第15讲勾股定理的实际应用

第15讲勾股定理的实际应用1．掌握勾股定理在实际生活的应用；2．掌握勾股定理在求最短路径问题中的应用；知识点：勾股定理的应用勾股定理的作用已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；用于解决带有平方关系的证明问题；3．与勾股定理有关的面积计算；4．勾股定理在实际生活中的应用．考点一：求梯子滑落高度问题例1．（2023春·河北沧州·八年级校考期中）如图，已知一架梯子（）斜靠在墙OM（）上，米，米．现将梯子的底端B沿水平地面向左滑动到D，梯子的顶端从A滑到C．若米，则的长为（

）

A．米 B．1米 C．米 D．米【答案】C【分析】利用勾股定理先求解，再求解，再利用勾股定理可得答案．【详解】解：∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故选C【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟记勾股定理的含义是解本题的关键．【变式训练】1．（2023·广西南宁·统考二模）如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端（点A）距墙角（点C）为．若梯子的底端水平向外滑动，梯子的顶端（点B）向下滑动多少米？若设梯子的顶端向下滑动x米，则根据题意可列方程为（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】利用勾股定理可以得出梯子的初始高度，梯子的底端水平向外滑动后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理即可得出答案．【详解】解：则题意得，，∴，梯子的底端水平向外滑动，梯子的顶端向下滑动x米，则，，由勾股定理得，

故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知勾股定理是解答此题的关键．2．（2023春·江西萍乡·八年级统考期中）如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知，点D到地面的垂直距离．则点B到地面的垂直距离是_____________．

【答案】【分析】在中，运用勾股定理可求出梯子的总长度，在中，根据已知条件再次运用勾股定理可求出的长．【详解】解：在中，，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等等，正确求出梯子的长度是解题的关键．3．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，，这时，梯子的底端到墙底的距离为．

(1)求此时梯子的顶端距地面的高度．(2)如果梯子的顶端沿墙下滑，那么梯子底端外移吗？通过计算说明你的结论．【答案】(1)(2)梯子底端外移不是，理由见解析【分析】（1）直接利用勾股定理求出的长，进而得出答案；（2）直接利用勾股定理得出，进而得出答案．【详解】（1）解：，，，，此时梯子的顶端距地面的高度为；（2）由图可知梯子的顶端沿墙下滑后，，，，，梯子底端外移不是．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题关键．考点二：求旗杆高度问题例2．（2023·贵州贵阳·统考二模）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题的最重要工具，也是数形结合的纽带之一．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE=1m，将它往前推6m至C处时（即水平距离CD=6m），踏板离地的垂直高度CF=4m，它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（

）

A．m B．m C．6m D．m【答案】A【分析】设绳索的长是m，则m，得到（m），由勾股定理得，求出的值，即可得到的长．【详解】设绳索的长是m，则m∵m，m,∴（m）∵∴∴∴m故选：A．【点睛】本题考查勾股定理的应用，关键是由勾股定理列出关于的方程．【变式训练】1．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）八（3）班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了计算如图所示的风筝高度，测得如下数据：①测得的长度为；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为；③松松身高为．若松松同学想使风筝沿方向下降，则他应该往回收线（

）米．A．7 B．8 C． D．【答案】A【分析】设风筝下降到点M处，连接，利用勾股定理分别求得、，即可求解．【详解】解：如图，设风筝下降到点M处，连接，则，∵，∴，在中，，，∴，∴，∴在中，，∴，故选：A．【点睛】本题考查勾股定理的应用，理解题意，利用勾股定理求得、是解答的关键．2．（2023·陕西西安·校考二模）我同古代有这样一道数学问题：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长尺），牵着绳索退行，在距木柱底部尺处时绳索用尽，则木柱长为__________尺．【答案】【分析】设木柱长为尺，根据勾股定理列出方程解答即可．【详解】解：如图所示，设木柱长为尺，根据题意得：

