2024年浙江宁波鄞州中学强基招生数学试卷真题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2024年浙江省宁波市鄞州中学强基招生数学试卷一、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分．1．若，且，则．2．．3．已知正实数，，满足，则的最小值为．4．已知函数，当时，有最大值5，则的值为．5．已知中，上的一点，，，则的最大值为．6．若点为线段中点，，且，，，，则．7．如图，在中，，分别在，上，连接交于，若，，，，共线，的面积为，则的面积为．8．已知整数，，满足，则的最小值为．9．已知，，是大于1的正整数，且为整数，则．10．已知、为圆的两条切线，连接交圆于点，若，，，则．二、解答题：本题共2小题，共16分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．11．已知，矩形的A，B顶点分别在x轴，y轴上，反比例函数与矩形的，分别交于，，的面积为．(1)判断并证明直线与的关系．(2)求k的值．(3)若E，F分别为直线和反比例函数上的动点，M为中点，求的最小值．12．如图，在中，，是垂心，是外心，延长交于，于．(1)求证：．(2)证明：，，，四点共圆．(3)若，求．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．##【分析】根据观察方程组的系数特点，可把方程组转化成的形式，其中，是其两个不等的实数根，利用根与系数的关系，得到结果．本题考查了解方程组，一元二次方程根与系数关系的应用．关键是观察方程组的系数特点，得到，是方程的两个根，得到结果．【详解】解：，∴，∴，，，是方程的两个根，，．故答案为：．2．【分析】本题主要考查了数字变化的规律，将改写为，改写为，，再利用裂项相消法即可解决问题．【详解】解：∵，∴原式．故答案为：．3．【分析】本题主要考查二次根式的最值问题，勾股定理，用几何法构造直角三角形，结合最短路径问题是解决问题的关键．本题利用几何法求解，通过构造图示的三个直角三角形，即，，，则由勾股定理可知，即，同理可得：，，进而得到，可知当，，，四点共线时，最小，即为长，根据勾股定理求出，即可求解．【详解】解：构造图示的三个直角三角形，即，，，满足，，，，，，则由勾股定理可知，即，同理可得，，，即可知当，，，四点共线时，最小，即最小值为的长，当，，，四点共线时，．在中，．故答案为：．4．1或7【分析】本题主要考查了二次函数的性质、非负数的性质：绝对值、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由的对称轴是直线，结合当时，，又当时，，当时，，进而分类讨论即可判断得解．【详解】解：由题意，的对称轴是直线，当时，．∵当时，有最大值5，∴当时，，当时，，∴最大值可能在这三个数处取得：①当最大值为，或，∵当时，，此时函数有最小值，不符合题意，②当最大值为，或∵当时，，此时最大值在对称轴右侧取得，不符合题意，当时，，此时最大值在处取得，不符合题意，∴或均不合题意，③当最大值为，或，∵当时，，此时最大值在对称轴处取得，不符合题意，∴，综上，或7．故答案为：1或7．5．90°【分析】本题考查了四点共圆，圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，确定点的运动轨迹是解题的关键．由题意可得点在以为圆心，为半径的圆上运动，则当与圆相切时，有最大值，由“”可证，可得，可证四边形是矩形，可得，即可求解．【详解】解：如图，以为边作等边，连接，过点作于，，设，则，，，点在以为圆心，为半径的圆上运动，当与圆相切时，有最大值，此时：，是等边三角形，，，，，又，，，四边形是平行四边形，又，四边形是矩形，，故答案为：．6．3【分析】先画出图形，过作．延长交于．由，得，证明，得，，由面积，得，，，，，，最后再计算即可．【详解】解：如图，过作．延长交于．，，为线段中点，，在和中，，，，面积，，，，，，，．故答案为：3．【点睛】本题考查了平行线的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，二次根式的运算，熟练掌握相关的判定和性质，利用中线倍长是解题关键．7．【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、三角形面积问题等内容，在初中竞赛、自招、强基等题目中，梅涅劳斯定理和塞瓦定理是必须掌握的基础内容．