经典控制伺服系统设计

经典控制伺服系统设计在经典控制理论中，我们通常按前馈传递函数中的积分器数目来划分系统的类型，如0型系统、I型系统等。I型系统在前馈通道中有一个积分器，且此系统的阶跃响应不存在稳态误差。本节将讨论I型伺服系统的极点配置方法，此时，将假定系统只有一个纯量控制输入u和一个纯量输出y，即仅考虑单输入单输出线性定常系统。所谓伺服系统是用来控制被控对象的某种状态，使其能自动地、连续地、精确地复现输入信号地变化规律，通常是闭环控制系统。下面首先讨论针对I型被控对象(被控对象含积分器)的I型闭环伺服系统的设计问题，然后讨论针对0型被控对象(被控对象不含积分器)的I型闭环伺服系统的设计问题。1被控系统具有积分器的I型闭环伺服系统 考虑由下式定义的线性定常系统 (5.89) (5.90)式中，。如前所述，假设控制输入u和系统输出y均为纯量。选择一组适当的状态变量，例如可以选择输出量等于其中的一个状态变量，这里假定输出量y等于x1。图5.9给出了被控系统具有一个积分器时I型伺服闭环系统的一般结构。这里，假设y=x1。在分析中，假设参考输入r是阶跃函数。图5.9被控系统具有一个积分器的I型闭环伺服系统在此系统中，采用如下的状态反馈控制规律(5.91)式中假设在t=0时施加参考输入（阶跃函数）。因此t>0时，该系统的动态特性由式（5.89）和（5.91）描述，即(5.92)设计I型闭环伺服系统，使得闭环极点配置在期望的位置。这里设计的将是一个渐近稳定系统，y()趋于常值r(r为阶跃输入)，u()趋于零。在稳态时， (5.93)注意，r（t）是阶跃输入。对t>0，有r()=r(t)=r(常值)。用式（5.92）减去（5.93），可得 (5.94)定义因此，式（5.94）成为 (5.95)式（5.95）描述了误差动态特征。因此，I型闭环伺服系统的设计转化为：对于给定的任意初始条件e(0),设计一个渐近稳定的调节器系统，使得e(t）趋于零。如果由式（5.89）确定的系统是状态完全能控的，则对矩阵A-BK，通过指定的期望特征值μ1，μ2，…,μn，可由5.2节介绍过的极点配置方法来确定线性反馈增益矩阵K。x(t)和u(t)的稳态值求法如下：在稳态（）时，由式（5.92）可得由于A-BK的期望特征值均在s的左半平面，所以矩阵A-BK的逆存在。从而，x()可确定为同样，u()可求得为------------------------------------------------------------------------------[例5.7]考虑被控系统传递函数具有一个积分器时的I型闭环伺服系统的设计。假设被控系统的传递函数为试设计一个I型闭环伺服系统，使得闭环极点为。假设该系统的结构与图5.9所示相同，参考输入r是阶跃函数。[解]定义状态变量x1,x2和x3为，，则该被控系统的状态空间表达式为(5.96) (5.97)式中参见图5.9并注意到n=3，则控制输入u为(5.98)式中此时，就可用极点配置方法确定状态反馈增益矩阵K。现检验系统的能控性矩性。由于的秩为3。因此，该系统是状态完全能控的，并且可任意配置极点。将式（5.98）代入式（5.96），可得 (5.99)式中的r为阶跃函数。因此，当t趋于无穷时，x(t)趋于定常向量x()。在稳态时， (5.100)从式（5.99）减去式（5.100），可得定义那么 (5.101)式（5.101）确定了误差的动态特性。给定被控系统的特征方程为因此由于A-BK的期望特征值为所以期望的特征方程为因此为了利用极点配置方法来确定矩阵K，采用式（5.13），将其重写为(5.102)由于式（5.96）已是能控标准形，所以P=I。因此该系统的阶跃响应容易由计算机仿真求得。由于由式（5.99），可得此闭环反馈系统的状态方程为(5.103)输出方程为(5.104)当r为单位阶跃函数时，求解式（5.103）和（5.104），即可得到y(t)对t的单位阶跃响应曲线。利用MATLABProgram5.9，将可轻松地求出单位阶跃响应。相应的单位阶跃响应曲线如图5.10所示。 注意到，因此由式（5.100），可得MATLABProgram5.9%------Unit-stepresponse------%*****EnterthestatematrixA,controlmatrixB,outputmatrixC，%anddirecttransmissionmatrixD*****A=[010;001;-160-56-14];B=[0;0;160];C=[100];D=[0];%*****Enterstepcommandandplotcommand*****t=0:0.01:5;y=step(A,B,C,D,1,t);plot(t,y)gridtitle(‘Unit-StepResponse’)xlabel(‘tSec’)ylabel(‘Outputy’)图5.10例5.7设计的系统之y(t)对t的单位阶跃响应曲线由于所以显然，。在阶跃响应中没有稳态误差。注意，由于所以即在稳态时，控制输入u为零。------------------------------------------------------------------------------2被控系统中不含积分器时的I型闭环伺服系统的设计 如果被控系统中没有积分器（0型被控系统），则设计I型闭环伺服系统的基本原则是在误差比较器和系统间的前馈通道中插入一个积分器，如图5.11所示（当不含积分器时，图5.11所示方块图是I型闭环伺服系统的基本形式）。由图中可得(5.105)(5.106)(5.107)(5.108)式中，。假设由式（5.105）定义的系统是状态完全能控的。该系统的传递函数为图5.11I型闭环伺服系统为了避免插入的积分器在系统原点处与零点有相约的可能，假设在原点处没有零点。 假设在t=0时施加参考输入（阶跃函数），则对t>0，该系统的动态特性可由式（5.105）和（5.108）的组合来描述，即(5.109)试设计一个渐近稳定系统，使得、和分别趋于常值。因此，在稳态时，，并且。注意，在稳态时(5.110)其中r(t)为阶跃输入，从而对t>0，r()=r(t)=r（常值）。从式（5.109）中减去式（5.110），可得(5.111)定义则式（5.111）可改写为(5.112)式中(5.113)由定义一个新的n+1维误差向量e(t)，因此式（5.112）成为(5.114)式中且式（5.113）成为(5.115)这里设计I型闭环伺服系统的基本思想是设计一个稳定的n+1阶调节器系统，对于给定的任意初始条件e(0)，使新的误差向量e(t)趋于零。式（5.114）和（5.115）描述了该n+1阶调节器系统的动态特征。如果由式（5.114）定义的系统状态完全能控，则通过指定该系统的期望特征方程，利用在5.2节中介绍的极点配置方法，即可确定矩阵。x(t)、ξ(t)和u(t)的稳态值可确定如下：在稳态（）时，由式（5.105）和（5.108）可得将上述两式合并为如下向量-矩阵方程为如果由 (5.116)定义的矩阵的秩为n+1，则其逆存在，并且同样地，由式（5.107）可得因此注意，如果由式（5.116）给出的矩阵的秩为n+1，则由式（5.114）定义的系统状态完全能控（参见例5.15），该问题的解可利用极点配置方法求得。状态误差方程可通过将式（5.115）代入式（5.114）得到，即(5.117)如果矩阵的期望特征值（即期望闭环极点）