专题4.8实数的新定义问题专项提升训练（重难点培优）-2022-2023学年八年级数学上册尖子生培优题典

【讲练课堂】20222023学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题4.8实数的新定义问题专项提升训练（重难点培优）一、单选题1．（2022·江苏·八年级单元测试）一般地，如果xn=a（n为正整数，且n>1），那么x叫做a的n次方根．下列结论中正确的是（A．81的4次方根是3 B．当n为奇数时，-5的n次方根随n的增大而增大C．32的5次方根是±2 D．当n为奇数时，5的n次方根随n的增大而增大【答案】B【分析】利用方根的定义对每个选项进行逐一判断即可得出结论．【详解】解：∵81的4次方根是±3，∴A选项的结论不正确；∵当n为奇数时，5的n次方根随n的增大而增大，∴B选项的结论正确；∵32的5次方根是2，∴C选项的结论不正确；∵当n为奇数时，5的n次方根n的增大而减小，∴D选项的结论不正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了新定义的方根的意义与性质，明确一个正数的偶次方根由两个是解题的关键．2．（2022·江苏·八年级专题练习）定义a*b＝3a﹣b，a⊕b＝b﹣a2，则下列结论正确的有（）个．①3*2＝7．②2⊕（﹣1）＝﹣5．③（13*25）⊕（72⊕1④若a*b＝b*a，则a＝b．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】先按照定义书写出正确的式子再进行计算就可解决本题．【详解】①、3*2＝3②、2⊕（③、(13④、a*b=3a-b，b*a=3b-a，∵a*b＝b*a，3a-b=3b-a，解得：a=b，故计算正确，符合题意．综上所述，正确的有：①②④，共3个．故选：C．【点睛】本题考查了按照定义运算的知识，严格按照定义书写出正确的式子，准确的计算是解决本题的关键．3．（2022·江苏·八年级单元测试）对于实数x，我们规定x表示不大于x的最大整数，如4=4，3=1，-2.5=-3．现对82进行如下操作：82→第一次8282=9→第二次99=3A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根据程序图一步一步计算即可得出答案．【详解】解：第一次，[625625]＝[62525]＝[25]＝第二次，[2525]＝[255]＝[5]＝第三次，[55]＝[5]＝2第四次，[22]＝[2]＝1故选：A．【点睛】本题考查了新定义的运算、算术平方根、无理数的估算等知识，熟练掌握算术平方根的求法是解题的关键．4．（2021·江苏南通·八年级期中）定义关于m，n的新运算：fm+n=fm⋅fn，其中m，n为正整数．例如，已知f5=2，则fA．kn+674 B．674kn C．kn+674 D．【答案】C【分析】本题为代数式的规律探究，已知f3=k(k≠0)，定义的新运算可得f3×2=k【详解】解：已知f3∴f3×2f3×3……f3n∴f3n∴故选：C．【点睛】本题考查代数式的规律探究，根据定义的新运算找到运算规律是解题关键．5．（2021·江苏镇江·八年级期末）对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b=2a-b2，这里等式右边是通常的实数运算．例如：1⊗3=2A．x=4 B．x=5 C．x=6 D．x=7【答案】B【分析】已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解．【详解】根据题中的新定义化简得：2x-1去分母得：2=6-x+1，解得：x=5，经检验x=5是分式方程的解．故选：B．【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．6．（2020·江苏·南通田家炳中学八年级阶段练习）对任意两个正实数a，b，定义新运算a★b为：若a≥b，则a★b=ab；若a<b，则a★b=b①a★b=b★a；②a★bb★a=1；③aA．① B．② C．①② D．①②③【答案】A【分析】①根据新运算a★b的运算方法，分类讨论：a≥b，a<b，判断出a★b是否等于b★a即可；②由①，推得a★b=b★a，所以③应用放缩法，判断出a★b+1a★b与【详解】解：①a≥b时，a★b=ab★a=a∴a★b=a<b时，a★b=bb★a=b∴a★b=∴①符合题意．②由①，可得：a★b=当a≥b时，∴a★bb★a∴a★bb★a不一定等于1当a<b时，∴a★bb★a∴a★bb★a不一定等于1∴a★bb★a∴②不符合题意．③当a≥b时，a>0，b>0，∴ab∴a★b+1当a<b时，∴a★b+1∴a★b+1∴③不符合题意，∴说法中正确的有1个：①．