14.1.4 第3课时多项式与多项式相乘 人教版数学八年级上册同步课堂教案

第十四章整式的乘法与因式分解14.1整式的乘法14.1.4整式的乘法第3课时多项式与多项式相乘一、教学目标1.了解并掌握多项式与多项式相乘的运算法则，能够灵活地进行多项式与多项式相乘的运算.2.掌握多项式与多项式相乘运算法则的推导.二、教学重难点重点：多项式与多项式相乘的运算法则.难点：能够灵活地进行多项式与多项式相乘的运算.三、教学过程【新课导入】[复习导入]问题：（1）还记得上节课我们学习了什么内容吗？（2）它的运算法则是什么？学生积极思考，教师带领复习单项式与多项式相乘的运算法则.之后出示如下示例，使学生进一步理解单项式与多项式相乘的法则及注意事项.教师利用多媒体展示如下“练一练”，巩固单项式与多项式相乘的运算，学生积极举手回答：【新知探究】知识点单项式与多项式相乘[提出问题]如图，为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长am、宽pm的长方形绿地，加长了bm，加宽了qm，你能用几种方法求出扩大后的绿地面积？[学生思考]给学生1分钟的思考时间，提醒可有三种方法去计算，将扩大后的绿地看成一个大长方形，或将扩大后的绿地看成两个小长方形，或将扩大后的绿地看成四个小长方形.将自己的演算过程写在练习本上.[提出问题]你的结果是多少？你是怎么得到的？[学生回答]教师点名，学生回答，有以下三种方法：方法一：扩大后的绿地可以看成长为（a+b）m,宽为(p+q)m的长方形，所以这块绿地的面积（单位：m2）为（a+b）(p+q)；方法二：把扩大后的绿地看成由两个小长方形组成，它们的面积可分别表示为a(p+q)、b(p+q)，所以这块绿地面积（单位：m2）为a(p+q)+b(p+q).方法三：把扩大后的绿地看成由四个小长方形组成，它们的面积可分别表示为ap、aq、bp、bq，所以这块绿地面积（单位：m2）为ap+aq+bp=bq.对于方法二，若学生给出的是“把扩大后的绿地看成由两个小长方形组成（上、下分割），它们的面积可分别表示为p(a+b)、q(a+b)，所以这块绿地面积（单位：m2）为p(a+b)+q(a+b)”.也同样给予肯定，只是分割方法不同而已.[教师总结]不管用哪种方法，三者表示的都是同一个量，所以(a+b)(p+q)=a(p+q)+b(p+q)=ap+aq+bp+bq.[提出问题]这个等式是如何计算得到的？[学生回答]观察这个等式可知，计算(a+b)(p+q)，可以先把其中的一个多项式，如p+q，看成一个整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得到a(p+q)+b(p+q)；再利用单项式与多项式相乘的法则，得到ap+aq+bp+bq.同时多媒体出示如下计算过程，帮助学生理解.[教师总结]总体上看，(a+b)(p+q)的结果可以看作是由a+b的每一项乘p+q的每一项，再把所得的积相加而得到.同时多媒体出示如下计算过程，帮助学生理解.[提出问题]这个等式为我们提供了多项式与多项式相乘的方法.你知道这个方法是什么吗？[学生思考]学生思考2分钟，积极举手发言，对于回答不完整的，其他学生进行补充，学生的可能回答：①第一个多项式的第一项与第二个多项式中的每一项相乘，第一个多项式的第二项与第二个多项式中的每一项相乘；②所得的积加起来.[归纳总结]一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.符号表示：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq（a，b，p，q分别是单项式）.[课件展示]教师利用多媒体展示如下示例，从而引出“多项式与多项式相乘的步骤”：[课件展示]教师利用多媒体展示以下例题：例计算：(1)(3x+1)(x+2)；解：(3x+1)(x+2)=(3x)·x+(3x)×2+1·x+1×2=3x2+6x+x+2=3x2+7x+2.(2)(x-8y)(x-y)；解：(x-8y)(x-y)=x2-xy-8xy+8y2=x2-9xy+8y2.(x+y)(x2-xy+y2).解：(x+y)(x2-xy+y2)=x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3=x3+y3.提醒学生注意以下几点：最后结果应化成最简形式，不要忘记合并同类项；合并同类项之前，积的项数应该是两个多项式的项数之积；要按一定的顺序进行，做到不重不漏；注意符号问题；不要漏乘.