专项44定角定高

专项44定角定高1.定角定高模型呈现：有一类问题满足这样的条件特征：如下图，直线BC外一点A，A到直线BC距离为定值（定高），∠BAC为定角。则AD有最小值。又因为，像探照灯一样所以也叫探照灯模型。【典例1】辅助圆之定角定高求解探究（1）如图①，已知线段AB，以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形；（2）如图②，在△ABC中，∠ACB＝60°，CD为AB边上的高，若CD＝4，试判断AB是否存在最小值，若存在，请求出AB最小值；若不存在，请说明理由；（3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝6，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图①中，△ABC即为所求．（2）如图②中，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，作OE⊥AB于E．设OA＝OC＝2x．∵∠AOB＝2∠ACB＝120°，OA＝OB，OE⊥AB，∴AE＝EB，∠AOE＝∠BOE＝60°，∴OE＝OA＝x，AE＝x，∵OC+OE≥CD，∴3x≥4，∴x≥，∴x的最小值为，∵AB＝2x，∴AB的最小值为．（3）如图③中，连接AC，延长BC交AD的延长线于G，将△CDF顺时针旋转得到△CBH，作△CEH的外接圆⊙O．∵∠ADC＝∠ABC＝90°，AC＝AC，CD＝CB，∴Rt△ACD≌Rt△ACB（HL），∴S△ACD＝S△ACB，∵∠DAB＝45°，∴∠DCB＝135°，∴∠DCG＝45°，∵∠CDG＝90°，∴CD＝DG＝6，∴CG＝CD＝12，∴AB＝GB＝12+6，由（2）可知，当△CEH的外接圆的圆心O在线段BC上时，△ECH的面积最小，此时四边形AFCE的面积最大，设OC＝OE＝r，易知OB＝EB＝r，∴r+r＝6，∴r＝6（2﹣），∴EH＝r＝12（2﹣），∴四边形AFCE的面积的最大值＝2××（12+6）×6﹣×12（2﹣）×6＝144．【变式11】如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，且AD＝4，则△ABC面积的最小值为．【答案】【解答】解：作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，设⊙O的半径为r，则OE＝OB＝r，BE＝OB＝r，∴BC＝r，∵OA+OE≥AD，∴r+r≥4，解得：r≥，∴BC≥，∴，∴△ABC的面积的最小值为，故答案为：．【变式12】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BC边上的高AD＝6，则△ABC周长的最小值为．【答案】12+12【解答】解：如图，延长CB到E，使得BE＝BA，延长BC到F，使得CD＝CA，连接AE，AF，作△AEF的外接圆⊙O，连接OE，OF，过点O作OJ⊥EF于点J，交⊙O于点T．∵BA＝BE，CA＝CF，∴∠BAE＝∠BEA，∠CAF＝∠CAF，∵∠ABC＝∠BAE+∠BEA，∠ACB＝∠CAF+∠CFA，∴∠AEF+∠AFE＝（∠ABC+∠ACB）＝45°，∴∠EAF＝135°，∴∠EOF＝90°，∵OJ⊥EF，∴EJ＝JF，∴OJ＝EF，设OE＝OF＝r，则EF＝r，OJ＝r，∵AB+BC+AC＝EB+BC+CF＝EF，∴EF最小时，△ABC的周长最小，∵AD⊥BC，∴AD+OJ≤OT，∴6+r≤r，∴r≥12+6，∴EF≥12+12，∴AB+BC+AC≥12+12，∴△ABC的周长的最小值为12+12，故答案为：12+12．【变式13】如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别是CD，BC边上的点，且∠EAF＝45°，则△AEF面积的最小值为．【答案】36﹣36【解答】解：如图，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，由旋转的性质得，AH＝AE，∠BAH＝∠DAE，∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAF+∠DAE＝∠BAH+∠BAF＝45°，∴∠FAH＝∠EAF＝45°，在△AEF和△AHF中，，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴FH＝EF，∴S△AEF＝S△AFH，设DE＝x，BF＝y，则BH＝DE＝x，EF＝BF+BH＝x+y，CE＝6﹣x，CF＝6﹣y，在Rt△EFC中，EC2+CF2＝EF2，∴（6﹣x）2+（6﹣y）2＝（x+y）2，化简得：y＝＝﹣6+，∴S△AEF＝S△AFH＝FH•AB＝×6（x+y）＝3[x+（﹣6+）]＝3[（x+6）+﹣12]＝3[（﹣）2+12﹣12]，∴当＝时，x＝6﹣6，S△AEF的最小值为36﹣36．