专题05一元二次方程综合检测过关卷-2024年中考数学一轮复习2

专题05一元二次方程综合过关检测（考试时间：120分钟，试卷满分：120分）注意事项：1.本试卷共6页，全卷满分120分。考试时间120分钟。考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效。2.请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上。3.答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。4.作图题必须用2B铅笔作答，并请加黑、加粗。选择题（）。1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义进行解答即可．判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．【详解】A、该方程是分式方程，不是整式方程，故本选项错误；B、该方程中含有两个未知数，不属于一元二次方程，故本选项错误；C、当时，该方程不是关于的一元二次方程，故本选项错误；D、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确，故选：D．2．将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为1，一次项系数和常数项分别是（

）A．9、3 B．9、 C．、 D．、3【答案】D【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为．一元二次方程化为一般形式后，找出一次项系数与常数项即可．【详解】解：方程整理得：，则一次项系数、常数项分别为，3；故选：D．3．若关于的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为（

）A． B．2023 C． D．2024【答案】B【分析】本题考查一元二次方程的根，代数式求值，先将代入，求出的值，再代入即可．【详解】解：将代入，得，，，故选B．4．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（

）A． B．且 C．且 D．且【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据二次项系数不等于0，且列式求解即可．【详解】解：由题意得，且，解得且，故选：B．5．对于任意的实数，代数式的值是一个（

）A．非负数 B．正数 C．负数 D．整数【答案】B【分析】本题考查了配方法的应用；将代数式配方，即可求解．【详解】解：，∴代数式的值是一个正数，故选：B．6．如图，为了美化环境，某公园计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的小道，剩余的空地上种植花卉，使花卉的种植面积为，设小道的宽为，则下面所列方程正确的是（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是由道路的宽为，可得出种植草坪的部分可合成长为，宽为的矩形，根据草坪的面积为，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．【详解】解：道路的宽为，种植草坪的部分可合成长为，宽为的矩形．根据题意得：．故选：A．填空题(）7．把方程化成的形式，则的值是．【答案】【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方求出m、n的值，然后代值计算即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案为：．8．已知与x轴交于点、，则分解因式．【答案】【分析】本题考查二次函数与一元二次方程关系及因式分解，由题意得方程的两根为，得到，根据即可求解．【详解】解：与x轴交于点、，，，，故答案为：．9．“渝太太”“吖嘀吖嘀”等零售公司这几年在潼南迎来了蓬勃发展，其商品以价格亲民，品质较好，品种多样吸引了大量的顾客，今年4月份，潼南区江北一零售公司实现月纯利润为5万元，到6月份就突破到月纯利润为万元，若该公司由4月份到6月份纯利润的月平均增长率为x，根据题意，列出方程为．【答案】【分析】本题考查一元二次方程解决实际应用问题，根据6月的纯利润列式求解即可得到答案；【详解】解：由题意可得，，故答案为：．10．已知点P把线段分割成和两段，如果是和的比例中项，那么的值等于．【答案】【分析】本题考查比例中项的定义及解一元二次方程，根据比例中项的平方等于另外两项的积列出式子，再解一元二次方程方程即可得到答案；【详解】解：∵是和的比例中项，∴，∴，即：，解得：，（不符合题意舍去），故答案为：．11．定义运算“※”，其规则为，若，则的值为．【答案】9【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据新定义的运算，把问题转化为方程求解．【详解】解：由题意，即，解得．故答案为：9．12．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值是．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，根据已知可得，整体代入，即可求解．【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，∴，∴故答案为：．13．设，是一元二次方程的两根，则．【答案】1【分析】本题考查一元二次方程的解的定义以及根与系数的关系．根据根与系数的关系得到：，以及方程的根的定义得到：，将进行转化计算即可．【详解】解：∵，是一元二次方程的两根，∴，，∴，∴；故答案为：1．14．若实数x满足，则的值是．【答案】5【分析】根据方程特点设，则原方程可化为，接下来解一元二次方程求y，即为的值，最后验根即可解答．本题属于换元法解方程的问题，关键是掌握这类问题的求解方法．【详解】解：方程整理得：，设，则原方程变形为：，，，，当时，，，，则，故答案为：515．定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”．已知关于x的两个一元二次方程和互为联根方程，那么a的值为．【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了利用因式分解法解方程，先利用因式分解法解方程，得到或．再分别将，代入，求出a的值即可．求出方程的两个解是解题的关键．【详解】解：，分解因式为，解得或①当时，，整理得，∵，∴方程无解；②当时，，∴或（舍去）故答案为：．16．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点的坐标为，直线经过点，，将四边形绕点按顺时针方向旋转度得到四边形，此时直线、直线分别与直线相交于、．在四边形旋转过程中，若，则点的横坐标为．

