四川省达州市开江县讲治镇宝石初级中学 2024-2025学年 八年级上学期数学试题（一 ）

密封线学校班级密封线学校班级姓名学号密封线内不得答题A卷B卷总分题号一二三一二得分本卷满分150分，考试时间：120分钟A卷（满分100分）选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分。每小题有且只有一个正确答案，请正确答案的序号填入题后的括号内）1.如图,有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面、求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是x尺,根据题意,可列方程为()A.B.C.D.2.如图，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，较大两个正方形的面积分别为169和144，则最小正方形A的边长是()A.25 B.1 C.12 D.53.如图,在与水平面成角的斜坡上有两棵一样高的柳树,两棵树水平距离,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,至少飞了()米.A.4 B.6 C.8 D.104.如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至C处时(即水平距离，)，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是()A. B. C. D.5.如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在处，交AD于E，，，则DE的长为()A.3 B.4 C.5 D.66.在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章中有一题：“今有开门去阃(kǔn)一尺，不合二寸，问门广几何？”大意是说：如图，推开双门(和)，门边缘D，C两点到门槛的距离为1尺(1尺寸)，双门间的缝隙为2寸，那么门的宽度(两扇门的和)为()A.103寸 B.102寸 C.101寸 D.100寸7.如图所示的网格是正方形网格,和的顶点都是网格线交点,那么的度数为()A. B. C. D.8.如图，在中，，，点D，E分别在边及其延长线上，，F为外一点，且，，则结论：①；②；③；④，其中正确的是()A.①②③④ B.①②④ C.①③④ D.①②二、填空题（本大题共5小题,每小题4分,共20分)9.观察下列几组勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③7、24、25；④9、40、41；…根据上面的规律,写出第8组勾股数：______.10.已知三角形三边长分别为6,8,10,则此三角形的面积为______.11.定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形.现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，相交于点O，若，，则_____.12.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆处，发现此时绳子末端距离地面，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计).13.如图,在四边形中,,分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形,面积分别记为,,,.若,,则______.三.解答题（本题共5小题，满分48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）14.（9分）如图，一块草坪的形状为四边形ABCD，其中，，，，，求这块草坪的面积.15.（9分）如图，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10点E是CD的中点，求AE的长．16.（9分）如图，在中，，，，垂足为点D，点E是边上一点，连接，若，，求的长.17.（10分）如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口A出发，客船每小时比货船多走5海里，客船与货船速度之比为，货船沿南偏东80°方向航行，2小时后，货船到达B处，客船到达C处，此时两船相距50海里.（1）求两船速度分别是多少？（2）求客船航行方向.18.（11分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，点E在直线BC上（点E不与点B，C重合），连接DE，过点D作DF⊥DE交直线（1）如图1，当点F与点A重合时，请直接写出线段EF与BE的数量关系：．（2）如图2，当点F不与点A重合时，请写出线段AF，EF，BE之间的数量关系，并说明理由；（3）若AC=5，BC=3，EC=1B卷（满分50分）一.填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）19.如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，DE平分∠ADC，交AC与点E，EF⊥AB于点F，且交AD于点G，若AG=120．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，D为斜边AB上的一动点(不包含A，B两端点)，沿CD折叠，点A落在点A'处，A'C与AB相交于点E若A'D∥BC，则A'E的长为。21．如图，△ABC中，∠A＝90°，角平分线BD、CE交于点I，IF⊥CE交CA于F，下列结论：①∠DIF＝45°；②CF+BE=BC；③若AB＝3，AC＝4，则AF=34.其中正确的是22．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称.若D为AB中点，AB＝13，BC＝10，求CE＝，AF＝.23．在直线上依次摆着七个正方形（如图），已知斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积是S1，S2，S3，S4，则S二.解答题（本题共3小题，满分30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）24.（8分）现用4个全等的直角三角形拼成如图所示的“弦图”.