[课件展示]根据例题中遇到的常见点，总结如下注意事项：[课件展示]跟踪训练计算：(1)(x+2)(x+3)=x2+5x+6；(2)(x-4)(x+1)=x2-3x-4；(3)(y+4)(y-2)=y2+2y-8；(4)(y-5)(y-3)=y2-8y+15.由上面计算的结果，观察两多项式中字母和常数项，找规律，填空：特殊二项式相乘：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq.[教师总结]该公式的特点：相乘的两个因式：（1）都只含有一个相同的字母；（2）都是一次二项式，并且一次项系数都为1.相乘的结果：（1）乘积是二次三项式；（2）二次项系数是1；（3）一次项系数等于两个因式中常数项之和；（4）常数项等于两个因式中常数项之积.【课堂小结】【课堂训练】1.下列多项式相乘，结果为x2-4x-12的是（B）A．(x-4)(x+3)B.(x-6)(x+2)C．(x-4)(x-3)D.(x+6)(x-2)2.（2021德阳模拟）计算（2x-1）（5x+2）的结果是（D）A．10x2-2 B．10x2-5x-2 C．10x2+4x-2 D．10x2-x-23.（2021合肥模拟）如果（x-2）（x+3）=x2+px+q，那么p、q的值为（B）A．p=5，q=6 B．p=1，q=-6 C．p=1，q=6 D．p=5，q=-6【解析】方法一：∵（x-2）（x+3）=x2+x-6=x2+px+q，∴p=1，q=-6.故选B．方法二：根据特殊二项式相乘法则可知，p=-2+3=1，q=-2×3=-6.故选B．4.（2021天津一模）计算（a+3）（b-2）的结果等于ab-2a+3b-6．5.若（3+x）（2x2+mx-5）的计算结果中x2项的系数为-3，则m的值为-9．【解析】（3+x）（2x2+mx-5）=2x3+（6+m）x2+（-5+3m）x-15，∵计算结果中x2项的系数为-3，∴6+m=-3．解得m=-9．6.计算下列各题：（1）（x-1）（2x+1）-2（x-5）（x+2）；解：原式=x•2x+x•1+(-1)•2x+(-1)×1-2（x2+2x-5x-10）=2x2+x-2x-1-2（x2-3x-10）=2x2-x-1-2x2+6x+20=5x+19．（2）（a-2b）（2a+b）+a（-2a-b）．解：原式=a•2a+ab+（-2b）•2a+（-2b）•b+a•（-2a）+a•（-b）=2a2+ab-4ab-2b2-2a2-ab=-4ab-2b2．7.解方程：（x-1）（x+8）-x（x+3）=0．解：（x-1）（x+8）-x（x+3）=0，x2+7x-8-x2-3x=0，4x=8，x=2．8.如图，某市有一块长（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间空白处将修建一座雕像．（1）求绿化的面积是多少平方米．（2）当a=2，b=1时,求绿化面积．解：（1）S绿化=（3a+b）（2a+b）-（a+b）（a+b）=6a2+3ab+2ab+b2-(a2+ab+ab+b2)=5a2+3ab.故绿化的面积是（5a2+3ab）平方米.（2）将a=2，b=1代入S绿化=5a2+3ab，得S绿化=5×22+3×2×1=20+6=26．故当a=2，b=1时，绿化面积为26平方米．9.马同学与虎同学两人共同计算一道题：（x+m）（2x+n）．由于马同学抄错了m的符号，得到的结果是2x2-7x+3，虎同学漏抄第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x-3．请你求出m、n的值．解：∵马同学抄错了m的符号，得到的结果是2x2-7x+3，∴（x-m）（2x+n）=2x2+（-2m+n）x-mn=2x2-7x+3．∴-2m+n=-7，mn=-3．∵虎同学漏抄第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2+2x-3，∴（x+m）（x+n）=x2+（m+n）x+mn=x2+2x-3，∴m+n=2，mn=-3．∴解得故m=3，n=-1．【教学反思】本节课由计算绿地面积出发，通过三种不同的计算图形面积.首先充分利用了直观的几何图形，采用给出几何图形的方式来验证运算法则及公式的正确性，学生从图形中可以看到（a+b）（p+q)是一个长方形的面积，而这个长方形又可以分