【答案】或【分析】根据，分两种情况，根据三角形的面积公式，勾股定理，求解即可．【详解】解：因为，所以分两种情况讨论：（1）如图1，当点在点左侧时，

过作于，连接，则，∴∴,设，，∴，，

在中，，解得，（不符实际，舍去）．，．（2）如图2，当点P在点B右侧时，

，．在中，，解得．，．所以点或．【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理、解一元二次方程，坐标与图形、旋转的性质等知识，分类讨论和数形结合是解题的关键．三、解答题（本大题共11小题，共88分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。17．解方程：(1)(2)【答案】(1)，；(2)．【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方方与因式分解的方法解方程是解本题的关键.（1）先变形、然后再运用因式分解法解答即可；掌握运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键；（2）先移项，然后再运用直接开平方法解答即可；掌握运用直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．【详解】（1）解：,所以，．（2）解：所以．18．已知关于的方程（为常数）．(1)求证：无论为何值时，方程都有两个不相等的实数根；(2)设，为方程的两个实数根，且满足，试求的值．【答案】(1)见详解(2)或【分析】本题考查根据判别式判断一元二次方程根的情况，一元二次方程的根与系数的关系．（1）将原方程改为一元二次方程的一般形式，再求出其根的判别式的值即可判断；（2）由一元二次方程根与系数的关系可求出，．再将变形为，最后代入，解出k的值即可．【详解】（1）解：∵，∴，∴，∴，∴关于x的一元二次方程，无论k取何值时，方程均有两个不相等的实数根；（2）解：∵为方程的两个实数根，∴，．∵∴，∴∴．将，代入，得：，解得：，∴k的值为或．19．如图，在长为32米，宽为20米的长方形地面上修筑同样宽的小路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．若要使小路的总面积为100平方米，则这条小路的宽为多少米？

【答案】这条小路的宽为2米【分析】本题考查了一元二次方程的应用，将竖直方向的道路平移到矩形地面的右侧，将水平方向的道路平移至矩形的下方，运用面积公式得出一元二次方程，求解即可，运用平移的方式将原图形进行转化是解本题的关键．【详解】解：设这条小路的宽为米，

