专题17比例线段重难点题型专训（6大题型）（原卷版）

专题17比例线段重难点题型专训（6大题型）【题型目录】题型一比例的性质题型二线段的比题型三成比例线段题型四由平行判断成比例的线段题型五由平行截线求相关线段的长或比值题型六黄金分割【知识梳理】知识点一、线段的比与成比例线段线段的比两条线段长度的比叫做两条线段的比.注意：求两条线段的比时必须统一单位）．成比例线段四条线段、、、中，如果，那么这四条线段、、、叫做成比例线段，简称比例线段．知识点二、比例的性质基本性质合比的性质等比性质知识点三、黄金分割黄金分割若线段AB上一点C把线段AB分成两条线段AC与BC（AC>BC），如果，这时称点C是AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比，它的值为．知识点四、相似图形相似图形在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similarfigures).要点诠释：(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；

(2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等；相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形．要点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质．（2）相似多边形对应边的比称为相似比．知识点五、平行线分线段成比例定理定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。图形：几何语言：∵l1∥l2∥l3，∴，，推论平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。图形：几何语言：∵DE∥BC，∴，，【经典例题一比例的性质】1．（2023春·江苏苏州·八年级苏州市胥江实验中学校校考阶段练习）下列比例式中，不能由比例式得到的是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·陕西西安·九年级校考开学考试）若，则的值为（

）A． B．1 C．1.5 D．33．（2023秋·八年级课时练习）已知（，，均不为0），则式子的值是．4．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）已知，若，则5．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知a，b，c，d四个数满足：，，其中a，b，c为非负数．(1)若，则___________．(2)d可取的整数有___________个．【经典例题二线段的比】1．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知点是线段上的一点，线段是和的比例中项，下列结论中，正确的是（

）A． B． C． D．2．（2023春·河北承德·九年级统考阶段练习）如图，将矩形纸片按照以下方法裁剪：剪去矩形边长的，边长的（称为第一次裁剪）；剪去剩下的矩形（阴影部分）边长的，长的（称为第二次裁剪）；如此操作下去，若第五次裁剪后，剩下的图形恰好是正方形，则原矩形的长宽比为（

）A． B． C． D．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点P把线段分成两部分，且为与的比例中项．如果，那么．4．（2023秋·广东佛山·九年级统考期末）如图，在中，，以点B为圆心，长为半径画弧，交线段于点D；以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点E，若E为中点，则．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）阅读、操作与探究：小亮发现一种方法，可以借助某些直角三角形画矩形，使矩形邻边比的最简形式（如的最简形式为）为两个连续自然数的比，具体操作如下：如图1，中，的长分别为3，4，5，先以点B为圆心，线段的长为半径画弧，交的延长线于点D，再过D，A两点分别作的平行线，交于点E．得到矩形，则矩形的邻边比为．请仿照小亮的方法解决下列问题：（1）如图2，已知中，，请你在图2中画一个矩形，使所画矩形邻边比的最简形式为两个连续自然数的比，并写出这个比值；（2）若已知直角三角形的三边比为（n为正整数），则所画矩形（邻边比的最简形式为两个连续自然数的比）的邻边比为．

【经典例题三成比例线段】51．（2023·全国·九年级假期作业）如果四条线段、、、构成，，则下列式子中，成立的是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·黑龙江大庆·九年级校考开学考试）下面四组线段中，不能成比例的是（）A． B．C． D．3．（2023春·广东河源·八年级校考开学考试）如图，线段OA与函数y（x＞0）的图象交于点B，且AB＝2OB，点C也在函数y（x＞0）图象上，连结AC并延长AC交x轴正半轴于点D，且AC＝3CD，连结BC，若△BCD的面积为3，则k的值为．4．（2023·山东济南·校考一模）如图，在边长为2的正方形ABCD中，以BC为边作等边△BCM，连接AM并延长交CD于N，则CN的长为．5．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，已知点，分别在边，上，，交于点，，，，，．(1)求的长；(2)若的面积为70，求的面积．【经典例题四由平行判断成比例的线段】1．（2023春·天津和平·九年级校考阶段练习）如图，在中，、、分别是边、、上的点，连接，相交于点，若四边形是平行四边形，则下列说法不正确的是（

）

A． B． C． D．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，，，．点F是中点，连接，把线段沿射线方向平移到，点D在上．则线段在平移过程中扫过区域形成的四边形的周长和面积分别是(

)

A．16，6 B．18，18 C．16.12 D．12，163．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，平分，交于点，且，，交于点．若，则的长是．

4．（2023春·山西吕梁·八年级统考期末）如图，矩形中，，把沿着翻折得到，连接交于点，点是的中点，点是的中点，连接，则的长为．

5．（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）已知：如图，在中，，，．直线从点出发，以的速度向点方向运动，并始终与平行，与线段交于点．同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，设运动时间为．