故选：A．【点评】此题主要考查了定义新运算，以及实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．7．（2020·江苏·射阳县实验初级中学八年级期中）定义运算：a★b=a(1b)．若a，b是方程x2-x+14m=0(m<0)A．0 B．1 C．2 D．与m有关【答案】A【分析】由根与系数的关系可找出a＋b＝1，根据新运算找出b⋆b−a⋆a＝b（1−b）−a（1−a），将其中的1替换成a＋b，即可得出结论．【详解】解：∵a，b是方程x2−x＋14m＝0（m＜0∴a＋b＝1，∴b⋆b−a⋆a＝b（1−b）−a（1−a）＝b（a＋b−b）−a（a＋b−a）＝ab−ab＝0，故选：A．【点睛】本题考查了根与系数的关系，解题的关键是找出a＋b＝1．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之积与两根之和是关键．8．（2019·江苏·射阳县第二初级中学八年级期末）若2019个数a1、a2、a3、…、a2019满足下列条件：a1=2，a2=-a1+5A．5047 B．5045 C．5040 D．5051【答案】A【分析】通过前面几个数的计算，根据数的变化可得出从第3个数开始，按2，3依次循环，按此规律即可得出a1【详解】解：依题意，得：a1a2a3a4a5a6……由上可知，这2019个数a1，a2，故这2019个数中有1个2，1个−7，1009个−2，1008个−3，∴a1+故选：A.【点睛】本题主要考查了规律型：数字的变化类，找到规律是解题的关键.二、填空题9．（2022·江苏·灌南县扬州路实验学校八年级阶段练习）对于正数x，规定f(x)=11+x，例如：f(4)=11+4=15，f(12)=【答案】2021【分析】根据新定义的运算可得f（n）＋f（1n）=1，从而有f(n)+f(n-1)+…+f(2)+f(1)+f(12)+…+f(【详解】寻找规律：当x=1时，f（1）=12当x=2时，f（2）=13，当x=12时，f（12）=23，f（2）＋f（当x=3时，f（3）=14，当x=13时，f（13）=34，f（3）＋f（······当x=n时，f（n）=1n+1，当x=1n时，f（1n）=nn+1，f（n）＋f（∴f(n)+f(n-1)+…+f(2)+f(1)+f(1∴当x=2022时，f(2022)+f(2021)+…+f(2)+f(1)+f(1=2022-1=2021故答案为：20211【点睛】本题考查列代数式以及代数式求值，理解新定义的运算是解决问题的关键．10．（2021·江苏·灌南县新知双语学校八年级阶段练习）在实数的原有运算法则中我们定义一个新运算“★”如下：x⩽y时，x★y=x2；x>y时，x★y=y．则当z=-3时，代数式(-2★z)·z-(-4★z)的值为【答案】-7【分析】由新定义运算法则可得(-2)★(-3)=(-3),(-4)★(-3)=(-4)2【详解】解：根据题中的新定义得：当z=-3时，原式=(-2)★(-3)×(-3)-(-4)★(-3)=(-3)×(-3)-(-4)=9-16=-7，故答案为：-7．【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，含乘方的有理数的混合运算，掌握“新定义的运算法则”是解本题的关键．11．（2022·江苏·八年级）定义一种新的运算：a⊗b=3a-5ba>b3ab【答案】5【分析】根据公式求出1⊗8的值，再代入5⊗1⊗8【详解】解：∵1<8，∴1⊗8=35⊗1⊗8=故答案为：5．【点睛】此题考查了新定义公式，正确理解公式的计算方法及公式中字母对应的数是解题的关键．12．（2022·江苏·苏州市吴江区铜罗中学八年级期中）对于正数x，规定f（x）＝11+x，例如：f（3）＝11+3=14，f（13）=131+13=1-14，计算：f（12006）+f（12005）+f（12004）+…f（13）+f（12）+f（1）+f（1）+f（2）+f（【答案】2006【分析】首先根据fx=11+x可以得到f1x=x1+x=1-1【详解】∵f∴f原式=1-==2006故答案是：2006．【点睛】本题主要考查分式的计算以及分式的代数求值，准确的根据已知条件表示出f113．（2020·江苏连云港·八年级阶段练习）我们用[m]表示不大于m的最大整数，如：[2]＝2，[4.1]＝4，[3.99]＝3．若3+x=6，则x的取值范围是【答案】9≤x＜16【分析】根据[m]表示不大于m的最大整数，可得6≤3+x＜7，解不等式即可求解．【详解】解：∵[3+x]＝6，∴6≤3+x＜7，解得9≤x＜16．故x的取值范围是9≤x＜16．