则，整理，得，解得或（不符合题意，舍去）．答：这条小路的宽为2米．20．某排球俱乐部计划组织一次女子排球邀请赛，采用单循环赛制（参赛的每两个队之间都要比赛一场），根据场地和时间等条件，赛程计划7天完成，每天安排4场比赛．(1)比赛组织者应计划邀请多少个队参赛？(2)如果比计划多邀请2个队参赛，每天安排5场比赛，那么至少需要多少天完成比赛？【答案】(1)比赛组织者应计划邀请8个队参赛(2)至少需要9天完成比赛【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，（1）设比赛组织者应计划邀请个队参赛，则每个队伍比赛场，根据题意列出方程，即可解答；（2）设至少需要天完成比赛，根据（1）中解题思路，列不等关系即可解答；解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．【详解】（1）解：设比赛组织者应计划邀请个队参赛，则每个队伍比赛场，根据题意可得，解得（舍去），故比赛组织者应计划邀请8个队参赛；（2）解：根据题意可得邀请个队伍参赛，则每个队伍比赛场，设至少需要天完成比赛，可得，解得，故至少需要9天完成比赛．21．2023年杭州亚运会吉祥物组合名为“江南忆”，吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商家销售吉祥物进价为15元，促销前销售单价为25元，平均每天能售出80件；根据市场调查，销售单价每降低1元，平均每天可多售出40件．(1)若每件商品降价x元，则商店每天的平均销量是件（用含x的代数式表示）；(2)不考虑其他因素的影响，若商店平均每天至少要销售该商品200件，平均每天的利润达到1280元，每件商品的定价应为多少元？【答案】(1)(2)每件商品定价应为19元【分析】（1）根据销售单价每降低1元，平均每天可多售出40件，即可写出每天的平均销量；（2）根据题意列出一元二次方程，即可求解．此题主要考查一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意列出商店每天的平均销量．【详解】（1）∵销售单价每降低1元，平均每天可多售出40件，每件商品降价x元，∴商店每天的平均销量是件故答案为：；（2）设每件商品降价元，根据题意，得：，解得：，因为，则舍去，所以，，所以，每件商品定价应为19元．22．在一块长宽的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半，如图（1）所示的是小明的设计方案，其中花园四周小路的宽度相等，通过解方程，小明得到小路的宽为或．如图（2）所示的是小颖的设计方案，其中在荒地中每个角上的扇形都相同．(1)你认为小明的结果对吗？为什么？(2)你能帮小颖求出图（2）中的吗？（取，结果精确到0.1）(3)你还有其他设计方案吗？【答案】(1)小明的结果不对(2)(3)见解析【分析】本题考查了一元二次方程的应用；（1）按小明的思路，利用矩形的面积公式列方程，解答验证；（2）花园中每个角上的扇形相同，和在一起正好是一个圆，根据圆的面积公式列方程，进行解答，从而求出半径；（3）答案不唯一，符合要求即可．【详解】（1）解：设小路的宽为，则，解得：，或(舍去)．∴，故小明的结果不对．（2）解：四个角上的四个扇形可合并成一个圆，设这个圆的半径为，故有，解得：m（负值舍去）．（3）解：依此连结各边的中点得如图的设计方案．23．阅读材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法，配方法是完全平方公式的逆用，即．例如二次三项式通过配方法可以变成三种形式：①（余常数项），②（余一次项），③（余二次项）．诸根据阅读材料解决下列问题：(1)填空：将二次三项式配方为：______（余常数项），______（余一次项），______（余二次项）；(2)已知方程的两根是和，不解方程，求下列代数式的值；①．