∵则解得故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．3．（2023春·安徽合肥·八年级合肥38中校考期中）如图，《九章算术》中记载：今有立木，系索其末，委地三尺，引素却行，去本八尺而索尽，问素长几何?译文：今有一整直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳子比木柱长3尺），牵着绳索退行，在距木柱底部8尺处时而绳索用尽，求木柱的长．【答案】木柱的长为尺．【分析】根据题意得，绳索，木桩形成直角三角形，根据勾股定理，即可求出绳索长．【详解】解：设木柱的长为x尺，则绳索长为尺，∴根据题意得：，解得．∴木柱的长为尺．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，运用勾股定理解决实际问题．考点三：求小鸟飞行距离问题例3．（2023春·八年级课时练习）如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（

）A．8米 B．9米 C．10米 D．12米【答案】C【分析】根据勾股定理解答即可．【详解】如图：由题意可得AB=104=6米，BC=6米，AC==10米．故选：C．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．【变式训练】1．（2023春·福建·八年级期中）如图，两树高分别为10米和4米，相距8米，一只鸟从一树的树梢飞到另一树的树梢，则小鸟至少要飞（

）A．8米 B．9米 C．10米 D．11米【答案】C【分析】根据图像构造直角三角形，利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图所示：米，米，，小鸟至少要飞米，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理合理构造直角三角形是解本题的关键．2．（2023春·全国·八年级专题练习）在一棵树的5米高B处有两个猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到A处（离树10米）的池塘边．另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高_____米.【答案】【分析】由题意知AD＋DB＝BC＋CA，设BD＝x，则AD＝15－x，且在直角△ACD中，代入勾股定理公式中即可求x的值，树高CD＝(5＋x)米即可．【详解】解：由题意知AD＋DB＝BC＋CA，且CA＝10米，BC＝5米，设BD＝x，则AD＝15－x，∵在Rt△ACD中，由勾股定理可得：CD2＋CA2＝AD2，即，解得x＝2.5米，故树高为CD＝5＋x＝7.5（米），答：树高为7.5米．故答案为：7.5．【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到AD＋DB＝BC＋CA的等量关系，并根据勾股定理列方程求解是解题的关键．3．（2023春·湖南张家界·八年级统考期中）如图，有两只猴子在一棵树CD高6m的点B处，他们都要到A处的池塘去喝水，其中一只猴子沿树爬下去到离树12m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直线越向池塘的A处，如果两只猴子所经过的路程相等，这棵树高有多少米？【答案】树高为9米．【分析】由题意知，设米，则米，且在中，代入数据可求x的值，进一步计算即可求解．【详解】解：由题意知，且米，米，设米，则米，在中：，即，解得，故树高为米．答：树高为9米．【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中找到的等量关系，并根据勾股定理求解是解题的关键．考点四：求大树折断前的高度例4．（2023春·广东云浮·八年级统考期中）海洋热浪对全球生态带来了严重影响，全球变暖导致华南地区汛期更长、降水强度更大，使得登录广东的台风减少，但是北上的台风增多．如图，一棵大树在一次强台风中距地面处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为，这棵大树在折断前的高度为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】如图，勾股定理求出的长，利用求解即可．【详解】解：如图，由题意，得：，，

∴，∴这棵大树在折断前的高度为；故选C．【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．【变式训练】1．（2023秋·七年级单元测试）《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：今有竹高一丈，末折抵地，去根五尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈尺）一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部5尺远，则折断处离地面的高度是（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【答案】D【分析】根据题意可设折断处离地面的高度是x尺，折断处离竹梢是尺，结合勾股定理即可得出折断处离地面的高度．【详解】解：设折断处离地面的高度是x尺，折断处离竹梢是尺，由勾股定理可得：即：，解得：，故选：D．【点睛】本题主要考查直角三角形勾股定理的应用，解题的关键是熟练运用勾股定理．2．（2023春·广东东莞·八年级虎门五中校考期中）如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面3米C处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量米，则树原高为_____米．【答案】8【分析】树高等于，在直角中，用勾股定理求出即可．【详解】解：根据题意得：米，米，，由勾股定理得，米，所以米．故答案为8．【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是在实际问题的图形中得到直角三角形．3．（2023春·八年级单元测试）我国古代数学著作《九章算术》中有“折竹抵地”问题：今有竹高尺，末折抵地，去根三尺．问折者高几何？意思是：如图，有一根竹子，原高尺，一阵风将竹子折断，折断后竹子顶端落在离竹子底部尺远的位置，求折断处离地面的高度．