根据梅涅劳斯定理和塞瓦定理可得出和，从而得出，再利用即可得解．【详解】解：梅涅劳斯定理：如图，，证明：过作交延长线于点，则，，；塞瓦定理：如图，，根据上述梅涅劳斯定理，可得出，在中，是梅涅线，①在中，是梅涅线，②．根据梅涅劳斯定理，在中，是梅涅线，，，，，，，，根据塞瓦定理可得，，，而，，，故答案为：30．8．118【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握完全全平方公式和非负数的性质．根据，得出，从而得出，，，然后再进行运算，得出结论即可．结论．【详解】解：，，，，，，即，故答案为：118．9．12【分析】先求出，再不妨设，则，据此得到，当时，则，不符合题意，据此可得或，当时，，则，可得，则；当时，，则，则，可得．【详解】解：，、、是大于1的正整数，∴不妨设，∴，，∴，∵为整数，∴，当时，则，不符合题意，∴或，当时，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；当时，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；综上所述，，故答案为：．【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，分式的乘法计算，根据题意推出，且或是解题的关键．10．【分析】连接，，，作，设，证是等边三角形，得出，证，，得出，得出是直径，再利用勾股定理列方程求出，即可．【详解】解：连接，，，过点A作作于F，设，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，，，，是等边三角形，，，，是的切线，，，，，，，，，，，同理可证：，得出：，，，，，是直径，，，，，，，，，，，(负值已舍去），．【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的判定与性质，切线长定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，解一元二次方程等知识．作辅助线构造相似三角形是解题的关键．11．(1)，理由见解析(2)6(3)【分析】（1）可表示出，，从而得出，，进而表示出和，进而得出，进而证得，从而，从而得出；（2）作于，可推出，从而，进一步得出结果；（3）取点，，则直线与直线关于O对称，连接，并延长交于H，连接，则，可得出当最小时，最小，作直线，交y轴与，且使与双曲线在第一象限的图象相切，切点为，连接，作，则的最小值是的长，可设直线的解析式为：，由整理得，，从而得出，求得的值，进一步得出结果．【详解】（1）解：如图1，，理由如下：，矩形的A，B顶点分别在轴，y轴上，反比例函数与矩形的，分别交于D，C，，，，，，，，，，，，；（2）解：如图2，作于G，，，，，，（舍去），；（3）解：如图3，取点，，则直线与直线关于O对称，连接，并延长交于，连接，则，M是的中点，，当最小时，最小，作直线，交y轴与Q，且使与双曲线在第一象限的图象相切，切点为，连接，作，当重合，重合，则的最小值是的长，直线的解析式为：，设直线的解析式为：，由整理得，，，，（舍去），，，直线为，∴，，∴，∴，当最小时，最小，的最小值是的长，．【点睛】本题考查了求反比例函数和一次函数的解析式，函数图象的交点与方程（组）之间的关系，三角形中位线的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形的中位线．12．(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）以为圆心，为半径作圆，连接，延长交圆于点，连接，，，，，延长交于点，延长交于点N，由垂心，得到垂直关系，得到证明四边形是平行四边形，根据中位线性质得出，从而得到结果；（2）先求出，再结合，证明，得到四点共圆；（3）以为圆心，为半径作圆，连接，延长交圆于点，连接，，，，，延长交于点，延长交于点N，设，用表示出的各边，利用勾股定理，得到一元二次方程，利用求根公式求方程的根，得到结果．【详解】（1）解：以为圆心，为半径作圆，连接，延长交圆于点，连接，，，，，延长交于点，延长交于点N，如图所示：是直径，∴，，，为垂心，，，，，，是平行四边形，，∵，O为外心，∴，∵，∴为的中位线，∴，∴，即；（2）解：连接，，，，延长交于点，延长交于点N，如图所示：，∴，为垂心，，，，∴，∴，∴，，、、、四点共圆；（3）解：以为圆心，为半径作圆，连接，延长交圆于点，连接，，，，