广西七地市2025届高三上学期摸底测试数学试卷

2025届普通高中毕业班摸底测试数学试卷注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上，2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。小本试卷主要考试内容：高考全部内容。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，，则A. B. C. D.2.曲线在点处的切线斜率为A.9 B.5 C.-8 D.103.若向量，，且，，三点共线，则A. B. C. D.4.在四棱锥中，“”是“平面”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.A.1 B.i C.-1 D.-i6.已知双曲线的左、右焦点分别为，，为右支上一点，为坐标原点，为线段的中点，为线段上一点，且，则A.3 B. C.4 D.57.定义在上的坷函数在上单调递增，且，则不等式的解集为A. B.C. D.S.若数列、满足，，，则数列的前50项和为A.2500 B.2525 C.2550 D.3000二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.广西壮族自治区有7个市区的面积大于1.3万平有千米，这7个市区为南宁市（22100平方千米）、柳州市（18596平方千米），桂林市（27800平方千米），百色市（36300平方千米），河池市（33500平方千米）。来宾市（13411平方千米）。崇左市（17332平方千米），这7个市区的面积构成一组数据，则A.这组数据的极差为22889平方千米 B.这组数据的中位数对应的市区为桂林市C.这组数据的第40百分位数对应的市区为柳州市 D.这组数据中，大于1.8万平方千米的频率为10.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角.角度用弧度制表示.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，故其各个顶点的曲率均为.如图，在正方体中，，则A.在四面体中，点的曲率为B.在四面体中，点的曲率大于C.四面体外接球的表面积为D.四面体内切球半径的倒数为11.已知函数，则A.的艰大值为B.的最小正周期为C.曲线关于直线轴对称D.当时，函数有9个零点三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.________________.13.的展开式中，各项系数之和为________________，项的系数为________________.14.两条都与轴平行的直线之间的距离为6，它们与抛物线和圆分别交于点，和，，则的最大值为________________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）在中，，，分别是内角，，的对边，且，.（1）求；（2）求的最小低.16.（15分）在六面体中，平面，，且底面为菱形.（1）证明：平面.（2）若，，.求平面与平面所成二面角的正弦值.7.（15分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若存在最大值，且最大值小于0，求的取值范围。18.（17分）甲、乙两个口袋都装有3个小球（1个黑球和2个白球）.现从甲、乙口袋中各取1个小球交换放入另外一个口袋（即甲口袋中的小球放入乙口袋，乙口袋中的小球放入甲口袋），交换小球次后，甲口袋中恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为。（1）求，；（2）求，；（3）求数列的通项公式，并证明.19.（17分）若一个椭圆的焦距为质数，且离心率的倒数也为质数，则称这样的椭圆为“质朴椭圆”.（1）证明：椭圆为“质朴椭圆”.（2）是否存在实数，使得椭圆为“质朴椭圆”？若存在，求的值；若不存在，说明理由.（3）设斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，且与交于，两点，，试问是否为“质朴椭圆”，说明你的理由.

