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文档简介
《讲亮点》20222023学年八年级数学上册教材同步配套讲练《苏科版》专题复习轴对称图形常见重难点考查题型【题型目录】考点一轴对称图形的识别考点二生活中的轴对称现象考点三设计轴对称图案考点四轴对称的性质与应用考点五尺规作图考点六角平分线的性质考点七角平分线的性质与判定综合考点八线段垂直平分线的性质考点九等腰三角形的性质(求角度)考点十等腰三角形的性质(求线段)考点十一等腰三角形的性质(三线合一)考点十二等腰三角形的性质与判定(角平分线)考点十三直角三角形斜边中线定理考点十四等边三角形的性质考点十五等边三角形的判定与性质综合考点十六最短路径问题考点十七翻折与折叠问题考点十八轴对称综合问题【考点一轴对称图形的识别】【方法点拨】解决此类问题关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形.【例题1】(2022·湖北武汉·模拟预测)班徽是班级文化的一种,是整个班级精神的提炼,是班级活力和荣耀的象征.以下四个班徽图案为轴对称图形的是()A. B. C. D.【变式11】(2022·河北保定·一模)七巧板是我国的一种传统智力玩具.下列用七巧板拼成的图形中,是轴对称图形的是(
)A.B.C. D.【变式12】(2022·江苏·八年级专题练习)如图,在正方形网格中,分别将①②③④四个网格涂上阴影,能与原阴影部分构成一个轴对称图形的有____________.(填网格序号)【变式13】(2021·河南·平顶山四十一中七年级期中)如图,已知线段a和b,直线AB和CD相交于点O.利用尺规(直尺、圆规),按下列要求作图:(1)在射线OA,OB,OC上作线段OA',OB',OC',使它们分别与线段a相等;(2)在射线OD上作线段OD',使OD'与线段b相等;(3)连接A'C',C'B',B'D',D'A';(4)你得到了一个怎样的图形?【考点二生活中的轴对称现象】【方法点拨】解决此类问题关键是掌握镜面对称原理及反射角与入射角的定义.【例题2】台球桌面示意图,图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔,如果一个球按图中所示的方向被击出(球可以经过台球边缘多次反弹),那么球最后将落入的球袋是(
)A.1号袋 B.2号袋 C.3号袋 D.4号袋【变式21】(2020·河北保定·八年级期末)如图,设和是镜面平行相对且间距为30cm的两面镜子,把一个小球A放在和之间,小球在镜中的像为,在镜中的像为,则等于()A.10cm B.20cm C.40cm D.60cm【变式22】(2021·江苏泰州·八年级期中)一辆汽车的车牌号在水中的倒影是“”,那么它的实际车牌号是:___.【变式23】(2021·四川·沐川县教师进修学校七年级期末)画图探究:(1)如图1,点和点位于直线两侧,是直线上一点,点使的值最小.请你通过画图,在图1中找出点;(2)如图2,点和点位于直线同侧,是直线上一点,点使的值最小.请你通过画图,在图2中找出点;实践应用:(3)如图3,在四边形中,,,点在边上,点在边上,点、点使的周长的值最小.请你通过画图,在图3中找出点和点并求的度数.【考点三设计轴对称图案】【方法点拨】轴对称设计图案的关键是掌握好轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.【例题3】(2022·江苏·八年级专题练习)如图,在的正方形格纸中,格线的交点称为格点,以格点为顶点的三角形称为格点三角形,图中是一个格点三角形,在这个的正方形格纸中,与成轴对称的格点三角形最多有()A.3个 B.4个 C.5个 D.6个【变式31】(2021·北京师大附中八年级期中)如图所示的“钻石”型网格(由边长都为1个单位长度的等边三角形组成),其中已经涂黑了3个小三角形(阴影部分表示),请你再只涂黑一个小三角形,使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形,一共有(