②；(3)已知，求的值．【答案】(1)；；(2)①；②(3)4【分析】（1）仿照例题写出三种不同形式的配方；（2）利用根与系数的关系公式，求得的值，再利用完全平方公式进行变形，即可解答；（3）将式子的左边配方，根据非负数的性质求得的值，进而即可求解．【详解】（1）解：；；，故答案为：；；；（2）解：由得：，，①根据完全平方公式可得；②；（3）解：，可得，解得，．【点睛】本题考查了配方法的应用，一元二次方程中根与系数的关系，熟记，掌握配方法是解题的关键．24．如图1，在等腰三角形中，，，有两动点P、Q分别在边、上运动，点P的速度为每秒1个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点A和点B同时出发，点P沿线段按方向向终点B运动，点Q沿线段按方向向终点C运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒，请解答下列问题：(1)如图1，当t为何值时，；(2)当t为何值时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似；(3)点P、Q在运动过程中，是否存在这样的t，使得的面积等于4？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在，【分析】（1）根据平行线的性质判定，得到，表示出，，代入比例式，解方程即可；（2）分和分别讨论即可；（3）过P作，垂足为D，作边上的高，利用三线合一和勾股定理求出，证明，得到，表示出，再根据三角形的面积得出关于t的方程，解之即可．【详解】（1）解：当时，，∴，∵，，∴，，∴，解得：，当时，；（2）∵，，，∴当时，同（1）可得：；当时，，即，解得：；综上：当或时，以点P、B、Q为顶点的三角形与相似；（3）存在，理由是：如图，过P作，垂足为D，作边上的高，∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，即，∴，∴，解得：或，当时，，故不合题意，∴，即存在，使得的面积等于4．【点睛】本题考查了三角形综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形三线合一，解一元二次方程，分类讨论．25．如图，已知抛物线交x轴于两点，交y轴于点C，点P是抛物线上一动点，连接．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使最大？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)连接，若，求点P的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为(2)存在点Q，理由见解析，点Q的坐标为．(3)点P的坐标为)或(，)或(，)．【分析】（1）直接运用待定系数法即可解答即可；（2）如图：延长交对称轴于点Q，连接，则最大，再求出点C的坐标，由待定系数法可得的解析式为，最后根据二次函数的性质求得最大时点Q的坐标即可；（3）如图：过点P作轴交于点F，连接，再求得，，进而得到直线BC的解析式为，设点P的坐标为(m，),则点F的坐标为(m，)，则，再结合可得，然后解绝对值求得m的值即可解答．【详解】（1）解：∵抛物线交x轴于两点，∴，解得：，

∴抛物线的解析式为．（2）解：存在点Q．理由如下：如图：延长交对称轴于点Q，连接，则最大，令，则∴，∵，∴运用待定系数法可得直线的解析式为

∵对称轴为，∴当时，，∴点Q的坐标为．

……（3）解：如图：过点P作轴交于点F，连接，∵，∴运用待定系数法可得直线BC的解析式为，

设点P的坐标为(m，),则点F的坐标为(m，)∴，

∵，∴，即,整理得：，∴，由得，∴此时点P的坐标为(，)，由得，，∴此时点P的坐标为(，)或(，),综上所述，点P的坐标为(，)或(，)或(，)．【点睛】本题主要考查的是求二次函数解析式、二次函数的最值、三角形的面积、解一元二次方程等知识点，过硬的运算能力是解题的关键．26．【阅读材料】配方法不仅可以解一元二次方程，还可以用来求“最值”问题．例如：求代数式的最值．解：因为（分离常数项）（提二次项系数）（配方）所以当时，代数式取得最小值3．再如：求代数式的最值．解：因为所以当时，代数式取得最大值．（1）【材料理解】时，代数式的最“大”或“小”值为．（2）【类比应用】试判断关于的一元二次方程实数根的情况，并说明理由．（3）【迁移应用】如图，有一块锐角三角形余料，它的边厘米，高厘米．现要用它裁出一个矩形工件，使矩形的一边在上，其余的两个顶点分别在、上．①设，试用含的代数式表示矩形工件的面积；②运用“配方法”求的最大值．【答案】（1），大，；（2）两个不相等的实数根，（3）①；②当的长度是6厘米时，矩形零件的面积最大，最大面积为24平方厘米．【分析】本题考查了配方法的应用和相似三角形的应用，（1）根据阅读材料解答即可；（2）先计算出一元二次方程根的判别式△，然后运用配方法判断取值范围即可判定根的情况；（3）①设的长度是厘米，的长度是厘米时，根据四边形为矩形，得出，进而证得，列出比例式证得与之间的函数关系式为，然后根据矩形面积求出解析式，②利用配方法即可求解．【详解】解：（1）【材料理解】：时，代数式的最大值为．故答案为：，大，；（2）【类比应用】：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．理由如下：△，当时，△有最小值为8，即△，关于的一元二次方程有两个不相等的实数根；（3）【迁移应用】：①设的长度是厘米，的长度是厘米时，四边形为矩形，，，，，