2025届普通高中毕业班摸底测试数学试卷参考答案1.D【解析】本题考查集合的交集与并集，考查数学运算的核心素养.依题意可得是的一个真子集，则，。2.A【解析】本题考查导数的几何意义，考查数学运算的核心素养.，当时，.3.B【解析】本题考查平面向量的共线，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.由，，三点共线，得，得，解得.4.C【解析】本题考查空间中直线、平面的平行关系与充分必要条件的判断，考查逻辑推理的核心素养与空间想象能力.由，平面，平面，得平面.由平面，平面，平面平面，得.故“”是“平面”的充要条件.5.B【解析】本题考查复数的运算与三角恒等变换，考查数学运算的核心素养..6.C【解析】本题考查双曲线的定义的运用，考查直观想象的核心素养.因为为右支上一点，所以.因为为坐标原点，为线段的中点，所以，，则.7.D【解析】本题考查函数的奇偶性、单调性与不等式的综合，考查数学抽象、逻辑推理的核心素养与分类讨论的数学思想.依题意可得，在上单调递增，且，由，得或则.8.C【解析】本题考查等差数列，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.因为，，所以，，所以，所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，所以数列的前50项和为.9.ACD【解析】本题考查统计，考查应用意识与数据处理能力.这组数据（单位：平方千米）按照从小到大的顺序排列为13411，17332，18596，22100，27800，33500，36300，所以这组数据的极差为平方千米，A正确.这组数据的中位数22100平方千米，中位数对应的市区为南宁市，B错误.因为，所以这组数据的第40百分位数为18596平方千米，第40百分位数对应的市区为柳州市，C正确.这组数据中，大于1.8万平方千米的有5个，所以大于1.8万平方千米的频率为，D正确.10.ABD【解析】本题考查立体几何初步与新定义的综合，考查逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养.在正方体中，易证为正三角形，，.在四面体中，点的曲率为，A正确.在正方体中，，，，在四面体中，点的曲率为，B正确.四面体外接球的半径即为正方体外接球的半径，四面体外接球的表面积为，C错误.四面体的体积，四面体的表面积，四面体内切球的半径，D正确.11.BC【解析】本题考查三角函数的图象及其性质，考查逻辑推理与直观想象的核心素养.，当时，取得最大值，且最大值为，A错误.因为的最小正周期均为，所以的最小正周期为，B正确.因为，所以曲线关于直线轴对称，C正确.令，得，则，结合函数）的图象（图略），可知方程在上有8个不同的实根，D错误.12.-1【解析】本题考查对数的运算，考查数学运算的核心素养.13.0；-5【解析】本题考查二项式定理，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.令，得，含的项为.14.【解析】本题考查抛物线、圆与导数的应用，考查数学建模与直观想象的核心素养.设直线的方程为，则直线的方程为，则.令，则.设，则.令，得；令，得.所以，则.15.解：（1）因为，所以，……4分因为，所以.……6分（2）因为，所以，……8分所以.……9分由，得，则，……11分当且仅当时，等号成立.……12分所以c的最小值为-1.……13分16.（1）证明：因为四边形ABCD为菱形，所以.……2分又平面ABCD，所以.……4分因为，所以平面.……6分（2）解：由题意得，.以菱形的中心为坐标原点，，的方向分别为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，.……8分所以，.……9分设平面的法向量为，则，，即……10分令，得.……11分易知平面的一个法向量为，……12分则，……14分所以平面与平面所成二面角的正弦值为.……15分17.解：（1）显然，的定义域为，……1分.……2分当时，在上单调递增.……4分当时，令，得，令，得，……6分所以在上单调递增，在上单调递减.……8分（2）由（1）知，当且仅当时，存在最大值，……9分且最大值为.……11分设，则，所以为增函数，……13分又，……14分所以由，得，则的取值范围为.……15分18.解：（1）第1次换球后甲口袋中有2个黑球，即从甲口袋取出的为白球且从乙口袋取出的为黑球，则.……1分第1次换球后甲口袋中有1个黑球，即从甲、乙口袋取出的同为白球或同为黑球，得.……3分（2）若第2次换球后甲口袋中有2个黑球，则当第1次换球后甲口袋中有1个黑球时，第2次甲口袋取白球且乙口袋取黑球，当第1次换球后甲口袋中有2个黑球时，第2次甲、乙口袋同取白球，所以.……5分若第2次换球后甲口袋中有1个黑球，则当第1次换球后甲口袋中有0个黑球时，第2次甲口袋取白球且乙口袋取黑球，当第1次换球后甲口袋中有1个黑球时，第2次甲、乙口袋同取白球或同取黑球，当第1次换球后甲口袋中有2个黑球时，第2次甲口袋取黑球且乙口袋取白球，所以.……8分（3）第次换球后，甲口袋中的黑球个数为1的情形有：（1）若第次换球后甲口袋中有2个黑球，则第次甲口袋取黑球且乙口袋取白球；（2）若第次换球后甲口袋中有1个黑球，则第次甲、乙口袋同取黑球或同取白球；（3）若第次换球后甲口袋中有0个黑球，则第次甲口袋取白球且乙口袋取黑球.所以.……10分设，则，则，得.……12分又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，……13分所以，即.……14分所以……15分.……17分19.（1）证明：由得，所以，，………………1分则，，所以，……2分所以椭圆的焦距为3，是质数，离心率的倒数为5，也是质数，所以椭圆为“质朴椭圆”.……3分（2）解：椭圆的焦距为，离心率.…