在中,,若,,,请你利用这个图形解决下列问题：(1)证明：；(2)若拼成的大正方形面积为169,小正方形的面积为49,求的值.25.（10分）勾股定理的证明与计算在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用以下图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”.实际上它也可用于验证数与代数，图形与几何等领域中的许多数学公式和规律.(1)右面图形都是用四个全等的直角三角形拼成一个正方形，从中选择一个图形证明勾股定理，写出证明过程.(2)它体现的数学思想是()A.统计思想 B.分类思想 C.数形结合思想 D.函数思想(3)如图，将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，其中，求证：.证明：如图所示：连接，过点B作，交延长线于点F，则请补全证明过程：26.（12分）阅读材料：勾股定理本身就是一个关于a、b、c的方程,我们知道这个方程有无数组解,满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组,关于勾股数组的研究我国历史上有非常辉煌的成就,根据《周髀算经》记载,在约公元前1100年,人们就已经知道“勾广三、股修四、径隅五”(古人把较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,而斜边则为弦),即知道了勾股数组.类似地,还可以得到下列勾股数组：,,,…,等等,这些数组也叫做毕达哥拉斯勾股数组,上述勾股数组的规律,可以用下面表格直观表示：勾股数组各数组的和和的另一表示法和与最小数的差股弦3,4,5125,12,13307,24,2556观察分析上述勾股数组,可以看出它们具有如下特点：特点1：最小的勾股数的平方等于另两个勾股数的和；特点2：______.…回答问题：(1)请你再写出上述勾股数组的一个特点：______；(2)如果n表示比1大的奇数,则上述勾股数组可以表示为；(3)请你证明(2)中的三个式子是勾股数组.2024年秋宝石初中八年级数学单元测试题一答案本卷满分150分，考试时间：120分钟A卷（满分100分）选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分。每小题有且只有一个正确答案，请正确答案的序号填入题后的括号内）1.答案：C解析：设芦苇的长度是x尺,由题意可得,,故选：C.2.答案：D解析：根据图形，直角三角形的边长的平方刚好为对应正方形的面积，∴直角三角形的斜边平方为169，一条直角边的平方为144，∴另一条直角边的平方为，∴最小正方形A的面积是25，边长为5；故选：D.3.答案：C解析：由题意得：,∴∵,,∴(负值舍去)∴∴小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,至少飞了8米。故选：C.4.答案：B解析：设，则，又，在中，，得：解得：故选：B.5.答案：C解析：四边形ABCD是矩形，，由折叠的性质可得：；在与中（AAS）设，则，，在直角三角形ABE中，由勾股定理得：解得故选：C.6.答案：C解析：设，过D作于E，则，，.在中，，即，解得.故门的宽度(两扇门的和)AB为101寸.故选：C.7.答案：B解析：如图,连接AD,BE,根据题意得：,,,,,,∴,,,∴,,∴,∴.故选：B.8..答案：A解析：，，，，，，，，，，，即，在和中，，，故①正确；连接，如图：，，在中，，，，，，，，，，故②正确；延长交于H，如图：，，，，，故③正确；在中，，，，，，，，故④正确，综上所述，正确的有①②③④，故选：A.二、填空题（本大题共5小题,每小题4分,共20分)9.答案：17,144,145解析：①,,.②,,.③,,.④,,……则第n组勾股数的第一个数为:,第二个数为:,第三个数为:,第8组勾股数为:17,144,145,故答案为:17,144,145.10.答案：24解析：∵,∴此三角形为直角三角形,∴此三角形的面积为：.故答案为：24.11.答案：61解析：∵是“垂美”四边形，∴，∴，故答案为：61.12.答案：解析：设旗杆高度为，过点C作于B，则，，在中，即，解得：，即旗杆的高度为17米.故答案为：.13.答案：86解析：如图,连接.由题意,得,,,.在中,由勾股定理得.在中,由勾股定理得..,故答案为：86.三.解答题（本题共5小题，满分48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）14.答案：这块草坪的面积为36平方厘米解析：连接AC，∵在中，，，，∴，，，∴，即是直角三角形，∴草坪面积.即这块草坪的面积为36平方厘米.15.答案：AE=6.5．解析：解：如图，延长AE交BC于F．∵AB⊥BC，AB⊥AD，∴AD∥BC∴∠D=∠C，∠DAE=∠CFE，又∵点E是CD的中点，∴DE=CE．∵在△AED与△FEC中，∠D=∠C∠DAE=∠CFE∴AE=FE，AD=FC．∵AD=5，BC=10．∴BF=5在Rt△ABF中，AF＝AB2∴AE=12AF=6.516.答案：的长为解析：，，.是直角三角形，且..，.设，则.在中，由勾股定理，得，即，解得，的长为.17.答案：（1）客船与货船的速度分别是20海里/小时和15海里/小时（2）客船航行的方向为北偏东10°方向解析：（1）设客船与货船的速度分别是海里/小时和海里/小时，依题意得，.解得，，，客船与货船的速度分别是20海里/小时和15海里/小时；（2）由题可得，，，，，是直角三角形，且，又货船沿南偏东方向航行，客船航行的方向为北偏东方向.答案：（1）EF【解答】解：（1）∵垂直平分AB，∴EF=（2）解：结论：AF理由：如图2中，过点A作AJ⊥AC交ED的延长线于J，连接FJ，∵AJ⊥AC，EC⊥AC，在△AJD和△∠AJD=∠DEB∴AJ=BE，DJ=DE，∵∴AF2（3）解：AF的长为115或1解析：如图3-1中，当点E在线段BC上时，设AF=x，则∵BC=3，CE=1，∵E∴x2+22如图3-2中，当点E在线段BC的延长线上时，设AF=x，则CF∵BC=3，CE=1∵E∴x2+42综上所述，满足条件的AF的长为115或1B卷填空题（本题共5小题，每小题4分，满分20分）19.答案：4【解析】【解答】解：如图，连接BG，∵AB=AC，由等腰三角形的性质可得：∠BAD∵EF⊥AB，∴∠∴∠AGF=∠B=∠C，∵∵DE平分∠ADC，∴∠在△DEG和△∵∠C=∠EGD，∠∴△DEG≌△DEC(AAS)，∴DG=CD=3，∵AG=1S△ABG=12在△AFG中，由勾股定理得：AF=20．【答案】8【解析】【解答】解：连接A'D因为A'D∥BC所以∠B=∠A'DE