故答案为：36﹣36．【变式14】（2019•新城区校级一模）问题提出：如图1：在△ABC中，BC＝10且∠BAC＝45°，点O为△ABC的外心，则△ABC的外接圆半径是．问题探究：如图2，正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD两边上点且∠EAF＝45°，请问线段BE、DF、EF有怎样的数量关系？并说明理由．问题解决：如图3，四边形ABCD中，AB＝AD＝4，∠B＝45°，∠D＝135°，点E、F分别是射线CB、CD上的动点，并且∠EAF＝∠C＝60°，试问△AEF的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值．若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）如图1，作出△ABC的外接圆⊙O，∵∠A＝45°，∴∠BOC＝90°，∵BC＝10，∴OB＝sin45°×BC＝，故答案为：5．（2）EF＝BE+DF，理由如下：如图2，延长EB，使BG＝DF，连接AG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABG＝∠D＝90°，在△ABG和△ADF中，，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴AG＝AF，∠GAB＝∠DAF，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°，∴∠GAE＝45°，在△GAE和△FAE中，，∴△GAE≌△FAE（SAS），∴EF＝GE＝DF+BE，（3）存在最小值，如图3，延长CB，使BG＝DF，∵∠ABC＝45°，∴∠ABG＝135°，∴∠ABG＝∠ADF，又∵AB＝AD，∴△ABG≌△ADF（SAS），∴∠GAB＝∠FAD，AG＝AF，∵∠ABC＝45°，∠D＝135°，∠C＝60°，∴∠BAD＝120°，∵∠EAF＝60°，∴∠BAE+∠DAF＝60°，∴∠GAE＝60°，∴△GAE≌△FAE（SAS），在△AEF中，∵∠EAF＝60°，AH＝4，∴EF边上的高AK＝4，画△AEF的外接圆⊙O，作OM⊥EF于M，∵∠EAF＝60°，∴∠EOM＝60°，设OM＝x，EM＝，OE＝2x，EF＝2，∵OM+OA≥AK，∴x+2x≥4，∴x≥，∴EF的最小值为2×，∴S△AEF的最小值为．1．（2020•雁塔区校级二模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且∠EAF＝60°，则△AEF的面积的最小值是．【答案】4【解答】解：将△ADF绕点A顺时针旋转120°到△ABM，由旋转得：BM＝DF，AM＝AF，∠ABM＝∠D＝120°，∠MAB＝∠FAD，∵∠ABC＝60°，∴∠ABM+∠ABC＝180°，∴M、B、E共线，∵∠MAE＝∠MAB+∠BAE＝∠FAD+∠BAE＝60°，∠EAF＝60°，AE＝AE，∴△FAE≌△MAE（SAS），∴∠MEA＝∠FEA，过A作AH⊥BC于H，作AK⊥EF于K，∴AH＝AK＝AB•sin60°＝2，作△AEF的外接圆⊙O，连接OA、OE、OF，过O作ON⊥EF于N，∵∠EAF＝60°，∴∠EOF＝120°，∴∠NOF＝60°，设EF＝2x，则NF＝x，Rt△ONF中，ON＝x，OF＝x，∴ON+OA＝OF+ON＝x，∵OA+ON≥AK，∴x≥2，∴x≥2，∴S△AEF＝EF•AK＝＝2x≥4，∴△AEF面积的最小值是4．2．（2020春•和平区期中）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝135°，∠B＝60°，∠D＝120°，AD＝5，AB＝6，E、F分别为边BC及射线CD上的动点，∠EAF＝45°，△AEF面积的最小值．【答案】【解答】解：如图，过点A作AM⊥BC于M，过点E作EH⊥AF于H，AN⊥CD，交CD的延长线于N，∵∠B＝60°，AM⊥BC，∴∠BAM＝30°，∴BM＝3，AM＝3，∵∠ADC＝120°，∴∠ADN＝60°，∴∠NAD＝30°，∴DN＝AD＝，AN＝，∵∠BAD＝135°，∠EAF＝45°，∠BAM＝30°，∴∠MAE+∠DAF＝60°，又∵∠ADN＝∠DAF+∠DFA＝60°，∴∠MAE＝∠AFD，又∵∠AME＝∠N＝90°，∴△AFN∽△EAM，∴，设ME＝x，则AE＝＝，∴AF＝＝，∵∠EAF＝45°，HE⊥AF，∴HE＝AE＝×，∴△AEF面积＝×AF×HE＝×（）＝×（），∵当a，b为正数时，（a﹣b）2≥0，∴a2+b2≥2ab，∴△AEF面积＝×（）≥×2×，∴△AEF面积的最小值为，故答案为．