故答案为：9≤x＜16．【点睛】本题结合新定义考查估算无理数的大小的知识，比较新颖，注意仔细地审题理解新定义的含义．14．（2022·北京·清华附中八年级期中）定义一种新运算a，b，若ac=b，则a，b=c，例2，8【答案】35【分析】设3m=5，3n=7，根据新定义运算的法则可知3，【详解】设3m=5，3n∴m+n=(3，∴3m+n∵3m+n∴x=35．故答案为：35．【点睛】本题考查新定义下的运算，同底数幂乘法的逆用．理解题意，掌握新定义下的运算法则是解题关键．15．（2022·全国·八年级专题练习）我们知道，同底数幂的乘法法则为：am•an＝am+n（其中a≠0，m，n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：f（m+n）＝f（m）•f（n），请根据这种新运算填空：（1）若f（1）＝23，则f（2）＝_____（2）若f（1）＝k（k≠0），那么f（n）•f（2022）＝_____（用含n和k的代数式表示，其中n为正整数）【答案】

49

【分析】（1）将f(2)变形为f(1+1)，再根据定义新运算：f(m+n)=f(m)·f(n)计算即可求解；（2）根据f(1)=k（k≠0），以及定义新运算：f(m+n)=f(m)·f(n)将原式变形为kn【详解】解：（1）∵f(1)=23，∴f(2)=f(1)·f(1)=2（2）∵f(1)=k，f(m+n)=f(m)·f(n)，∴f(n)·f(2022)=k故答案为：（1）49；（2）k【点睛】考查了同底数幂的乘法，定义新运算，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．16．（2020·湖南常德·八年级阶段练习）对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为（x），即当n为非负整数时，若n﹣0.5≤x＜n+0.5，则（x）=n．如（1.34）=1，（4.86）=5．若（14x+1）=2，则实数x的取值范围是___________【答案】2≤x<6##6>x≥2【分析】根据题意可得：20.5≤14x+1＜2+0.5【详解】解：由题意得：20.5≤14x+1＜2+0.5即：14解不等式①得：x≥2，解不等式②得：x＜6，∴原不等式组的解集为：2≤x＜6．故答案为：2≤x＜6．【点睛】本题考查了近似数和有效数字，解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组是解题的关键．三、解答题17．（2020·江苏·建新中学八年级阶段练习）对于正数x，规定：fx=xx+1．例如：f1(1)求值：f3+f13=_______(2)猜想：fx+f(3)求f1【答案】(1)1，1(2)1(3)2020【分析】（1）分别算出f（3），f(13)，f（4（2）将1x（3）按照定义式f(x)=xx+1发现规律，首尾两两组合相加，剩下中间的（1）解：∵f（3）=33+1=∴f(3)+f(1∵f（4）=44+1=∴f(4)+f(1故答案为：1；1；（2）fx证明：∵f(1∴f(x)+f(1故答案为：1；（3）f(=[f(2021)]+f(12021)+f(2020)+f(12020)+……+f（=2020+=20201【点睛】本题考查了定义新运算在有理数的混合运算中的应用，读懂定义，发现规律，是解题的关键．18．（2022·江苏扬州·八年级期末）对实数a，b，定义：a◆b=a2b-ab+b(1)求-3◆(2)若2◆m<-6，试化简：m+22【答案】(1)13(2)-2m-2【分析】（1）直接根据新定义运算法则计算即可；（2）根据2◆m<-6求得m的取值范围，进而化简二次根式计算即可．（1）解：原式==9=132（2）解：∵2◆m<-6，∴22得m<-2∴原式==-2m-2．【点睛】本题主要考查了新定义运算及二次根式的计算，正确理解新定义是解题的关键．19．（2022·广东·广州六中八年级期中）对任意一个数m，如果m等于两个正整数的平方和，那么称这个数m为“平方和数”，若m=a2+b2（a、b为正整数），记Am=ab．例如：29=22(1)判断45是否是“平方和数”，若是，请计算A45(2)若k是一个不超过50的“平方和数”，且Ak=k-9(3)对任意一个数m，如果m等于两个整数的平方和，那么称这个数m为“广义平方和数”，若m和n都是“广义平方和数”，请说明它们的乘积mn也是“广义平方和数”．