由折叠可得：∠A=∠A'由等面积法可得：12AC×BC=12AB×CE，解得：CE21．【答案】①②【解析】【解答】解：解：如图，延长FI交BC于M，作EH⊥BC于H，

∵∠A＝90°，角平分线CE、BD交于点I，

∴∠IBC+∠ICB=（∠ABC+∠ACB）=45°，

∴∠BIE=∠DIC=∠IBC+∠ICB=45°，

∵IF⊥CE，

∴∠DIF=45°，∠FIC=∠MIC=90°，故①正确；

∵∠FIC=∠MIC=90°，∠FCI=∠MCI，CI=CI，∴△FCI≌△MCI（ASA），∴CF=CM，

∵∠MIB=∠EIB=45°，BI=BI，∠EBI=∠MBI，∴△MBI≌△EBI（ASA），∴BE=BI，

∴BC=MB+CM=BE+CF，故②正确；

∵AB＝3，AC＝4，∠A＝90°，∴BC=5，∵EA⊥AC，EH⊥BC，EC平分∠ACB，∴EA=EH，

∵△ACE的面积=12AC·EA，△BCE的面积=12BC·EH，∴AE：BE=AC：BC=4：5，

∵AE+BE=AB=3，∴BE=53，BM=53，∴CF=CM=5-53=103，∴AF=4-10故答案为：①②.22．【答案】5；119【解析】【解答】解：连接BF，如下图，∵点B和点F关于直线DE对称，∴BD=FD，BE=EF，

∵D为AB中点，∴∴∠