【答案】4尺【分析】设折断处离地面的高度为尺，再利用勾股定理列出方程即可．【详解】解：设折断处离地面的高度为尺，则尺，尺．在中，，即，解得：，即折断处离地面的高度为4尺．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图，领会数形结合的思想的应用．考点五：解决航海问题例5．（2023·河北衡水·校联考二模）如图，点P为观测站，一艘巡航船位于观测站P的南偏西方向的点A处，一艘渔船在观测站P的南偏东方向的点B处，巡航船和渔船与观测站P的距离分别为45海里、60海里．现渔船发生紧急情况无法移动，巡航船以30海里/小时的速度前去救助，至少需要的时间是（

）

A．小时 B．2小时 C．小时 D．4小时【答案】C【分析】利用角度关系得到直角，再利用勾股定理求出，再使用路程公式求出时间即可．【详解】，连接，

中，巡航船前去救助，沿直线方向用时最少，故选C．【点睛】本题考查解直角三角形，利用题中的数据找到直角三角形，并采用勾股定理求出路程是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，某天下午2时，两艘船只分别从港口O点处出发，其中快船沿北偏东方向以2海里/时的速度行驶，慢船沿北偏西方向以1海里/时的速度行驶，当天下午4时，两艘船只分别到达A，B两点，则此时两船之间的距离等于（

）A．海里 B．海里 C．2海里 D．2海里【答案】D【分析】根据方位图和勾股定理解题即可．【详解】由题可知：，∴海里，故选D．【点睛】本题考查方位角和勾股定理，正确识别方位角是解题的关键．2．（2023春·天津河东·八年级校联考期中）如图，水塔的东北方向处有一抽水站，在水塔的东南方向处有一建筑物工地，在间建一条直水管，则水管的长为________．【答案】【分析】由方位角的含义可得，再利用勾股定理计算即可．【详解】解：∵水塔的东北方向处有一抽水站，在水塔的东南方向处有一建筑物工地，∴，，，∴，故答案为：．【点睛】本题考查的是方位角的含义，勾股定理的应用，确定是解本题的关键．3．（2023春·山东德州·八年级校考期中）某天，暴雨突然来袭，两艘搜救艇接到消息，在海面上有遇险船只从A、B两地发出求救信号．于是，第一艘搜救艇以20海里/时的速度离开港口O沿北偏东40°的方向向A地出发，同时，第二艘搜救艇也从港口O出发，以15海里/时的速度向B地出发，2小时后，他们同时到达各自的目标位置．此时，他们相距50海里．求第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？【答案】航行方向是北偏西50度【分析】根据题意求出，根据勾股定理的逆定理推证出即得．【详解】由题得：海里；海里，∵，∴，∴为直角三角形，∴，∵由题知，∴，即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度．【点睛】本题考查了勾股定理和其逆定理的应用，能熟练运用勾股定理及和其逆定理是解决本题的关键．考点六：求台阶上地毯长度问题例6．（2023春·湖南张家界·八年级统考期中）如图所示的一段楼梯，高BC是3米，斜边AB长是5米，现打算在楼梯上铺地毯，至少需要地毯的长度为（

）A．5米 B．6米 C．7米 D．8米【答案】C【分析】先根据直角三角形的性质求出的长，再根据楼梯高为，楼梯的宽的和为，再把的长相加即可得到答案．【详解】解：根据题意可得：，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为：米，故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理，解答此题的关键是找出楼梯的高和宽与直角三角形两直角边的等量关系．【变式训练】1．（2022秋·八年级课时练习）如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（

