江苏省南京市2024高二数学上学期期初联合调研考试试卷

2024－2024学年第一学期期初六校联合调研考试高二数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．过点A（2，3）且与直线l：2x－4y＋7＝0平行的直线方程是（

）A．x－2y＋4＝0 B．x－2y－4＝0 C．2x－y＋1＝0 D．x＋2y－8＝02．已知m，n，l是不重合的三条直线，α，β，γ是不重合的三个平面，则（）A．若m∥n，mα，则n∥αB．若l⊥β，mα，l⊥m，则α∥βC．若mα，nα，m∥β，n∥β，则α∥βD．若α⊥β，γ⊥β，α∩γ＝l，则l⊥βKA1A23．如图，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统，当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、A1、A2正常工作的概率依次是0.9、0.7、0.7，则系统正常工作（KA1A2A．0.441 B．0.782 C．0.819 D．0.94．已知圆锥表面积为6πcm2，且它的侧面绽开图是一个半圆，则圆锥的底面半径为()A．cmB．cmC．cmD．2cm5．点P为x轴上的点，A（－1，2），B（0，3），以A，B，P为顶点的三角形的面积为，则点P的坐标为（

）A．（4，0）或（10，0） B．（4，0）或（－10，0）C．（－4，0）或（10，0） D．（－4，0）或（11，0）6．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次放射一枚炮弹，设事务A＝{两弹都击中飞机}，事务B＝{两弹都没击中飞机}，事务C＝{恰有一弹击中飞机}，事务D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是()A．A⊆DB．B∩D＝C．A∪B＝B∪DD．A∪C＝D7．若直线l：y＝x＋b与曲线y＝有两个交点，则实数b的取值范围是（

）A．{b|－2＜b＜2}B．{b|2＜b＜2}C．{b|2≤b＜2}D．{b|b＝±2}8．在平面直角坐标系xOy中，已知点P（－3，0）在圆C：x2＋y2＋2mx－4y＋m2－12＝0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为8，则实数的取值范围是（

）A．（3－2，1]∪[5，3＋2） B．[1，5]C．（3－2，3＋2） D．（－∞，3－2）∪（3＋2，＋∞）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学去参与唱歌竞赛，在下列各组事务中，是互斥事务的是（

）A．恰有1名女生和恰有2名女生B．至少有1名男生和至少有1名女生C．至少有1名女生和全是女生D．至少有1名女生和全是男生10．下列说法中，正确的有（

）A．直线y＝ax＋2a＋3（a∈R）必过定点（2，3）B．直线y＝2x－1在y轴上的截距为－1C．直线x－y＋2＝0的倾斜角为60°D．点（1，3）到直线y－2＝0的距离为111．已知圆M：（x＋2）2＋y2＝2，直线l：x＋y－2＝0，点P在直线l上运动，直线PA，PB分别于圆M切于点A，B．则下列说法正确的是（