3．【问题提出】（1）如图①，已知点A是直线l外一点，点B，C均在直线l上，AD⊥l于点D且AD＝4，∠BAC＝45°．求BC的最小值；【问题探究】（2）如图②，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝2，点E，F分别为AB，AD上的点，且CE⊥CF，求四边形AECF面积的最大值；【问题解决】（3）如图③，某园林对一块矩形花圃ABCD进行区域划分，点K为BC的中点，点M，N分别为AB，DC上的点，且∠MKN＝120°，MK，KN将花圃分为三个区域．已知AB＝7m，BC＝12m，现计划在△BMK和△CNK中种植甲花，在其余区域种植乙花，试求种植乙花面积的最大值．【解答】解：（1）如图①中，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA、OB、OC，过点O作OE⊥BC于点E，则∠BOC＝2∠BAC，OA＝OB＝OC，BE＝CE＝BC，∵∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°，∠OBC＝∠OCB＝45°设OA＝OB＝OC＝r，则OE＝r，BC＝2BE＝r，∵AO+OE≥AD，AD＝4，∴r+r≥4，解得：r≥8+4，∴BC＝r≥8+8，∴BC最小值为8+8∵S△ABC＝BC•AD，∴△ABC面积的最小值为：×（8+8）×4＝16+16；（3）分别延长AB、DC交于点M，如图②所示：则△ADM、△CBM均为等腰直角三角形，∵CB＝CD＝2，∴BM＝2，CM＝2，AD＝DM＝2+2，∴S四边形ABCD＝S△ADM﹣S△CBM＝DM2﹣BC2＝×（2+2）2﹣×22＝4+4，∵∠BCD＝360°﹣∠A﹣∠CDA﹣∠CBA＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，∴将△CBE绕点C顺时针旋转135°得到△CDE′，则A、D、E′三点共线，∴S四边形AECF＝S四边形ABCD﹣（S△CBE+S△CDF）＝S四边形ABCD﹣S△CE′F，∵S四边形ABCD为定值，∴当S△CE′F取得最小值时，S四边形AECF取得最大值，∵∠E′CF＝135°﹣90°＝45°，∴以E′F为斜边作等腰Rt△OE′F，则△CE′F的外接圆是以点O为圆心，OF长为半径的圆，过点O作OJ⊥DF于点J．设△CE′F的外接圆半径为rm，则E′F＝r，又∵OJ+OC≥CD，∴r+r≥2，∴r≥4﹣2，当点O在CD上时，E′F最短，此时E′F＝r＝4﹣4，∴S△CE′F最小＝×（4﹣4）×2＝4﹣4，∴S四边形AECF最大＝S四边形ABCD﹣S△CE′F最小＝4+4﹣（4﹣4）＝8．（3）如图③中，将△BKM绕点K顺时针旋转得到△KCM′，此时N，C，M′共线，作△KNM′的外接圆⊙O，连接OK，ON，OM′，过点O作OH⊥NM′于点H．设OK＝ON＝OM′＝r，则NM′＝r，OH＝r，∵OK+OH≥KC，∴r+r≥6，∴r≥4，∴NM′≥r＝4，∴△KNM′的面积的最小值为×4×6＝12（m2），∴△BMK的面积+△KCN的面积的最小值为12，∴五边形AMKND的面积的最大值＝7×12﹣12＝（84﹣12）（m2），∴种植乙花面积的最大值为（84﹣12）（m2）．4．（2020•渭滨区二模）问题提出（1）如图①，已知线段AB，请以AB为斜边，在图中画出一个直角三角形；（2）如图②，已知点A是直线l外一点，点B、C均在直线l上，AD⊥l且AD＝3，∠BAC＝60°，求△ABC面积的最小值；问题解决（3）如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形ABCD中，∠A＝45°，∠B＝∠D＝90°，CB＝CD＝6m，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）以AB为直径作圆，在圆上任取一点（不与点A、B重合）C，连接AC、BC，如图①所示：则∠ACB＝90°，∴Rt△ACB即为所求；（2）作△ABC的外接圆⊙O，连接OA、OB、OC，过点O作OE⊥BC于点E，如图②所示：则∠BOC＝2∠BAC，OA＝OB＝OC，BE＝CE＝BC，∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∠OBC＝∠OCB＝30°，设OA＝OB＝OC＝r，则OE＝r，BC＝2BE＝r，∵AO+OE≥AD，AD＝3，∴r+r