）A．6 B．8 C．9 D．15【答案】D【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到A点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案．【详解】解：如图，将台阶展开，因为AC＝3×3＋1×3＝12，BC＝9，所以AB2＝AC2＋BC2＝225，所以AB＝15，所以蚂蚁爬行的最短线路为15．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用并能得出平面展开图是解题的关键．2．（2023春·重庆九龙坡·八年级重庆实验外国语学校校考期中）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道需要_______________元．【答案】1020【分析】根据题意，地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即与的和，在中，根据勾股定理即可求得的长，地毯的长与宽的积就是面积，继而求解即可．【详解】在中，由勾股定理得，由题意得，地毯的总长度为，∴地毯的面积为，∴地毯的总价为元，故答案为：1020．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键．3．（2023春·八年级课时练习）如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米．(1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？(2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？【答案】(1)每一级台阶的高为2分米．(2)蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米．【分析】（1）设每一级台阶的高为x分米，根据题意列方程即可得到结论；（2）先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【详解】（1）解：设每一级台阶的高为x分米，根据题意得，18×（4＋x）×4＝432，解得x＝2，答：每一级台阶的高为2分米；（2）四级台阶平面展开图为长方形，长为18分米，宽为（2＋4）×4＝24分米，则蚂蚁沿台阶面从点A爬行到C点最短路程是此长方形的对角线长．由勾股定理得：AC＝（分米），答：蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为30分米．【点睛】本题考查了平面展开−最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．考点七：判断是否受台风影响问题例7．（2022秋·江西九江·八年级统考期中）如图，铁路和公路在点处交会，公路上点距离点是，与这条铁路的距离是．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间是（

）A．15秒 B．13.5秒 C．12.5秒 D．10秒【答案】A【分析】过点A作，设在点B处开始受噪音影响，在点D处开始不受噪音影响，则，，根据勾股定理求出求出的长，进而得到的长，即可得出居民楼受噪音影响的时间．【详解】解：如图：过点A作，设在点B处开始受噪音影响，在点D处开始不受噪音影响，则，，∵公路上点距离点是，与这条铁路的距离是，∴，∵，∴由勾股定理得：，，∴，∵，∴A处受噪音影响的时间为：．故选：A【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意构建直角三角形是解题的关键．【变式训练】1．（2023春·八年级课时练习）M城气象中心测得台风中心在M城正北方向240km的P处，以每小时45km的速度向南偏东30°的PB方向移动，距台风中心150km的范围内是受台风影响的区域，则M城受台风影响的时间为（

）小时．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km，求出FH，然后利用时间=路程÷速度，计算即可解决问题．【详解】解：如图，过点M作ME⊥PB，在BP上取点F，H，设MF=MH=150km在Rt△PME中，∵∠MEP=90°，PM=240km，∠MPB=30°，∴ME=PM=120km，∴EF=EH==90（km），∴FH=180km，∴受台风影响的时间有180÷45=4（小时）．故选：A【点睛】本题考查解直角三角形的应用方向角问题，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线根据直角三角形解决问题，属于中考常考题型．2．（2023春·湖北武汉·八年级统考期中）如图，铁路和公路在点处交汇，，公路上处距离点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以72千米/小时的速度行驶时，处受到噪音影响的时间为________秒．【答案】9【分析】过点作，求出最短距离的长度，然后在上取点，，使得米，根据勾股定理得出，的长度，即可求出的长度，然后计算出时间即可．【详解】解：过点作，，米，米，在上取点，，使得米，当火车到点时对处产生噪音影响，米，米，由勾股定理得：米，米，即米，千米/小时米/秒，影响时间应是：秒．故答案为：9．【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键在于准确找出受影响的路段，从而利用勾股定理求出其长度．3．（2022秋·七年级单元测试）为了积极响应国家新农村建设的号召，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行广播宣传．如图，笔直的公路的一侧点处有一村庄，村庄到公路的距离为，假使宣讲车周围以内能听到广播宣传，宣讲车在公路上沿方向行驶．(1)村庄能否听到广播宣传请说明理由．(2)已知宣讲车的速度是，如果村庄能听到广播宣传，那么总共能听多长时间【答案】(1)村庄能听到广播宣传，理由见解析(2)【分析】（1）根据村庄到公路的距离为米米，即可得出村庄能听到广播宣传．（2）根据勾股定理得到米，求得米，即可得出结果．【详解】（1）解：村庄能听到广播宣传，理由如下：村庄到公路的距离为米米，村庄能听到广播宣传．（2）如图：假设当宣传车行驶到点开始能听到广播，行驶到点刚好不能听到广播，则米，米，由勾股定理得：米，米，能听到广播的时间为：分钟，村庄总共能听到的宣传．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，结合生活实际，便于更好地理解题意是解题的关键．考点八：求最短路径问题例8．（2023春·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（