)种涂法.A.1 B.2 C.3 D.4【变式32】(2022·广西北海·七年级期末)如图,在的正方形网格中已有2个正方形涂黑,再选择一个正方形涂黑,使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形,选择的位置共有______处.【变式33】(2022·四川达州·七年级期末)如图,在正方形网格中,△ABC的顶点都在格点上,∠ACB=90°,AC=BC,点C在直线MN上,请完成下列问题:(1)画出△ABC关于直线MN的对称图形;(2)连接,交AC于D,若∠BCN=59°,画出图形,并求∠ADB的度数.【考点四轴对称的性质与应用】【方法点拨】轴对称的性质:对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直,对应点所连的线段被对称轴垂直平分,对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等,对应的角、线段都相等.【例题4】(2021·江苏·南通市通州区育才中学七年级阶段练习)如图,在四边形中,,与互为补角,点在边上,将沿翻折,得到,若,平分,则的度数为(
)A. B. C. D.【变式41】(2021·山西晋中·七年级期末)如图1是的一张纸条,按图1→图2→图3,把这一纸条先沿折叠并压平,再沿折叠并压平,若图3中则图2中的度数为(
)A. B. C. D.【变式42】(2022·山东青岛·七年级期末)如图,将一条长为7cm的卷尺铺平后折叠,使得卷尺自身的一部分重合,然后在重合部分(阴影处)沿与卷尺边垂直的方向剪一刀,此时卷尺分为了三段,若这三段长度由短到长的比为2:3:5,其中没有完全盖住的部分最长,则折痕对应的刻度可能是_____cm.【变式43】(2022·贵州六盘水·七年级期末)如图,和关于直线对称,与的交点在直线上.(1)图中点的对应点是点__________,的对应角是_______(2)若,,则的长为_______(3)若,,求的度数.【考点五尺规作图】【例题5】(2021·湖南·长沙市中雅培粹学校八年级阶段练习)如图,在△ABC中,,,,用尺规作图的方法:以C点为圆心,以大于长为半径画弧,再以B点为圆心,以相同长度为半径画弧,两弧相交于点M、N,连接MN交AB于点D,则△ACD的周长为()A.12 B.14 C.16 D.21【变式51】(2021·全国·八年级)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=20°,以△ABC的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上,则可以画出的等腰三角形的个数最多为()A.4个 B.5个 C.6个 D.7个【变式52】(2022·吉林吉林·八年级期末)在中,,.用无刻度的直尺和圆规在边上找一点D,使为等腰三角形.下列作法正确的有________个.【变式53】(2022·广东·普宁市华美实验学校八年级阶段练习)如图,已知△ABC,AC>AB.请用尺规作图法完成下列问题.(1)作△ABC的高AD.(保留作图痕迹.不写作法)(2)在高AD上求作一点P,使点P分别到AC,BC的距离相等.(保留作图痕迹.不写作法)【考点六角平分线的性质】【方法点拨】角平分线的性质:角平分线上的点到角两边的距离相等,解决此类问题的关键在于作垂线.【例题6】(2022·广东佛山·七年级期末)如图,中,,的角平分线、相交于点,过点作交的延长线于点,交于点,则下列结论:①;②;③;④连接,平分.其中正确的是(
)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【变式61】(2022·江苏·如东县实验中学七年级阶段练习)如图,在中,,,D为形外一点,DA平分∠BAC,且,则∠DCB的度数为(
)A. B.60° C. D.【变式62】(2022·全国·八年级)如图,已知,、分别平分和且度,则______度.【变式63】(2022·全国·八年级专题练习)如图1,在△ABC中,∠BAC的平分线AD与∠BCA的平分线CE交于点O.(1)求证:∠AOC=90°+∠ABC;(2)当∠ABC=90°时,且AO=3OD(如图2),判断线段AE,CD,AC之间的数量关系,并加以证明.【考点七角平分线的性质与判定综合】【方法点拨】掌握到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解决此类问题的关键.【例题7】(2022·全国·八年级课时练习)如图,点A、C在∠FBD的两条边BF、BD上,BE平分∠FBD,CE平分∠ACD,连接AE,若∠BEC=35°,则∠FAE的度数为(