【答案】(1)45是“平方和数”，A(2)k的值为：17或29或45(3)证明见解析【分析】（1）把45写成两个正整数的平方和，再根据Am=ab求出（2）设k=a2+b2，则Ak=ab，根据Ak=k-92，得a、b的方程，求得a（3）根据题意设m=a2+b2【详解】（1）45是“平方和数”，∵45=3∴A45（2）设k=a2+∵Ak∴ab=2ab=aa-b∴a-b=±3，即a=b+3或b=a+3，∵a、b为正整数且k是一个不超过50的“平方和数”，∴当a=1，b=4或a=4，当a=2，b=5或a=5，当a=3，b=6或a=6，当a=4，b=7或a=7，综上所述，k的值为：17或29或45；（3）设m=a∴mn=====∵ac+bd，∴mn也是“广义平方和数”．【点睛】本题考查了列代数式、完全平方公式和新定义运算，解决本题的关键是根据新定义列出相关的式子．20．（2022·四川·安岳县兴隆初级中学八年级阶段练习）阅读材料：如果一个数的平方等于-1，记为i2=-1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi(a，b为实数）的数就叫做复数，a叫这个复数的实部，b①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：(2+i)+(3-4i)=(2+3)+(1-4)i=5-3i；(3+i)i=3i+i②若他们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如1+2i的共轭复数为1-2i．根据材料回答：(1)填空：i3=______，i(2)求(2+i)(2+i)的共轭复数；(3)已知(a+i)(b+i)=1+3i，求a2【答案】(1)-i，1(2)3-4i(3)4-i或1-4i【分析】（1）根据i2=-1，则i3（2）根据完全平方公式计算，出现i2，化简为-1（3）把原式化简后，根据实部对应实部，虚部对应虚部列出方程，求得a，b的值，再代入计算即可求解．【详解】（1）解：∵i∴ii4故答案为：-i，1．（2）(2+i)2故(2+i)2的共轭复数是3-4i（3）∵(a+i)(b+i)=ab-1+(a+b)i=1+3i，∴ab-1=1，a+b=3，解得a=1，b=2或a=2，b=1，当a=1，b=2时，a2当a=2，b=1时，a2故a2+b2(【点睛】本题考查了实数的运算、完全平方公式，是信息给予题，解题步骤为：（1）阅读理解，发现信息；（2）提炼信息，发现规律；（3）运用规律，联想迁移．21．（2022·北京·北师大实验中学八年级期中）规定两数a，b之间的一种运算，记作a,b：如果ac=b，那么例如：因为23=8，所以(1)根据上述规定，填空：3,9=_________，-12,1(2)令2,6=x，2,7=y，2,42=z【答案】(1)2，4，5(2)证明见解析【分析】（1）根据有理数的乘方和负整数指数幂及新定义计算；（2）根据题意得：2x=6，2y=7，【详解】（1）解：∵32=9，-1∴3,9=2，-12故答案为2，4，5．（2）证明：∵2,6=x，2,7=y，∴2x=6，2y∵6×7=42，∴2x即2x+y∴x+y=z，∴2,6+【点睛】本题考查了新定义，有理数的乘法，负整数指数幂，能够正确运算新定义是解题的关键．22．（2022·全国·八年级专题练习）如果xn=y，那么我们规定x,y(1)-2,16=________；若2,(2)已知4,12=a，4,5=(3)若5,10=a，

①求25

②求t的值．【答案】(1)4；32(2)y(3)①110；【分析】（1）根据新定义即可得到；（2）根据新定义得到4a=12，4b（3）根据新定义得到5a=10，2【详解】（1）解：∵-2∴-2∵2∴y故答案为：4，32；（2）解：∵4,12=a∴4a=12，4∴4∵a+∴4∴y（3）解：∵5,10∴5a=10①25②∵5ab=5ab∴5∴ab=∴t【点睛】本题主要考查同底数幂的乘法运算、幂的乘方以及新定义的实数运算，掌握同底数幂的乘法以及幂的乘方是解题的关键．23．（2022·吉林·长春市赫行实验学校八年级阶段练习）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2=-1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi（a，b为实数）的数叫做复数，其中a叫这个复数的实部，例如计算：（2﹣i）+（5+3i）=（2+5）+（﹣1+3）i=7+2i；（1+i）×（2﹣i）=1×2-i+2×i-i根据以上伯息，完成下列问题：(1)填空；i3=；2i4(2)计算：①（3+i）（3﹣i）；②(3+i)2(3)若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：（x+3y）+3i=（1﹣x）﹣yi．（x，y为实数），求x，y的值；(4)试一试：请你参照i2=-1这一知识点，将m2【答案】(1)-