）．（杯壁厚度不计）A．20 B．25 C．30 D．40【答案】B【分析】化曲为直，利用勾股定理解决．【详解】解：把玻璃杯的侧面展开，如图，把点A向上平移6cm到点C，连接，过点B作于D，由已知得：，，，在中，由勾股定理得：，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为．故选：B【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据题意把圆柱展开，化曲为直是解决问题的关键．【变式训练】1．（2023·全国·八年级假期作业）如图，正方体的棱长为，已知点B与点C之间的距离为，一只蚂蚁沿着正方体的表面从点A爬到点C，需要爬行的最短距离为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】要求正方体中两点之间的最短距离，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答即可．【详解】解：按照正面和右面展开，如下：∴，，∴；按照正面和下面展开，如下：∴，，∴，按照上面和右面展开，如下：∴，，∴，∵，∴需要爬行的最短距离为．故选：B．【点睛】本题考查平面展开—最短路线问题，涉及到勾股定理，将正方体侧面展开，利用两点之间线段最短是解题的关键．1．（2023春·四川成都·九年级成都嘉祥外国语学校校考阶段练习）如图所示，是长方形地面，长，宽．中间竖有一堵砖墙高．一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，则它要走的路程s取值范围是________．【答案】【分析】连接，利用勾股定理求出的长，再把中间的墙平面展开，使原来的长方形长度增加而宽度不变，求出新长方形的对角线长即可得到范围．【详解】解：如图所示，将图展开，图形长度增加，原图长度增加，则，连接，四边形是长方形，，宽，，蚂蚱从点爬到点，它要走的路程．故答案为：．【点睛】本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键．3．（2022秋·广东深圳·八年级统考期末）如图，一个无盖长方体的小杯子放置在桌面上，，；(1)一只蚂蚁从点出发，沿小杯子外表面爬到点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？(2)为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷子的最大长度是多少？【答案】(1)如方法一的路线最短，最短路线为(2)筷子的最大长度是【分析】（1）分别讨论将面和面展开，将面和上底面展开两种情况，再利用勾股定理计算，进而比较即可求解；（2）当筷子沿倾斜放的时候，能够放的最长，利用勾股定理计算即可．【详解】（1）方法一：将面和面展开，如图，∵，，∴，由勾股定理得；方法二：将面和上底面展开，如图，∵，，∴，由勾股定理得；所以，如方法一的路线最短，最短路线为；（2）如图，当筷子沿倾斜放的时候，能够放的最长，∵，，∴由勾股定理得，∴，所以，筷子的最大长度是．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，准确理解题意，熟练掌握勾股定理是解题的关键．1．（2020·辽宁盘锦·中考真题）我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（

）A．（x﹣1）2+52＝x2 B．x2+102＝（x+1）2C．（x﹣1）2+102＝x2 D．x2+52＝（x+1）2【答案】A【分析】首先设芦苇长为x尺，则水深（x1）尺，根据勾股定理可得方程．【详解】解：设芦苇长为x尺，则水深（x1）尺，由题意得：（x1）2+52=x2，故选：A．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．2．（2020·四川巴中·统考中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（）A．4尺 B．4.55尺 C．5尺 D．5.55尺【答案】B【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10x）尺．利用勾股定理解题即可．【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，根据勾股定理得：，解得：．所以，原处还有4.55尺高的竹子．故选：B．【点睛】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．3．（2023·湖北十堰·统考二模）如图，地面上有一个长方体盒子，一只蚂蚁在这个长方体盒子的顶点A处，盒子的顶点处有一小块糖粒，蚂蚁要沿着这个盒子的表面A处爬到处吃这块糖粒，已知盒子的长和宽为均为，高为，则蚂蚁爬行的最短距离为（

）．

A．10 B．50 C．10 D．70【答案】B【分析】根据图形可知长方体的四个侧面都相等，所以分两种情况进行解答即可．【详解】解：分两种情况：（其它情况与之重复）①当蚂蚁从前面和右面爬过去时，如图1，连接，

在中，，，根据勾股定理得：；②当蚂蚁从前面和上面爬过去时，如图2，连接，

在中，，，根据勾股定理得：；蚂蚁爬行的最短距离为50．故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用－求最短距离，读懂题意，熟悉立体图形的侧面展开图是解本题的关键．4．（2023·湖北十堰·统考一模）如图，这是一个供滑板爱好者使用的形池，该形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为的半圆，其边缘（边缘的宽度忽略不计），点在上，一滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】滑行的距离最短，即是沿着的线段滑行，我们可将半圆展开为矩形来研究，展开后，、、三点构成直角三角形，为斜边，和为直角边，写出和的长，根据题意，由勾股定理即可得出的距离．【详解】解：将半圆面展开可得：