)A.35° B.45° C.55° D.65°【变式71】(2022·江苏·景山中学七年级期末)如图,∠ABC、∠ACD的平分线BP、CP交于点P,PF⊥BD,PG⊥BE,垂足分别为F、G,下列结论:①:=AB:BC;②∠APB+∠ACP=90°;③∠ABC+2∠APC=180°,其中正确的结论有(
)A.0个 B.1个 C.2个 D.3个【变式72】(2021·湖北·黄石经济技术开发区教研室九年级期中)如图,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,OA<OC,∠AOB=∠COD=36°;连接AC,BD交于点M,连接OM;下列结论:①∠AMB=36°;②AC=BD;③OM平分∠AOD;④MO平分∠AMD;其中正确的结论有______________(填序号)【变式73】(2022·全国·八年级专题练习)如图,和都是等边三角形,连接与,延长交于点H.(1)证明:;(2)求的度数;(3)连接,求证:平分.【考点八线段垂直平分线的性质】【方法点拨】线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质,熟记性质是解题的关键【例题8】(2022·山东淄博·七年级期末)如图,△ABC中,AD平分∠BAC,DG⊥BC且平分BC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F.若AB=7,AC=3,则BE=(
)A.1 B.2 C.3 D.4【变式81】(2022·山东滨州·八年级期末)如图,△ABC中,BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D,垂足为点P,∠BAC=84°,则∠BDC=(
)A.84° B.96° C.100° D.不能确定【变式82】(2021·湖南·邵阳市第六中学八年级阶段练习)如图,在中,、的垂直平分线分别交于、两点,并且相交于点,且,则的度数是______.【变式83】(2021·吉林长春·八年级期末)如图,在△ABC中,CA=CB,过点A作射线AP∥BC,点M、N分别在边BC、AC上(点M、N不与所在线段端点重合),且BM=AN,连结BN并延长交射线AP于点D,连结MA并延长交AD的垂直平分线于点E,连结ED.【猜想】如图①,当∠C=30°时,可证△BCN≌△ACM,从而得出∠CBN=∠CAM,进而得出∠BDE的大小为______度.【探究】如图②,若∠C=β.(1)求证:△BCN≌△ACM.(2)∠BDE的大小为______度(用含β的代数式表示).【应用】如图③,当∠C=120°时,AM平分∠BAC,若AM、BN交于点F,DE=DF,DE=1,则△DEF的面积为______.【考点九等腰三角形的性质(求角度)】【方法点拨】解决此类问题的关键要掌握等腰三角形两底角相等(简称等边对等角),常与三角形外角的性质及三角形内角和定理结合运用.【例题9】(2022·湖北武汉·八年级期末)如图,△ABC中,∠CAB=∠CBA=48°,点O为△ABC内一点,∠OAB=12°,∠OBC=18°,则∠ACO+∠AOB=()A.190° B.195° C.200° D.210°【变式91】(2021·江苏无锡·八年级期中)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=46°,∠BAC的平分线与AB的垂直平分线OD交于点O,点E在BC上,点F在AC上,连接EF.将∠C沿EF折叠,点C与点O恰好重合时,则∠OEC的度数()A.90° B.92° C.95° D.98°【变式92】(2022·浙江台州·八年级期末)如图,在中,点为和垂直平分线的交点,点与点关于对称,连接,,.若中有一个角是50°,则______度.【变式93】(2022·辽宁辽阳·七年级期末)已知,在中,,,点为直线上一动点(点不与点,重合),连接,以为边作,使,,且点和点分别在直线的异侧,连接.(1)如图1,当点在线段上时,求的度数;(2)若,,请直接写出的长.【考点十等腰三角形的性质(求线段)】【方法点拨】解决此类问题的关键要掌握等腰三角形两底角相等(简称等边对等角),常与三角形外角的性质及三角形内角和定理结合运用.【例题10】(2021·全国·九年级专题练习)如图,在中,和的角平分线交于点,过点作交于点,交于点.若,,则的长为(
