（5y[2

即|2x（）-），（）+3|=恒）+），0-1|

啦

+

SP|2x0-yo3|=|x0+yo-1[,

/•Xo-2yo+4=0或3XQ+2=0.

在第一象限，，3xo+2=0（舍去）.

13

联立方程2ro+丁=0和X。-3如+4=0,

x0=~3

解得11（舍去），

泗=，

1

2xo-yo+^-=Oxo=9

由'得＜

37

、xo-2yo+4=0泗=而

福即为同时满足条件的点.

2.(文)如图，直角三角形/8C的顶点坐标/(—2,0),直角顶点8(0,-2啦)，顶点C在x

轴上，点尸为线段0/的中点.

(1)求8C边所在直线方程；

(2)/0为直角三角形Z8C外接圆的圆心，求圆"的方程；

(3)若动圆N过点P且与圆M相切，求动圆N的圆心N的轨迹方程.

,

[解析](l)V^fi=-^2,AB1BC,■■■kcB=2

•••BC边所在直线方程为严冬-2^2.

(2)在BC边所在直线方程中，令y=0,得C(4,0),

••・圆心M(l,0).又；|/盟=3，

••・外接圆的方程为(X-1)2+J=9.

(3)”(-1,0),

圆N过点尸(-1,0),是该圆的半径.

又；动圆N与圆M内切，

.,.pVW|=3-|PN],即|A4N|+|PN|=3,

点N的轨迹是以M、P为焦点，长轴长为3的椭圆.

=c=1,b=y]a2-c2=\

2

.•・轨迹方程为5+151

-

4

4

(理)(2011・吉林市质检)己知圆满足：

①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为31；③圆心到直线/：x

-2y=0的距离为号.求该圆的方程.

［解析］解法一：设圆P的圆心为尸(a,b),半径为小则点P到x轴、y轴的距离分别

为步|,同.

由题意知圆P截x轴所得劣弧所对的圆心角为90。，

所以圆尸被x轴所截得的弦长为加人

故2\b\=y［2r,得尸=2b2.

又圆P被y轴所截得的弦长为2,

由勾股定理得/=/+1,得2户-/=1

又因尸(a,b)到直线x-2y=0的距离为生，得

八官和雪，即有。-2…L

2b2-a2=1

综上所述得

a-2b=1\a-2h=-1

(7=-1a=1c-

解得，，或，，于是/=2必=2.

b=-i［o=1

故所求圆的方程是(x+1)2+0+1)2=2或(X-1)2+(y-1)2=2.

解法2:设圆方程为(X-a)2+0-6)2=M,

令x=0,得丁-2by+/+/-/=().

历_力|=弋例+")2一%必=2.尸一°2=2,

得尸=a2+1.

再令y=0,可得f-2办+d+b2-，=o.

同理，可得卜|-》2|=2<尸-方\2y)r2-b2=yf2r,

KPr2=2b2,从而有2户_q2=i.

以下同解法一.

3.(2011•江西文，19)已知过抛物线J=2QC>O)的焦点，斜率为2啦的直线交抛物线于

A(xt,yi),8(x2,P2)(X|<X2)两点，且附=9,

(1)求该抛物线的方程；

(2)0为坐标原点，C为抛物线上一点，若沆=为十加k求%的值.

［解析］(1)直线48的方程是了=2啦。-§,

与j，=2px联立，从而有4x2-5px+/?2=0,

所以：x}+x2=乎

+=

由抛物线定义得：\AB\=x\+x2/?9,所以p=4,从而抛物线方程是9=8x.

(2)由p=4,4f-5px+p2=0可简化为f-5x+4=0,从而修=1,x2=4

yx=-2/，y2=4y[2,从而4(1,-2啦)，8(4,4的

设历=。3,为)=(1，-272)+2(4,472)

=(42+1,4®-2的

又抬=8x3，即［2^2(22-1)］2=8(42+1),

即(24-1)2=44+1,解得；1=0,或/1=2.

4.(2011・湖南文，21)已知平面内一动点尸到点尸(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差

等于1.

(1)求动点尸的轨迹C的方程；

(2)过点尸作两条斜率存在且互相垂直的直线/卜12,设/i与轨迹C相交于点4、B,/2与轨

迹C相交于点。、E,求心•港的最小值.

［解析］(1)设动点P的坐标为(x,y),由题意有彳

化简得_/=2X+2\X\.--------------------------2

当x20时，y2=4x；

当x<0时，_y=0.

所以，动点尸的轨迹C的方程为了=4x(x20)和尸0(x<0).

(2)由题意知，直线/1的斜率存在且不为0,设为七则八的方程为、=网》-1).

\y=k(x-1),____

由I2得%-Q42+4H+%2=0.

y=4x

设4(X］,力),%2,月)，则》1，孙是上述方程的两个实根,

4

于是修+工2=2+7,X\X2=1.

因为所以，2的斜率为

设。(工3，乃)，E(XA,J4)，则同理可得

工3+工4=2+42，X3X4=1.

故病昼=(苏+Fb)(EF+FB)

=AFEF+AFFB+FDEF+FDFB

=I拓・|两+I所际

=(U+l)(x2+l)+(x3+1)(x4+1)

=X|X2+(X|+X2)+1+X3X4+(%3+X4)+1

=1+(2+%)+1+1+(2+4*)+1

=8+4(必+/)28+4X2y必•土=16.

当且仅当然=+,即人=±1时，而•砺取最小值16.

22

5.(文)已知长、出是椭圆，+方=1(。＞6＞0)的左、右焦点，/是椭圆上位于第一象限内

的一点，点8也在椭圆上，且满足由+加=0(0为坐标原点)，后2，百万2=0.若椭圆的离心率

等*.

(1)求直线N8的方程；

(2)若△48-2面积等于4啦，求椭圆的方程.

［解析］⑴由①+协=0知，直线Z8经过原点，

又由疣•厂市2=0，知力尸2，尸1尸2.

因为椭圆的离心率等于坐，所以家坐,b2=^a\

2

故椭圆方程可以写为f+2y2=a.

设点N的坐标为(c,y),代入方程f+2y2=/,得y=；a,

所以点工的坐标为Pp”，|a),

故直线”的斜率正坐

因此直线的方程为了=乎二

(2)连结4-、BF},由椭圆的对称性可知

SAABF2=SA4BF\=SAAFIF2,

所以=4啦,解得＜?=16,b2=16-8=8,

22

故椭圆方程为出+^=1.