53模拟试卷初中数学八年级下册02专项素养综合全练(二)

专项素养综合全练(二)勾股定理的应用类型一用勾股定理解决最短路径问题(一)平面中的最短路径问题1.如图,在正方形ABCD中,AB边上有一点E,AE=3,EB=1,在AC上有一点P,使EP+BP的值最小,求EP+BP的最小值.2.如图,在等边三角形ABC中,D是BC的中点,点E,P分别是线段AC,AD上的一个动点,已知AB=2,AD=3,求PE+PC的最小值.(二)立体图形中的最短路径问题3.如图所示的是一个三级台阶,每一级台阶的长、宽、高分别是50cm、30cm、10cm,A和B是这个台阶的两个相对的顶点,A点有一只壁虎,它想到B点去吃可口的食物,请你想一想,这只壁虎从A点出发,沿着台阶面爬到B点,至少需爬()A.13cmB.40cmC.130cmD.169cm4.如图1,圆柱形容器高为18cm,底面周长为24cm,在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处,为了吃到蜂蜜,蚂蚁从外壁A处沿着最短路径到达内壁B处.(1)图2是杯子的侧面展开图,请在杯沿CD上确定一点P,使蚂蚁沿A→P→B爬行的距离最短;(2)结合图,求出蚂蚁爬行的最短路径长.5.【转化法】如图,长方体盒子的长、宽、高分别是12cm、8cm、30cm,在AB的中点C处有一滴蜂蜜,一只小虫从E处沿盒子表面爬到C处去吃,求小虫爬行的最短路程.类型二用勾股定理解决折叠问题(一)三角形中的折叠问题6.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,点E在BC边上,将△ABE沿AE折叠,使点B的对应点恰好落在斜边AC上的点F处.(1)若AE=CE,求∠C的度数;(2)若AB=3,BC=4,求△CEF的周长.(二)长方形中的折叠问题7.如图,长方形ABCD中,AB=8,BC=6,P为AD上一点,将△ABP沿BP翻折至△EBP,PE与CD相交于点O,且OE=OD,BE与CD相交于点F.(1)求证:OP=OF;(2)求AP的长.类型三用勾股定理解决实际问题8.【国家安全】如图,南北方向PQ以东为我国领海,以西为公海.晚上10:28,我国边防反偷渡巡逻101号艇在A处发现其正西方向的C处有一艘可疑船只正向我国沿海靠近,便立即通知正在PQ上B处巡逻的103号艇注意其动向.经检测AC=10nmile,AB=6nmile,BC=8nmile.若该可疑船只的速度为12.8nmile/h,则该可疑船只最早何时进入我国领海?类型四勾股定理在探究动点的存在性问题中的应用9.如图所示,在△ABC中,已知∠C=90°,AC=8,BC=6,P,Q是△ABC边上的两个动点,点P从点A开始沿A→C方向运动,且速度为每秒1个单位长度,点Q从点C开始沿C→B→A方向运动,且速度为每秒2个单位长度,它们同时出发,设运动的时间为t秒.(1)出发2秒后,求线段PQ的长.(2)t为何值时,△APB是等腰三角形?(3)当点Q在边BA上运动时,求能使△CBQ成为等腰三角形的运动时间.