米，米，在中，（米）．即滑行的最短距离为米．故选：C．【点睛】本题考查了平面展开最短路径问题，型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽是半圆的弧长，矩形的长等于本题就是把型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．5．（2023·江苏南通·统考二模）《九章算术》是我国古代数学名著，记载着“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何?”意思是：一根笔直生长的竹子，高一丈（一丈=10尺），因虫害有病，一阵风吹来将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度是多少尺?设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】竹子折断后刚好构成一个直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可；【详解】设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，根据勾股定理得到：；故选A．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而应用勾股定理解题．6．（2023·湖北十堰·统考一模）无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知可得，该圆柱形杯子沿底面圆直径截得纵截面是一个长为，宽为的长方形，图见详解．由勾股定理可得，该长方形中的最长线段为，所以当把细木筷斜放进该杯内时，最多可放进，即露在杯子外面的部分至少是．【详解】解：如下图所示：

该圆柱形杯子沿底面圆直径截得纵截面是一个长为，宽为的长方形．连接，长方形，是直角三角形，在中，由勾股定理得：，由题意得，，，，是长方形中最长的线段，当把细木筷斜放进该杯内时，最多可放进，即露在杯子外面的部分至少是．故选：A．【点睛】本题主要考查知识点为勾股定理．在直角三角形中，两条直角边平方的和等于斜边的平方．熟练掌握勾股定理，是解决本题的关键．7．（2023·江苏南京·统考一模）如图，用7个棱长为1的正方体搭成一个几何体，沿着该几何体的表面从点M到点N的所有路径中，最短路径的长是（

）A．5 B． C． D．【答案】A【分析】先画出侧面展开图，根据两点之间践段最短，利用勾股定理求出线段的长即可．【详解】将第一层小正方体的顶面和正面，以及第二层小正方体的顶面和正面展开，如下图，连接，则最短路径，故选A【点睛】本题主要考查了两点之间线段最短，以及勾股定理，正确画出侧面展开图，确定两点之间线段最短是解题的关键．8．（2023·四川广安·统考中考真题）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为___________．（杯壁厚度不计）

【答案】10【分析】如图（见解析），将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．【详解】解：如图，将玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作，交延长线于点，连接，