)A.10 B.5.5 C.6 D.5【变式101】(2022·广东梅州·八年级期末)如下图,在中,,,的角平分线与线段AC相交于点D,若,则CD的长(
)A.10 B.8 C.6 D.4【变式102】(2021·贵州·思南县张家寨初级中学七年级阶段练习)如图,∠MON=30°,点A1、A2、A3…在射线ON上,点B1、B2、B3…在射线OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形,从左起第1个等边三角形的边长记为a1,第2个等边三角形的边长记为a2,以此类推.若OA1=1,则a2020=_____.【变式103】(2020·河北唐山·八年级期末)如图,在中,,,分别是,边上的点,并且.(1)是否是等腰三角形?说明理由;(2)点是上的一点,并且平分,平分.①求证:是等腰三角形;②若的周长为,,直接写出的周长(用含,的式子表示).【考点十一等腰三角形的性质(三线合一)】【例题11】(2022·辽宁抚顺·八年级期末)如图,△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,AC的垂直平分线分别交AC,AD,AB于点E,G,F,连接CG,BG,则图中全等三角形的对数是(
)A.1对 B.2对 C.3对 D.4对【变式111】(2022·广东河源·七年级期末)已知,等腰中,,E是高AD上任一点,F是腰AB上任一点,腰,,,那么线段的最小值是(
)A.5 B.3 C. D.【变式112】(2022·辽宁辽阳·七年级期末)如图,在中,,是的一条角平分线,点,点分别是线段,上一动点,若,,那么线段的最小值是_________.【变式113】(2022·广西·全州县教育局教研室八年级期末)问题发现:(1)如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE,①求证:△ACD≌△BCE;②求∠AEB的度数.(2)拓展探究:如图2,△ACB和△DCE均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点A、D、E在同一直线上,CM为△DCE中DE边上的高交AE于M,连接BE.请求∠AEB的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关系,并说明理由.【考点十二等腰三角形的性质与判定】【例题12】(2022·浙江台州·八年级期末)如图,直角三角形ABC中,AC=BC,AD是△ABC的角平分线,动点M、N同时从A点出发,以相同的速度分别沿A→C→B和A一B→C方向运动,并在边BC上的点E相遇,连接AE,①AE平分△ABC的周长,②AE是△ABD的角平分线,③AE是△ABD的中线.以上结论正确的有(
)A.①② B.①③ C.②③ D.①②③【变式121】(2022·湖北黄冈·八年级期末)如图,四边形ABCD中,连接BD,O为BD中点,∠BAD=90°,∠BCD=90°,∠BDA=30°,∠BDC=45°,则∠CAO=()A.15° B.18° C.22.5° D.30°【变式122】(2022·江苏盐城·八年级期末)如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,D为AB的中点,点E在BC上,且CE=AC,∠BAE=15°,则∠AED=_______°.【变式123】(2022·辽宁大连·八年级期末)在△ABC中,AB=AC,AB>BC,点D,E,F分别在边AB,BC,AC上,且ED=EF,∠DEF=∠B.(1)如图1,求证:BC=BD+CF;(2)如图2,连接CD,若DEAC,求证:CD平分∠ACB.【考点十三直角三角形斜边中线定理】【方法点拨】掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.【例题13】如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠ADC=90°,∠DAC=45°,∠BAC=30°,E是AC的中点,连接BE,BD.则∠DBE的度数为()A.10° B.12° C.15° D.18°【变式131】如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,O为AB的中点,点E在BC上,且CE=AC,∠BAE=15°,则∠COE=度.