答案全解全析1.解析如图,连接BD交AC于点O,连接ED,与AC交于点P,连接BP,此时EP+BP的值最小.易知B、D关于直线AC对称,∴BP=PD,∴EP+BP=EP+PD=ED.∵在Rt△ADE中,AE=3,AD=AB=1+3=4,∴由勾股定理得ED2=32+42=25=52,∴ED=5,∴EP+BP的最小值为5.2.解析如图,过B作BE⊥AC于E,与AD交于点P,连接PC,此时PE+PC的值最小,∵△ABC是等边三角形,D为BC的中点,∴PC=PB,∴PE+PC=PE+PB=BE,即BE的长就是PE+PC的最小值,∵△ABC是一个边长为2的等边三角形,BE⊥AC,∴∠BEC=90°,CE=1,∴BE=22-1∴PE+PC的最小值是3.3.C将台阶面展开,连接AB,如图,线段AB即为壁虎所爬的最短路线.由题意知BC=30×3+10×3=120(cm),AC=50cm,在Rt△ABC中,根据勾股定理,得AB=AC2+所以壁虎至少需爬130cm.4.解析(1)如图所示,作点A关于CD的对称点A1,连接A1B交CD于点P,连接AP,点P即为所求.(2)过点B作BE⊥AC于E,∵点A1、A关于CD对称,∴A1C=AC=2cm,PA1=PA,∴PA+PB=PA1+PB=A1B,在直角△A1BE中,由勾股定理得A1B=A1E2答:蚂蚁爬行的最短路径长是20cm.5.解析分为三种情况:(1)如图①,连接EC.在Rt△EBC中,EB=12+8=20(cm),BC=12由勾股定理,得EC=20(2)如图②,连接EC.同理可得CE=122+(8+15(3)如图③,连接EC.同理可得CE=82+(12+15)综上可知,小虫爬行的最短路程是25cm.方法解读本题属于转化法,解几何体表面上的最短距离问题的关键是转化,即将立体图形问题通过展开转化为平面图形问题,根据平面上“两点之间,线段最短”确定路径,连接起点与终点所得线段作为三角形的一条边,以此边来构造直角三角形,利用勾股定理求最短路径长.6.解析(1)由折叠的性质可得∠BAE=∠CAE,∵AE=CE,∴∠C=∠CAE.∵∠C+∠BAC=90°,∴∠C+∠BAE+∠CAE=90°,∴3∠C=90°,∴∠C=30°.(2)∵在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,∴AC=AB2+由折叠的性质可得AF=AB=3,EF=BE,∴CF=AC-AF=2,∴△CEF的周长为CE+EF+CF=CE+BE+CF=BC+CF=4+2=6.7.解析(1)证明:∵四边形ABCD是长方形,∴∠D=∠A=∠C=90°,AD=BC=6,CD=AB=8.由翻折可知EP=AP,∠E=∠A=90°,BE=AB=8,在△ODP和△OEF中,∠∴△ODP≌△OEF(ASA),∴OP=OF.(2)∵△ODP≌△OEF,∴OP=OF,PD=EF.∵OE=OD,∴OD+OF=OE+OP,∴DF=EP.设AP=EP=DF=x,则EF=PD=6-x,CF=8-x,∴BF=8-(6-x)=2+x,在Rt△FCB中,根据勾股定理得BC2+CF2=BF2,∴62+(8-x)2=(2+x)2,解得x=4.8,∴AP=4.8.8.解析∵AB2+BC2=62+82=100=102=AC2,∴△ABC为直角三角形,且∠ABC=90°.∵S△ABC=12AC·BD=12AB∴12×10BD=1在Rt△BCD中,CD=BC2-∴该可疑船只从被发现到进入我国领海的最短航行时间为6.4÷12.8=0.5(h).∴该可疑船只最早进入我国领海的时间为晚上10:58.9.解析(1)当t=2时,CQ=2×2=4,CP=8-1×2=6,在Rt△PCQ中,PQ=CQ2+CP(2)如图,当△APB是等腰三角形时,有AP=BP=t,则CP=8-t.在Rt△CPB中,由勾股定理得62+(8-t)2=t2,∴t=254故当t=254时,△(3)∵点Q在边BA上运动时,△CBQ为等腰三角形,∴应分三种情况:①如图,若CQ=BQ,则∠B=∠BCQ.∵∠B+∠A=∠BCQ+∠ACQ=90°,∴∠A=∠ACQ,∴CQ=AQ,∴BQ=AQ.在Rt△BCA中,BA=BC2+