高考总复习理数（人教版）第05章平面向量数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念与线性运算

第一节平面向量的概念与线性运算考点高考试题考查内容核心素养平面向量的线性运算2015·全国卷Ⅰ·T7·5分向量运算的三角形法则数学运算2015·全国卷Ⅱ·T13·5分向量共线的充要条件命题分析本节内容的考查以向量的线性运算为主，试题多为客观题，难度不大，分值约5分.1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫作向量，向量的大小叫作向量的模.(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a＋b＝b＋a；结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3．向量共线定理向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.提醒：1．辨明两个易误点(1)作两个向量的差时，首先将两向量的起点平移到同一点，要注意差向量的方向是由减向量的终点指向被减向量的终点．(2)在向量共线的充要条件中易忽视“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个2．三点共线的等价关系A，P，B三点共线⇔eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ≠0)⇔eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－t)·eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)．1．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．()(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．()(3)已知两向量a，b，若|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝2.()(4)△ABC中，D是BC中点，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))．()(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(5)√2．(教材习题改编)下列结论正确的是()A．若|a|＝0，则a＝0B．若a，b是两个单位向量，则a＝bC．若a＝b，b＝c，则a＝cD．若AB＝AC，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))解析：选C根据向量的概念可知选C．3．(2018·临沂检测)如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量eq\o(CD,\s\up6(→))＝()A．－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)) B．－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))C．eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)) D．eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))解析：选A因为eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))，所以eq\o(CD,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→)).4．在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|，那么四边形ABCD为()A．平行四边形 B．菱形C．长方形 D．正方形解析：选B由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(BC,\s\up6(→))|知，四边形ABCD为平行四边形且邻边相等，所以四边形ABCD为菱形．故选B．5．(教材习题改编)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，则λ＝________解析：由题意知：a＋λb＝k(2a－b)，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2k＝1，,λ＝－k，))∴k＝eq\f(1,2)，λ＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)平面向量的有关概念[明技法]对于向量的概念的三点注意(1)向量的两个特征：有大小和方向，向量既可以用有向线段和字母表示，也可以用坐标表示；(2)相等向量不仅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量则未必是相等向量；(3)向量与数量不同，数量可以比较大小，向量则不能，但向量的模是非负实数，故可以比较大小．[提能力]【典例】给出下列命题：①有向线段就是向量，向量就是有向线段；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(CD,\s\up6(→))共线，则A、B、C、D四点共线；④如果a∥b，b∥c，那么a∥c.其中正确命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．0解析：选D①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；④不正确，如果b＝0时，则a与c不一定平行．[刷好题](金榜原创)给出下列命题：①两个具有公共终点的向量一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；④若λa＝μb(λ，μ为实数)，则a与b共线．其中错误命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C①错误，两向量是否共线要看其方向，而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故两个向量不能比较大小，但两个向量的模均为非负实数，故可以比较大小．③错误，当a＝0时，无论λ为何值，均有λa＝0.④错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．故选C．平面向量的线性运算[明技法]向量线性运算的解题策略(1)向量的加减常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．[提能力]【典例】(1)设D为△ABC所在平面内一点，eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(CD,\s\up6(→))，则()A．eq\o(AD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) B．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))解析：选Aeq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，故选A．(2)(2018·威海检测)在△ABC中，已知D是AB边上一点，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up6(→))＋λeq\o(CB,\s\up6(→))，则λ＝()A．－eq\f(1,3) B．－eq\f(2,3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,3)解析：选D据向量运算的几何意义，画图如图所示．其中D，E分别是AB和AC的三等分点，以EC和ED为邻边作平行四边形，得eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up6(→)).故λ＝eq\f(2,3)，所以选D．[刷好题]1．(2018·唐山统一考试)在等腰梯形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝－2eq\o(CD,\s\up6(→))，M为BC的中点，则eq\o(AM,\s\up6(→))＝()A．eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→)) B．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))C．eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AD,\s\up6(→)) D．eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(AD,\s\up6(→))解析：选B因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝－2eq\o(CD,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→)).又M是BC的中点，所以eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，故选B．2．(2018·洛阳模拟)已知点O为△ABC外接圆的圆心，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))＝0，则△ABC的内角A等于()A．30° B．60°C．90° D．120°解析：选A由eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))＝0得eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))，由O为△ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，故∠CAB＝30°.平面向量共线定理的应用[明技法]共线向量定理的应用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数λ，使a＝λbb≠0，则a与b共线,\x(证明三点共线：若存在实数λ，使\o(AB,\s\up6(→))＝λ\o(AC,\s\up6(→))，则A，B，C三点共线),\x(求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程组求参数的值)))注意：证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．[提能力]【典例】设两个非零向量a与b不共线．(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．(1)证明：因为eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，所以eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共线，又它们有公共点B，所以A，B，D三点共线．(2)解：因为ka＋b与a＋kb共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是两个不共线的非零向量，所以k－λ＝λk－1＝0.所以k2－1＝0.所以k＝±1.[母题变式]若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k为何值？解：因为ka＋b与a＋kb反向共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)(λ