【变式132】如图,AD是△ABC的高线,且BDAC,E是AC的中点,连结BE,取BE的中点F,连结DF,求证:DF⊥BE.【变式133】如图(1),已知锐角△ABC中,CD、BE分别是AB、AC边上的高,M、N分别是线段BC、DE的中点.(1)求证:MN⊥DE.(2)连结DM,ME,猜想∠A与∠DME之间的关系,并证明猜想.(3)当∠A变为钝角时,如图(2),上述(1)(2)中的结论是否都成立,若结论成立,直接回答,不需证明;若结论不成立,说明理由.【考点十四等边三角形的性质】【例题14】(2022·山东·济南育英中学七年级期中)如图,在等边△ABC中,点D、E分别是AB、AC上的点,且BD=AE,BE与CD交于点O.以CO为边作等边△OCF,点F在BO的延长线上,点G是BC的中点,连接AO、GO.有如下结论:①∠BOC=120°;②AF=BO;③OG⊥BF;④AO=2OG;其中正确的结论有(
)A.①② B.①②③ C.①②④ D.①②③④【变式141】(2022·湖北十堰·八年级期末)如图,△ABC是等边三角形,D是线段AC上一点(不与点A,C重合),连接BD,点E,F分别在线段BA,BC的延长线上,且DE=DF=BD,则△AED的周长等于(
)A. B.BF C. D.【变式142】(2022·湖南株洲·八年级期末)如图,已知:,点、、……在射线上,点、、……在射线上,、、……均为等边三角形,若,则的边长为_______.【变式143】(2022·湖北恩施·八年级期末)已知△ABC是等边三角形,点D是直线BC上一点,以AD为一边在AD的右侧作等边△ADE,连接CE.(1)如图①,点D在线段BC上移动时,求证:;(2)如图②,点D在线段BC的延长线上移动时,猜想∠DCE的大小是否发生变化.若不变请求出其大小;若变化,请说明理由.【考点十五等边三角形的判定与性质】【例题15】(2022·陕西榆林·七年级期末)如图,点D是△ABC内一点,,,则以下结论①;②;③BD平分∠ABC;④BD与AC的位置关系是互相垂直,其中正确的有(
)A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【变式151】(2022·内蒙古鄂尔多斯·八年级期末)如图,已知和都是等边三角形,点B、C、D在同一条直线上,BE交AC于点M,AD交CE于点N,AD,BE交于点P.则下列结论:①;②;③;④;⑤是等边三角形、其中,正确的有()A.2个 B.3个 C.4个 D.5个【变式152】(2022·辽宁抚顺·八年级期末)如图,在△ABC中,∠A=60°,∠ABC的平分线BD与∠ACB的平分线CE相交于点O,则下列说法①∠BOE=60°,②∠ABD=∠ACE,③OE=OD,④BC=BE+CD,⑤若AB=AC,则BC=2AD,中正确的是________.(填序号)【变式153】(2022·湖北十堰·八年级期末)我们学习等边三角形时得到特殊直角三角形的一个性质:在直角三角形中,如果一个锐角等于30º,那么它所对的直角边等于斜边的一半.即:如图(1),在Rt△ABC中,∠ACB=90º,∠ABC=30º,则(人教2013年6月第1版教材81面).(1)如图(1),作边上的中线,得到结论:①为等边三角形;②BE与CE之间的数量关系为.(2)如图(2),是△ABC的中线,点D是边上任意一点,连接,作等边△ADP,且点P在∠ACB的内部,连接.试探究线段与之间的数量关系,写出你的猜想并加以证明.(3)当点D为边延长线上任意一点时,在(2)中条件的基础上,线段与之间存在怎样的数量关系?画图并直接写出答案即可.【考点十六最短路径问题】【例题16】(2022·贵州遵义·八年级期末)如图,中,,D为的中点,,面积为10,分别以点A、B为圆心,大于的长为半径画弧,交于两点M、N,直线上有一动点P,则的最小值为(
)A.4 B.5 C.6 D.10【变式161】(2022·湖北襄阳·八年级期末)如图,中,,,的面积为21,于D,EF是AB边的中垂线,点P是EF上一动点,周长的最小是等于(
)A.7 B.8 C.9 D.10【变式162】(2021·陕西西安·一模)如图,在△ABC中,AB=AC=4,BC=3,D为BC边的中点,点E、F分别是线段AC、AD上的动点,且AF=CE,则BE+CF的最小值为_____.【变式163】(2021·天津·八年级期末)如图,在中,已知,是边上的中线,点是边上一动点,点是上的一个动点.
