二维随机变量的边缘分布与联合分布关系探讨分析研究 应用数学管理专业

摘要本文首先理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及其两种基本表达形式：离散型二维随机变量联合概率分布和连续型二维随机变量联合概率密度。掌握已知两个随机变量的联合分布时分别求它们的边缘分布的方法。在文献研究的基础上，运用随机事元和随机事元集合，建立了二维随机变量分布和边缘分布的形式化可拓模型。利用可拓变换和传导变换，结合形式化的可拓推理知识，对二维随机变量在可拓变换下的传导分布模型进行了研究。将随机事元、随机事元集合、可拓变换、可拓推理知识等引入到二维随机变量分布的研究中，使分析更加形式化，逻辑性更强。运用随机事元和随机事元集合建立了二维随机变量分布的可拓模型。本文对这种特例作了深入研究，分析了具有这种性质的二维密度f(x，y)的结构特点与本质，有助于我们更好地了解正态分布的特殊性质。关键词：二维随机变量；边缘分布；联合分布AbstractInthispaper，wefirstunderstandtheconceptandpropertiesofthejointdistributionoftwo-dimensionalrandomvariablesandtheirtwobasicexpressions:jointprobabilitydistributionofdiscretetwo-dimensionalrandomvariablesandjointprobabilitydensityofcontinuoustwo-dimensionalrandomvariables.Themethodoffindingtheedgedistributionofthejointdistributionoftwoknownrandomvariablesismastered.Onthebasisofliteratureresearch，aformalextensionmodeloftwo-dimensionalrandomvariabledistributionandedgedistributionisestablishedbyusingrandomeventelementandrandomelementset.Byusingextensiontransformationandconductiontransformationcombinedwithformalizedknowledgeofextensionreasoning，theconductionanddistributionmodelsoftwo-dimensionalrandomvariablesunderextensiontransformationarestudied.Therandomeventelement，randomeventset，extensiontransformationandextensionreasoningknowledgeareintroducedintothestudyoftwo-dimensionalrandomvariabledistribution，makingtheanalysismoreformalizedandlogical.Theextensionmodelofthedistributionoftwodimensionalrandomvariablesisestablishedbyusingtherandomeventelementandthesetofrandomelement.Thisspecialcaseisstudiedindepth.Thestructureandnatureofthetwo-dimensionaldensityf(x，y)withthispropertyisanalyzed，whichhelpsustobetterunderstandthespecialpropertiesofnormaldistribution.Keywords:two-dimensionalrandomvariables;edgedistribution;jointdistribution目录摘要 IAbstract II1随机变量独立性及其判定 11.1随机变量独立性定义 11.1.1随机变量及随机变量独立性的定义 11.1.2随机变量独立性的两个简单定理 21.2离散型随机变量独立性的判定 41.2.1离散型随机变量判别法一 41.2.2离散型随机变量判别法二 81.3连续型随机变量独立性的判定 121.3.1连续型随机变量判别法一 121.3.2连续型随机变量判别法二 132边缘分布与联合分布关系探讨 162.1二维随机变量的分布函数 162.2二维离散型随机变量 172.3二维连续型随机变量 182.4随机变量的独立性 182.5条件分布 192.6二维随机变量函数的分布 20结论 21致谢 21参考文献 220引言概率论是研究随机现象数量规律的数学分支，而随机现象是相对于决定性现象而言的。由于随机现象的普遍性，使得其在现实生活中具有极其广泛的应用，特别是在科学技术、工业和农业生产等方面。随机变量的联合分布函数，离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布和条件分布，连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度，随机变量的独立性和相关性，常见二维随机变量的联合分布，两个及两个以上随机变量简单函数的概率分布。根据两个随机变量的联合概率分布求其函数的概率分布，会根据多个独立随机变量的概率分布求其函数的概率分布。而随机变量则是指随机事件的数量表现，随机变量的独立性是概率统计中最基本的概念之一，无论在科学理论研究还是在社会生产、生活等实际的应用中都具有非常重要的意义。当前概率论和数理统计很多已有的研究成果都是在随机变量独立性的前提下得到的，因而对随机变量独立性的研究具有非常重要的现实意义。1随机变量独立性及其判定1.1随机变量独立性定义在我们研究随机变量独立性判定时，首先我们需要了解什么是随机变量独立独立性，当然在此之前我们需要了解一个更为具体的概念，即什么是随机变量。随机变量表示随机试验中各种结果的实值单值函数。如某一时间段经过火车站安全门的人数，传真机在一定时间内收到的传真次数等等，都是关于随机变量的实例。1.1.1随机变量及随机变量独立性的定义定义1.1.1设为概率空间，为上定义的实值函数，如果有则称为随机变量。随机变量是上关于可测的实值函数。一般我们省略，将等简写成等。随机变量在不同条件下因为偶然因素的影响，其取值可能不同，即随机变量具有不确定性、随机性。引入了刻画随机事件之间关系的随机事元的关系事元的概念.利用关系元刻画随机事件之间的关系更加全面、简洁、方便，特别是利用关系元研究二维离散型随机变量的两个随机变量之间的关系，可通过可拓推理方法寻找变换T，使两个随机变量的相关程度或独立性发生传导变换，进而为涉及二维随机变量的分布律和边缘分布律的矛盾间题，提供一种解决的途径。同样的方法，也可用于研究二维连续型随机变量的两个随机变量之间的关系。定义1.1.2设为概率空间上的个随机变量，若其联合分布函数等于各自的边缘分布函数之积，即称相互独立。1.1.2随机变量独立性的两个简单定理定理1.1.1如果随机变量相互独立，则其中任何一部分随机变量仍然独立。值得注意的是，解法一是根据联合分布的协方差的一般求法来解的，而当联合密度函数为连续函数时，根据重积分的相关知识二重积分的积分顺序是可以交换的，并不会影响最终结果，所以在计算联合分布中单个随机变量的数学期望时，可直接利用联合密度函数进行计算，而无须先求边缘密度函数，从而使计算得到简化。证明如果相互独立，考虑其任意部分随机变量组成的子向量，在中令与子向量无干的所有，则左边可化为其子向量的边缘分布函数，同样右边相应地化为子向量的各分量的边缘分布函数之积，故定理1.1.1得证。在求定积分时，若被积函数的某一部分正好是某一随机变量的密度函数或者可以通过拼凑使得被积函数的某一部分转化成为某一随机变量的密度函数，这时我们就可以假设出相应的随机变量，进而把求积分的问题转化成为求随机变量的特征数的问题，然后我们就可以利用特征函数求出随机变量的相应的特征数。定理1.1.2随机变量相互独立，当且仅当证明充分性中仅仅是上式中的特殊情况，充分性得证。必要性先固定，记则由定理1.1.1知易见，为代数，故.因而在固定，记同样地有且为代数，故，必要性得证。综上，随机变量相互独立，当且仅当1.2离散型随机变量独立性的判定受偶然因素影响，随机变量在不同的条件下可能取各种随机变量不同的值，即其具有不确定性、随机性，但这些取值在某个范围的概率是确定的。随机变量既可以是离散型的，也可以是连续型的。同时在研究随机变量的独立性时，我们也可分为离散型随机变量独立性和连续型随机变量独立性两种分别进行研究，首先我们对离散型随机变量进行探讨研究，当然在此之前我们要知道什么样的随机变量才是离散型随机变量。定义1.2.1设为概率空间上的随机变量，如果存在数列和满足使得则称随机变量（及概率分布）为离散型的。1.2.1离散型随机变量判别法一定理1.2.1设二维离散型随机变量的联合分布列为的边际分布列为的边际分布列为则和相互独立的充要条件是:对所有的取值有证明充分性如果则对任意的，因为是离散型随机变量，所以