）A．四边形的面积最小值为B．|PA|最短时，弦AB长为C．|PA|最短时，弦AB直线方程为x＋y－1＝0D．直线AB过定点（，）12．点M是正方体ABCD－A1B1C1D1中侧面正方形ADD1A1内的一个动点，正方体棱长为1，则下面结论正确的是（）A．满意MC⊥AD1的点M的轨迹长度为B．点M存在多数个位置满意直线B1M∥平面BC1DC．在线段AD1上存在点M，使异面直线B1M与CD所成的角是30ºD．若E是棱CC1的中点，平面AD1E与平面BCC1B1所成锐二面角的正切值为2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．同时抛掷两枚骰子，向上点数之和为5的概率为▲．14．四棱锥P－ABCD的各个顶点都在球心为O的球面上，且PA⊥面ABCD，底面ABCD为矩形，PA＝AB＝2，AD＝3，则球O的体积为▲．15．在直线l：2x－y＋1＝0上一点P到点A（－3，0），B（1，4）两点距离之和最小，则点P的坐标为▲.16．在平面直角坐标系xOy中，点A（－2，2），B（－1，1），若直线x＋y－2m＝0上存在点P使得PA＝PB，则实数m的取值范围是▲．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知△ABC的三个顶点分别为A（0，4），B（－2，0），C（－2，2），求：（1）AB边中线所在的直线方程；△ABC的外接圆的方程．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，点E、F分别是棱PC和PD的中点．（1）求证：EF∥平面PAB； （2）若AP＝PD＝2，平面PAD⊥平面ABCD，求直线PB和平面ABCD所成角的正切值.PPFEDABC19.（本小题满分12分）在某亲子嬉戏结束时有一项抽奖活动，抽奖规则是：盒子里面共有4个小球，小球上分别写有1，2，3，4的数字，小球除数字外其他完全相同，每对亲子中，家长先从盒子中取出一个小球，登记数字后将小球放回，孩子再从盒子中取出一个小球，登记小球上数字将小球放回．①若取出的两个小球上数字之积大于8，则嘉奖飞机玩具一个；②若取出的两个小球上数字之积在区间[4，8]上，则嘉奖汽车玩具一个；③若取出的两个小球上数字之积小于4，则嘉奖饮料一瓶．（1）求每对亲子获得飞机玩具的概率；（2）试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率，哪个更大？请说明理由．20．（本小题满分12分）已知直线l：kx－y＋2＋k＝0(k∈R)．（1）若直线不经过第四象限，求k的取值范围；（2）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值和此时直线l的方程．21．（本小题满分12分）C1DABCB1A1如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝CC1＝2，∠C1DABCB1A1（1）求证：平面A1CB⊥平面AC1D；（2）求点C到平面AC1D的距离．（本小题满分12分）已知⊙C的圆心在直线3x－y－3＝0上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，⊙C被直线l：x－y＋3＝0截得的弦长为2．（1）求⊙C的方程；（2）设点D在⊙C上运动，且点T满意eq\o(\s\up8(),DT)=2eq\o(\s\up8(),TO)，(O为原点)记点T的轨迹为．①求的方程；②过点M（1，0）的直线与交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB?若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2024－2024学年第一学期期初六校联合调研考试高二数学答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1－8：ADCBBCCA多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．AD10．BCD11．ABD12．ABD填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．eq\f(1,9)；14eq\f(17eq\r(17)π,6)；15．（1，3）；16．[－eq\r(2)，eq\r(2)]．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）AB中点M（－1，2），……2kCM＝0，所以中线方程为y=2……4（2）解法一：设外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）eq\b\lc\{(\a\al(16＋4E＋F＝0，,4－2D＋F＝0，,8－2D＋2E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\al(D＝－2，,E＝－2，,F＝－8，))∴x2＋y2－2x－2y－8＝0……10解法二：AB中点M（－1，2），kCM＝2，AB中垂线方程为：y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(3,2)……6BC中垂线y＝1，联立方程组得eq\b\lc\{(\a\al(x＝1，,y＝1．))圆心D（1，1），……8半径AD＝eq\r(10)所以外接圆方程为（x－1）2＋（y－1）2＝10.……1018.证：（1）∵点E、F分别是棱PC和PD的中点∴EF∥CDPFEDABCG又∵四边形ABCD是正方形，∴CD∥PFEDABCG又EF面PAB，AB面PAB∴EF∥面PAB……4（2）取AD中点G，连接PG，BG∵AP＝PD，G是AD中点∴PG⊥AD又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG面PAD∴PG⊥平面ABCD∴∠PBG为直线PB和平面ABCD所成角……8在△PAG中，PG＝eq\r(3)，在△ABG中，BG＝eq\r(5)，∴tan∠PBG＝eq\f(eq\r(15),5)即直线PB和平面ABCD所成角的正切值为eq\f(eq\r(15),5)……1219.解：样本空间Ω＝{(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}共16个样本点．(1)记“获得飞机玩具”为事务A，事务A包含的样本点有(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)共4个．故每对亲子获得飞机玩具的概率为P(A)＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).……4(2)记“获得汽车玩具”为事务B，记“获得饮料”为事务C.事务B包含的样本点有(1，4)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，2)，(4，1)，(4，2)共7个．所以P(B)＝eq\f(7,16)，……8事务C包含的样本点有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(3，1)共5个，所以P(C)＝eq\f(5,16).所以P(B)＞P(C)，即每对亲子获得汽车玩具的概率大于获得饮料的概率．……1220.(1)证：y＝kx＋2＋k，要使直线不经过第四象限，则eq\b\lc\{(\a\al(k≥0，,2＋k≥0．))……2解得k≥0∴k的取值范围为[0，＋∞)……4(2)由题意可得k＞0，kx－y＋2＋k＝0中取y＝0得x＝－eq\f(k＋2,k)；取x＝0得y＝2＋k……6S＝eq\f(1,2)|OA||OB|=eq\f(1,2)eq\f(k＋2,k)（2＋k）=eq\f(1,2)（k＋4＋eq\f(4,k)）≥eq\f(1,2)（2eq\r(k·eq\f(4,k))＋4）=4当且仅当k＝eq\f(4,k)时，即k＝2时取“＝”，……10此时Smin＝4，l：y＝2x＋4……1221.证：（1）四边形为平行四边形，平行四边形为菱形……2三棱柱为直三棱柱平面平面，，，平面平面平面，，……4，，平面，平面，平面，平面平面……6（2）法一：(等体积法)设点到平面的距离为平面，平面，C1DABCBC1DABCB1A1在直角中，CD＝1，AC＝2，∴AD＝eq\r(5)，1……8在直角中，AC＝CC1＝2，∴AC1＝2eq\r(2)在直角中，CD＝1，CC1＝2，∴CD1＝eq\r(5)在等腰中，，……10，点到平面的距离为……12C1DABCB1A1HGC1DABCB1A1HG平面，平面，，平面平面平面，，平面，平面，即为点到平面的距离，……10在直角中，CG=eq\f(2,eq\r(5))；在直角中，，CG=eq\f(2,eq\r(5))点到平面的距离为.……1222.由题意可设圆的圆心为，圆的圆心在直线3x－y－3＝0上，3－b－3＝0，解得：b＝0，即圆心为(1，0)，……2圆心到直线的距离为d＝2，设圆的半径为r，弦长=2=2r2=9圆的标准方程为（x－1）2＋y2＝9.……4(2)①设T(x，y)，D(x’，y’)，则eq\o(\s\up8(),DT)=(x－x’，y－y’)，eq\o(\s\up8(),TO)=(－x，－y)，由eq\o(\s\up8