由题意得：，，∵底面周长为，，，由两点之间线段最短可知，蚂蚁从外壁处到内壁处所走的最短路程为，故答案为：10．【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．9．（2021·江苏宿迁·统考中考真题）《九章算术》中一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的处（如图），水深和芦苇长各多少尺？则该问题的水深是___________尺．【答案】12【分析】我们可将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设芦苇长尺，表示出水深AB，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．【详解】解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则水深尺，∵尺，∴尺，在中，，解得，即芦苇长13尺，水深为12尺，故答案为：12．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，解本题的关键是数形结合．10．（2021·江苏南通·统考中考真题）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为___________海里（结果保留根号）．【答案】．【分析】先作PC⊥AB于点C，然后利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：如图，作PC⊥AB于点C，在Rt△APC中，AP=50海里，∠APC=90°60°=30°，∴海里，海里，在Rt△PCB中，PC=海里，∠BPC=90°45°=45°，∴PC=BC=海里，∴海里，故答案为：．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为用勾股定理解决问题，解决的方法就是作高线．11．（2020·四川·统考中考真题）如图，海中有一小岛A，它周围10.5海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行．在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，那么渔船还需航行_____海里就开始有触礁的危险．【答案】4.5【分析】过A作AC⊥BD于点C，求出∠CAD、∠CAB的度数，求出∠BAD和∠ABD，根据等角对等边得出AD＝BD＝12，根据含30度角的直角三角形性质求出CD，根据勾股定理求出AC即可．【详解】解：如图，过A作AC⊥BD于点C，则AC的长是A到BD的最短距离，∵∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，∴∠BAD＝60°﹣30°＝30°，∠ABD＝90°﹣60°＝30°，∴∠ABD＝∠BAD，∴BD＝AD＝12海里，∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，∴CD＝AD＝6海里，由勾股定理得：AC＝＝6（海里），如图，设渔船还需航行x海里就开始有触礁的危险，即到达点D′时有触礁的危险，在直角△AD′C中，由勾股定理得：（6﹣x）2+（6）2＝10.52．解得x＝4.5．渔船还需航行4.5海里就开始有触礁的危险．故答案是：4.5．【点睛】本题主要考查方位角及勾股定理，关键是根据题意得到角的度数，然后利用特殊角的关系及勾股定理进行求解即可．12．（2021·广西柳州·统考中考真题）在一次海上救援中，两艘专业救助船同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船在的正北方向，事故渔船在救助船的北偏西30°方向上，在救助船的西南方向上，且事故渔船与救助船相距120海里．（1）求收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离；（2）若救助船A，分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达．【答案】（1）收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离为海里；（2）救助船先到达．【分析】(1)如图，作于，在△PAC中先求出PC的长，继而在△PBC中求出BP的长即可；(2)根据“时间=路程÷速度”分别求出救助船A和救助船B所需的时间，进行比较即可.【详解】(1)如图，作于，则，由题意得：海里，，，∴海里，是等腰直角三角形，∴海里，海里，答：收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离为海里；(2)∵海里，海里，救助船分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，∴救助船所用的时间为(小时)，救助船所用的时间为(小时)，∵，∴救助船先到达．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，涉及了含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理的应用等，熟练正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键.1．（2023春·天津北辰·八年级校联考期中）如图，垂直地面的旗杆在离地3m处断裂，旗杆顶部落地点离旗杆底部4m，则旗杆折断前的高度为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方．此题要求斜边和直角边的长度，解直角三角形即可．【详解】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为，旗杆离地面折断，且旗杆与地面是垂直的，所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．根据勾股定理，折断的旗杆为，所以旗杆折断之前高度为．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理在解实际问题中的运用，弄清勾股定理存在的条件是重点，解题的关键是理解文字语言的含义．2．（2023春·湖北荆州·八年级校联考阶段练习）如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到该建筑物的高度是（

）A．5米 B．12米 C．13米 D．18米【答案】B【分析】根据题意画出图形，再利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，∵梯子的底端离建筑物5米，梯子长为13米，∴（米），∴梯子可以到达建筑物的高度为12米．故选B．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．3．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）如图，一棵大树在一次强台风中于离地面处折断倒下，树干顶部落在距根部处，这棵大树在折断前的高度为（

）A．5米 B．7米 C．8米 D．12米【答案】C【分析】先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分的和即可得出结论．【详解】解：如图所示：∵是直角三角形，，，∴∴这棵树原高：，故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是先根据勾股定理求出的长度，再根据大树的高度进行解答．4．（2023春·全国·八年级期中）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为，梯子顶端到地面的距离为．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】是直角三角形，根据勾股定理即可求解．【详解】解：根据题意可知，是直角三角形，在中，，，∴，，在中，，，则，∴，∴小巷的宽为，故选：．【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的运算方法是解题的关键．5．（2023春·广东梅州·七年级校考阶段练习）如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（）A．5米 B．6米 C．7米 D．8米【答案】C【分析】先利用勾股定理求出的长，再利用平移的知识即可得出地毯的长度．【详解】在中，，∴米，∴可得地毯长度米，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理的应用及平移的知识，利用勾股定理求出AC的长度是解答本题的关键．6．（2023·全国·八年级假期作业）如图，一个底面圆周长为24cm，高为9cm的圆柱体，一只蚂蚁从距离上边缘4cm的点A沿侧面爬行到相对的底面上的点B所经过的最短路线长为（）A． B．15cm C．14cm D．13cm【答案】D【分析】将圆柱体展开，利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：将圆柱体的侧面展开，连接，如图所示：由于圆柱体的底面周长为24cm，则，又因为cm，所以（cm），即蚂蚁沿表面从点A到点B所经过的最短路线长为13cm．故选：D．【点睛】本题考查勾股定理的应用—最短路径问题．解题的关键是将立体图形展开为平面图形，利用勾股定理进行求解．7．（2023春·福建莆田·八年级统考期中）如图所示的是一个长方体笔筒，底面的长、宽分别为和，高为，将一支长为的签字笔放入笔筒内，则签字笔露在笔筒外的的长度最少为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】长方体内斜对角线是最长的，当签字笔在笔筒里对角放置的时候露在外面的长度最小，求出笔筒的对角线长度即可得签字笔露在外面的最短长度．【详解】解：由题意知：笔筒底面对角长为，∴笔筒的对角线长：，∵签字笔长，∴签字笔露在笔筒外面的最短长度是：．故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．8．（2023春·湖北鄂州·八年级校考阶段练习）如图，开口玻璃罐长、宽、高分别为16、6和6，在罐内点E处有一小块饼干碎末，此时一只蚂蚁正好在罐外长方形的中心H处，蚂蚁到达饼干的最短距离是多少（）A． B． C． D．17【答案】C【分析】做此题要把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．【详解】解：①若蚂蚁从平面和平面经过，蚂蚁到达饼干的最短距离如图1：，②若蚂蚁从平面和下底面平面经过，则蚂蚁到达饼干的最短距离如图2：∵∴蚂蚁到达饼干的最短距离是，故选：C．【点睛】考查了平面展开−最短路径问题，此题的关键是明确两点之间线段最短这一知识点，然后把立体的长方体放到一个平面内，求出最短的线段．9．（2023春·北京海淀·八年级北京二十中校考期中）一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处．则折断处离地面的高度是__________尺．【答案】4【分析】设折断处离地面的高度是x尺，根据勾股定理即可列出方程进行求解．【详解】如图所示，