即和是相互独立的，充分性得证.必要性如果和相互独立，不妨设于是对任意，有即当时，有即亦即当时，有

由得如此下去，可得一般地有同样，如果取，可得出最后可得即有充分性得证。综上所述，定理得证.由定理1.2.1可以判定，对于二维离散型随机变量，等式成立与等式成立是等价的.因此可以直接用来判定二维离散型随机变量的独立性。定理1.2.1是对二维离散型随机变量取有限个点时对独立性的判定.从定理1.2.1的证明我们可以看出，如果取无限多个点，结论也是成立的.因此定理1.2.1可推广为:定理1.2.2设二维离散型随机变量的联合分布列为和的边际分布列分别为则和相互独立的充要条件为对所有的取值有1.2.2离散型随机变量判别法二设是二维离散型随机变量，其联合概率分布列可以用下表所示表SEQ表格\*ARABIC2····························································且称矩阵为的联合概率分布矩阵，其行向量记作记的联合分布列.引理设为非零向量，并且和线性相关，则可以由线性表示出.证明因为和是线性相关的，所以存在不全为零的两个数和，使得又因为是非零向量，如果，则，故，所以即可由线性表示.定理1.2.3如果，则与相互独立的充要条件是联合概率矩阵的任意两个行向量(或列向量)线性相关.证明充分性如果中任意的两个行向量线性相关，由可知中至少有一个元素不为零，即至少有一个非零行向量，假设是非零向量，由引理可知都可以由线性表示出，则且这里且又由于的边缘分布分别为:

因此

即相互独立。必要性若相互独立，由，则中的任意两个行向量可写为

显然与线性相关.推论1如果，那么与相互独立的充要条件为矩阵A的任意两行(或两列)对应元素成比例.推论2如果，那么与不相互独立的充要条件为存在矩阵A的任意两个列向量(或行向量)线性无关.推论3如果，那么与不相互独立的充要条件为存在矩阵A的任意两列(或两行)对应元素不成比例.推论4如果，那么与相互独立的充要条件是矩阵A的秩为1.推论5如果，那么与不相互独立的充要条件是矩阵A的秩大于1.推论6如果中有某个，但元素所在的行和列的所有元素不全为零，则与不相互独立.

