全国统考2025版高考数学大一轮复习第15章数系的扩充与复数的引入1备考试题文含解析

第十五章数系的扩充与复数的引入练好题·考点自测1.[2024全国卷Ⅰ,2,5分][文]若z=1+2i+i3,则|z|=()A.0 B.1 C.2 D.22.[2024全国卷Ⅱ,2,5分][文](1-i)4=()A.-4 B.4 C.-4i D.4i3.[2024浙江,2,4分]已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a=()A.1 B.-1 C.2 D.-24.[2024山东,2,5分]2-i1+2i=()A.1 B.-1 C.i D.-i5.[2024北京,2,4分]在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),则i·z=()A.1+2i B.-2+i C.1-2i D.-2-i6.[2024大同模拟]设x,y∈R,i为虚数单位,且3+4iz=1+则z=x+yi的共轭复数在复平面内对应的点在()A.第一象限 B.其次象限 C.第三象限 D.第四象限7.[2024江西抚州高三第一次联考]若复数z满意|z+3-4i|=2,则z·z的最大值为()A.9 B.81 C.7 D.498.[2024河南名校第一次联考]如图15-1,在平行四边形OABC中,顶点O,A,C在复平面内分别表示0,3+2i,-2+4i,则点B对应的复数为()A.1+6i B.5-2iC.1+5i D.-5+6i图15-19.[2024浙江,12,6分]已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=,ab=.

拓展变式1.(1)[2024全国卷Ⅲ,2,5分]复数11-3i的虚部是()A.-310 B.-110 C.(2)[2024全国卷Ⅱ,15,5分]设复数z1,z2满意|z1|=|z2|=2,z1+z2=3+i,则|z1-z2|=.

2.(1)[2024全国卷Ⅲ,2,5分][文]若z(1+i)=2i,则z=()A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i(2)[2024北京,2,5分][文]已知复数z=2+i,则z·z=()A.3 B.5 C.3 D.53.(1)[2024全国卷Ⅱ,2,5分]设z=-3+2i,则在复平面内z对应的点位于()A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限(2)已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面上对应的点分别为A,B,C,若OC=λOA+μOB(λ,μ∈R),则λ+μ的值是.

答案第十五章数系的扩充与复数的引入1.Cz=1+2i+i3=1+2i-i=1+i,所以|z|=12+2.A(1-i)4=[(1-i)2]2=(-2i)2=-4,故选A.3.C因为a-1+(a-2)i是实数,所以a-2=0,所以a=2.故选C.4.D解法一2-i1+2i=(2-i)(1-2解法二利用i2=-1进行替换,则2-i1+2i=-2×(-1)-i1+2i=-25.B由题意知,z=1+2i,所以i·z=i·(1+2i)=-2+i,故选B.6.A由已知可得z=3+4i1+2i=(3+4i)(1-2i)(1+2i)(1-27.D由题意可知,复数对应的点的轨迹是以点A(-3,4)为圆心,半径为2的圆,z·z表示圆上的点到原点的距离的平方,因为|OA|=(-3)2+42=5,所以z·8.A因为OB=OA+OC,所以9.52∵(a+bi)2=a2-b2+2abi=3+4i,∴a2-b2=3,2ab=4,解得a=2,b=1或a=-2,b=-1,和虚部同时为零.1.(1)D11-3i=1+3i(2)23解法一设z1=x1+y1i(x1,y1∈R),z2=x2+y2i(x2,y2∈R),则由|z1|=|z2|=2,得x12+y12=x22+y22=4.因为z1+z2=x1+x2+(y1+y2)i=3+i,所以|z1+z2|2=(x1+x2)2+(y1+y2)2=x12+y12+x22+y22+2x1x2+2y1y2=8+2x1x2+2y1y2=(3)2+12=4,所以2x1x2解法二设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=3-a+(1-b)i,则|z1|2=a2+b2=4,|z2|2=(3-a)2+(1-b)2=4,即a2+b2=4,3a+b解法三题设可等价转化为向量a,b满意|a|=|b|=2,a+b=(3,1),求|a-b|.因为(a+b)2+(a-b)2=2|a|2+2|b|2,所以4+(a-b)2=16,所以|a-b|=23,即|z1-z2|=23.2.(1)Dz=2i1+i=(2)D∵z=2+i,∴z=2-i,∴z·z=(2+i)(2-i)=5.故选D.3.(1)C由题意,得z=-3-2i,其在复平面内对应的点的坐标为(-3,-2),位于第三象