设折断处离地面的高度是x尺，根据勾股定理得，解得．故折断处离地面的高度是4尺，故答案为：4．【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知勾股定理的应用．10．（2023春·天津滨海新·八年级校考期中）如图，从电杆上离地面的处向地面拉一条长为的钢缆，则地面钢缆到电线杆底部的距离是______．【答案】【分析】根据勾股定理可直接求解．【详解】由题意知，，，在中，由勾股定理得，，即地面钢缆到电线杆底部的距离是，故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意是解题的关键．11．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第一一三中学校校考阶段练习）如图，要从电线杆离地面3.6m处向地面拉一条长为4.5m的钢缆．则地面钢缆固定点A到电线杆底部点B的距离是__________m．【答案】2.7//【分析】根据勾股定理求解即可．【详解】解：由题意可知，，，∴．故答案为：2.7．【点睛】本题考查勾股定理．掌握直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键．12．（2023春·河南平顶山·八年级统考期中）如图，中，，，，把绕着点逆时针旋转得到，连接，则的长是______．

【答案】【分析】根据旋转的性质，得，，根据勾股定理，即可求出．【详解】∵中，，，，∴，∴，∵把绕着点逆时针旋转得到，∴，，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查旋转，勾股定理的知识，解题的关键是掌握旋转的性质，勾股定理的运用．13．（2022春·八年级单元测试）在笔直的铁路上、两点相距，、为两村庄，，，于，于，现要在上建一个中转站，使得、两村到站的距离相等．则应建在距________？【答案】15【分析】利用，再结合勾股定理求出即可．【详解】解：设，则，，，故，解得；．故答案为：15．

【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，利用得出是解题关键．14．（2023春·安徽合肥·八年级合肥寿春中学校考期中）如图，一个圆柱形食品盒，它的高为，底面圆的周长为(1)点A位于盒外底面的边缘，如果在A处有一只蚂蚁，它想吃到盒外表面对侧中点B处的食物，则蚂蚁需要爬行的最短路程是______；(2)将左图改为一个无盖的圆柱形食品盒，点C距离下底面，此时蚂蚁从C处出发，爬到盒内表面对侧中点B处(如右图)，则蚂蚁爬行的最短路程是___．【答案】【分析】（1）把圆柱侧面展开，在中，利用勾股定理求解即可．（2）将圆柱侧面展开，得到矩形，作点关于的对称点，构造，根据勾股定理求出即可解决问题．【详解】(1)如图，把圆柱侧面展开，在中，∵，∴，故答案为：．(2)如图所示，点与点关于对称，可得，，则最短路程为故答案为：．【点睛】本题考查了勾股定理求线段最短距离，轴对称的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．15．（