(1)若,求的度数;(2)若,,,且时,求的长;(3)在()的条件下,请直接写出的最小值.【考点十七翻折与折叠问题】【例题17】(2021·广东·肇庆市地质中学八年级阶段练习)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=54°,∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O,将∠C沿EF(E在BC上,F在AC上)折叠,点C与点O恰好重合,则∠OEC的度数为(
)A.120° B.108° C.110° D.102°【变式171】(2021·云南玉溪·八年级期中)如图,在△ABC中,∠B=32°,将△ABC沿直线m翻折,点B落在点D的位置,则∠1∠2的度数是(
)A.32° B.64° C.65° D.70°【变式172】(2022·河南洛阳·七年级期末)如图,图1是长方形纸带,将纸带沿折叠成图2,再沿折叠成图3,若图3中,则图1中的的度数是______.【变式173】(2021·广西南宁·七年级期中)如图,ABCD为一长方形纸片,E为BC上一点,将纸片沿AE折叠,B点落在长方形外的F点.(1)如图1,当∠BEA=35°时,∠FAD的度数为.(直接填空)(2)如图2,连BD,若∠CBD=25°,AFBD,求∠BAE;(3)如图3,当AFBD时,设∠CBD=,请你求出∠BAE的度数.(用表示)【考点十八轴对称综合问题】【例题18】(2021·江苏·泰州市第二中学附属初中八年级阶段练习)如图,点P为∠AOB内一点,分别作出P点关于OA、OB的对称点P1,P2,连接P1P2交OA于M,交OB于N,若∠AOB=40°,则∠MPN的度数是(
)A.90° B.100° C.120° D.140°【变式181】(2021·山东淄博·七年级期中)如图,四边形中,,,在、上分别找一点、,使周长最小时,则的度数为(
)A. B. C. D.【变式182】(2021·福建泉州·七年级期末)如图,点P是∠AOB内部一定点(1)若∠AOB=50°,作点P关于OA的对称点P1,作点P关于OB的对称点P2,连OP1、OP2,则∠P1OP2=___.(2)若∠AOB=α,点C、D分别在射线OA、OB上移动,当△PCD的周长最小时,则∠CPD=___(用α的代数式表示).【变式183】(2020·江苏·泰兴市济川初级中学七年级期中)如图,将△ABC纸片沿DM折叠,使点C落在点的位置,其中点D为AC边上一定点,点M为BC边上一动点,点M与B,C不重合.(1)若∠A=84°,∠B=61°,则∠=°;(2)如图1,当点落在四边形ABMD内时,设∠BM=∠1,∠AD=∠2,探索∠与∠1,∠2之间的数量关系,并说明理由;(3)在点M运动过程中,折叠图形,若∠=35°,∠BM=53°,求∠AD的度数.【亮点训练】1、下列图形中,是轴对称图形的有()个.①角②线段③等腰三角形④等边三角形⑤扇形⑥圆⑦平行四边形A.4个 B.5个 C.6个 D.7个2、室内墙壁上挂一平面镜,小明在平面镜内看到他背后墙上时钟的示数如图所示,则这时的实际时间应是()A.3:20 B.3:40 C.4:40 D.8:203、如图,P为∠AOB内一点,分别画出点P关于OA,OB的对称点P1,P2,连接P1P2.交OA于点M,交OB于点N.若P1P2=5cm,则△PMN的周长为.4、如图,∠AOB=30°,点M、N分别是射线OB、OA上的动点,点P为∠AOB内一点,且OP=4,则△PMN的周长的最小值为()A.2 B.4 C.6 D.85、如图,在4×4正方形网格中,将图中的2个小正方形涂上阴影,若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影,使得整个阴影部分组成的图形是轴对称图形,那么符合条件的小正方形共有()A.7个 B.8个 C.9个 D.10个6、如图,AC,BC分别平分∠BAE,∠A
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