1.3连续型随机变量独立性的判定在上节中我们系统研究了离散型随机变量独立性的判定问题，本章节我们研究另一种随机变量——连续型随机变量独立性的判定问题。同样首先我们需要知道什么样的随机变量是连续型的。连续型定义：设为概率空间上的随机变量，如果存在函数，满足使得的分布函数可表示为的形式，称（及其概率分布）是连续型的，为的密度函数。1.3.1连续型随机变量判别法一定理1.3.1设为连续型随机变量，如果其联合密度函数和边际密度函数都是除面积为零的区域外的连续函数，则和相互独立的充要条件是:除面积为零的区域外，恒有证明充分性设，则对任意的实数，有

所以，和相互独立.必要性假设和相互独立，有

因为上式对任意的都成立，于是有综上所述，定理得证.1.3.2连续型随机变量判别法二定理1.3.2设是连续型随机变量，其联合密度函数为，则随机变量和相互独立的充要条件为:（1）存在连续函数使；（2）为分别和无关的常数.证明充分性首先分别求的边际密度函数，

由于为分别和无关的常数，所以上式积分中的结果与是分别和无关的常数，分别记为进一步由联合密度函数的性质有

即由定理1.3.1得相互独立，充分性得证.必要性若相互独立，由定理1.3.1得，必有取则有，于是条件（1）成立.用反证法证明条件（2），如果中至少有一个是与或有关的函数，不妨设，因为是关于的边际密度函数，则必有，而是一个与有关的不恒等于1的函数矛盾，因而必有与无关.进一步得都与无关，因此必要性得证.

2边缘分布与联合分布关系探讨2.1二维随机变量的分布函数的联合分布函数 ，性质:，单调不减，右连续，，，，；X的边缘分布函数：；Y的边缘分布函数：.注意其分量或的分布，同时也要注意由于交互作用所产生的概率效果。如果令，，则=，（交运算）二维离散型随机变量的概率分布，用二维联合分布律讨论。满足：a)非负性≥0，；b)规范性=1。二维连续型随机变量的概率分布用联合概率密度（简称密度函数）讨论，对于n维随机变量而言，固然可以对它的每一个分量分别研究，但我们可以将它看成一个向量，则不仅能研究各个分量的性质，而且更重要的是要考虑它们之间的联系。满足：a)非负性：≥0，；b)规范性：，。分布函数为：=，（所有随机变量都可用）分布函数的性质。二维随机变量（X，Y）作为一个整体具有联合分布函数F（x，y）。而X和Y都是随机变量，各自也有它们的分布函数，把X和Y的分布函数分别记为FX(x)和FY(y)，并分别称为随机变量（X，Y）关于X和Y的边缘分布函数。由分布函数的定义可得到联合分布函数和边缘分布函数的关系。即同理可得2.2二维离散型随机变量联合分布律：，，一般用矩形表格列出；边缘分布律：， ，.若二维离散型随机变量所有可能的取值为则称为二维离散型随机变量的概率分布(分布律)，或的联合概率分布(分布律).与一维情形类似，有时也将联合概率分布用表格形式来表示，并称为联合概率分布表:2.离散型随机变量的边缘分布的分布律的分布律为：的分布律为：2.3二维连续型随机变量若，称为的联合密度函数；的性质:(1)；(2)；(3)若连续，则；(4)；边缘密度:；；二维均匀分布：，为的面积；二维正态分布：其边缘分布分别为一维正态分布，.2.4随机变量的独立性若，称与相互独立；离散型：，；连续型：，.若把二维随机变量(X，Y)看成平面上随机点的坐标，则分布函数F(X，Y)在(x，y)处的函数值就是随机点(X，Y)落入以(x，y)为定点且位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率。而随机点(X，Y)落在矩形区域。定义：设二维连续型随机变量的概率密度为和分别是关于和的边缘分布的概率密度。若，我们把称为在的条件下，的条件分布函数，记为。若，我们把称为在的条件下，的条件分布函数，记为。2.5条件分布离散型：在条件下X的条件分布为，.0（2）=1（具体积分上下限要看具体题目）2、（1）X边缘密度函数=（2）Y边缘密度函数=3、连续型随机变量(X，Y)的分布函数和密度函数的关系：=是对二维函数求偏导数的符号。具体方法是对函数F(x，y)将x看作变量，y看作常数求一次导数，再对求出的结果将y看作变量，x看作常数求一次导数。如对F(x，y)=，求：将x看作变量，y看作常数求一次导数：（=，再对求出的结果将y看作变量，x看作常数求一次导数（=所以=二维随机变量X，Y独立性（即变量之间互不影响）1、X，Y互相独立F()=2、X，Y互相独立=3、X，Y互相独立对一切i，j2.6二维随机变量函数的分布主要研究的分布：连续型，卷积公式：或；若相互独立，则或；它可以根据参数空间与状态空间的离散与连续类型，分为四种类型：离散参数集、离散状态集的马尔科夫过程；离散参数集、连续