(1)当为何值时，四边形是矩形？(2)当面积是的面积的倍时，求出的值．【经典例题五由平行截线求相关线段的长或比值】1．（2023秋·安徽六安·九年级校考期中）如图，点D，E，F分别在的边上，，，，点M是的中点，连接并延长交于点N，则的值是（

）

A． B． C． D．2．（2023春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图所示，，是线段的中点，和交于点，已知的面积是，求四边形的面积（

）

A． B． C． D．3．（2023秋·河南郑州·九年级校考开学考试）如图，在中，D，E分别是和上的点，，，，且，则的长为．4．（2023·湖北黄石·统考模拟预测）如图，正方形的边长为，点是边上一个动点，点是边上一个动点，且，过点作于点，连接，若正方形的中心记为点，则过定点，长的最小值是．

5．（2023春·江苏盐城·八年级统考期中）本学期我们研究了三角形的中位线的性质，回顾研究的过程，请回答以下问题：(1)三角形中位线定理是：；(2)梯形是有一组对边平行，另一组对边不平行的四边形，连接梯形两腰的中点，得到的线段叫做梯形的中位线．如图①，就是梯形的中位线，梯形的中位线具有什么性质呢？小明思考之后给出了如下的证明思路：如图②，连接并延长，交的延长线于点G．先证和全等，再说明是△ABG的中位线．经过你的分析，请写出梯形的中位线和两底、之间的关系：、；

(3)已知梯形的中位线长为，高为，则梯形面积是；(4)如图③，直线l为外的任意一条直线，过A、B、C、D分别作直线l的垂线段、、、，请探索线段、、、之间的数量关系，并证明．

【经典例题六黄金分割】1．（2023秋·浙江·九年级专题练习）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．如图（1），点把线段分成两部分，如果，那么称点是线段的黄金分割点．如图（2），点分别是线段的黄金分割点，（），若，则的长是（）A． B． C． D．2．（2023秋·全国·九年级专题练习）五角星是我们生活中常见的一种图形，在如图所示的正五角星中，点C，D为线段的黄金分割点，且，则图中五边形的周长为（

）A． B． C． D．3．（2023春·山东威海·八年级校联考期末）在学习画线段的黄金分割点时，小明过点作的垂线，取的中点，以点为圆心，为半径画弧交射线于点，连接，再以点为圆心，为半径画弧，前后所画的两弧分别与交于，两点，最后，以为圆心，“■■”的长度为半径画弧交于点，点即为的其中一个黄金分割点，这里的“■■”指的是线段．

4．（2023秋·九年级课时练习）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见；例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长米，主持人从舞台一侧B进入，她至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上．（结果保留根号）

5．（2023秋·全国·九年级专题练习）综合与实践综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．(1)【操作判断】操作一：如图1，将矩形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在上的点E处，折痕为，把纸片展平，连接；操作二：如图2，将矩形纸片再次折叠，使点A与点E重合，得到折痕为，把纸片展平；操作三：如图3，连接，并把折到上的处，得到折痕，把纸片展平，连接．

根据以上操作，直接写出图3中的值：______；(2)【问题解决】请判断图3中四边形的形状，并说明理由．(3)【拓展应用】我们知道：将一条线段分割成长、短两条线段，，若，则点P叫做线段的黄金分割点．在以上探究过程中，已知矩形纸片的宽为，当点M是线段的黄金分割点时，直接写出的长．【重难点训练】1．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，若直线，且，，则（

）

A．5 B．6C．9 D．102．（2023秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，若，则长为（

）

A．1.8 B．2.7 C．3.6 D．4.53．（2023秋·福建莆田·九年级福建省莆田市中山中学校考开学考试）下列四条线段中，不能成比例的是（

）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，4．（2023春·安徽合肥·八年级统考期末）如图，在中，D是边上的中点，E在上，且，则（）A．2 B．3 C．4 D．55．（2023春·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在中，，正方形顶点E、F在边上，点M在边上，点N在内部，连接并延长交于点D，若，，则长为（

）

A．1.8 B．2 C．2.4 D．2.56．（2023·福建泉州·校联考模拟预测）已知，则．7．（2023秋·安徽芜湖·九年级校考开学考试）如图，在正方形中，，是的中点，点在边上，且，为对角线上一点，则的最大值为．8．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在中，平分，过点作交于点，且是的中点．若，，则的长为．

9．（2023·四川成都·校考三模）已知点为线段的黄金分割点，．若，则的长为．10．（2023秋·河南周口·九年级统考期末）如图，点分别在的边上，且，过点作，分别交、的平分线于点．若，平分线段，则．

11．（2023秋·八年级课时练习）已知，求的值．12．（2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试）如图，已知，；，，．求的长．

13．（2023春·吉林长春·八年级校考期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹.

(1)在图①中画线段，点E在边上、点F在边上，且；(2)在图②中的线段上找一点O，使；(3)在图③中画一条线段、将线段分为两部分.（要求：点M、N均在格点上）14．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，正方形的对角线交于点O，点E、F分别在、上，且，、的延长线交于点M，、的延长线交于点N，连