2025届上海市复旦附中高二数学第一学期期末联考试题含解析

2025届上海市复旦附中高二数学第一学期期末联考试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图，某园林中的圆弧形挪动高为2.5m，底面宽为1m，则该门洞的半径为（）A.1.2m B.1.3mC.1.4m D.1.5m2．如图，、分别是椭圆的左顶点和上顶点，从椭圆上一点向轴作垂线，垂足为右焦点，且，点到右准线的距离为，则椭圆方程为（）A. B.C. D.3．曲线在处的切线的斜率为（）A.-1 B.1C.2 D.34．已知，分别为双曲线：的左，右焦点，以为直径的圆与双曲线的右支在第一象限交于点，直线与双曲线的右支交于点，点恰好为线段的三等分点(靠近点)，则双曲线的离心率等于（）A. B.C. D.5．已知，，若，则实数（）A. B.C.2 D.6．已知椭圆：的离心率为，则实数（）A. B.C. D.7．在空间直角坐标系中，已知点A(1，1，2)，B(－3，1，－2)，则线段AB的中点坐标是（）A.(－2，1，2) B.(－1，1，0)C.(－2，0，1) D.(－1，1，2)8．已知数列为递增等比数列，，则数列的前2019项和（）A. B.C. D.9．“”是“曲线为焦点在轴上的椭圆”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10．若点是函数图象上的动点（其中的自然对数的底数），则到直线的距离最小值为（）A. B.C. D.11．已知向量为平面的法向量，点在内，点在外，则点到平面的距离为（）A. B.C. D.12．函数的导数为（）A.B.CD.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设，分别是椭圆C：左、右焦点，点M为椭圆C上一点且在第一象限，若为等腰三角形，则M的坐标为___________14．直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的中点为，直线是线段AB的垂直平分线，若，D为垂足，则D点的轨迹方程是______15．若函数在处有极值，则的值为___________.16．已知递增数列共有2021项，且各项均不为零，，如果从中任取两项，当时，仍是数列中的项，则的范围是________________，数列的所有项和________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点，，（1）求直线BC的方程；（2）记的外接圆为圆M，若直线OC被圆M截得的弦长为4，求点C的坐标18．（12分）函数（1）求在上的单调区间；（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围19．（12分）某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本（元）与生产该产品的数量（千件）有关，经统计得到如下数据：x12345678y56.53122.7517.815.9514.51312.5根据以上数据绘制了散点图观察散点图，两个变量间关系考虑用反比例函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为，与x的相关系数.（1）用反比例函数模型求y关于x的回归方程；（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.001），并用其估计产量为10千件时每件产品非原料成本；（3）根据企业长期研究表明，非原料成本y服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，若非原料成本y在之外，说明该成本异常，并称落在之外的成本为异样成本，此时需寻找出现异样成本的原因.利用估计值判断上述非原料成本数据是否需要寻找出现异样成本的原因？参考数据（其中）：0.340.1151.531845777.55593.0630.70513.9参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，相关系数.20．（12分）已知是公比不为1的等比数列，，且为的等差中项.（1）求的公比；（2）求的通项公式及前n项和.21．（12分）已知数列满足：（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和为．若对恒成立．求正整数m的最大值22．（10分）设函数（1）若，求的单调区间和极值；（2）在（1）的条件下，证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点；（3）若存在，使得，求的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】设半径为R，根据垂径定理可以列方程求解即可.【详解】设半径为R，,解得,化简得.故选：B.2、A【解析】设椭圆方程为，设该椭圆的焦距为，则，求出点的坐标，根据可得出，可得出，，结合已知条件求得的值，可得出、的值，即可得出椭圆的方程.【详解】设椭圆方程为，设该椭圆的焦距为，则，由图可知，点第一象限，将代入椭圆方程得，得，所以，点，易知点、，，，因为，则，得，可得，则，点到右准线的距离为为，则，，因此，椭圆的方程为.故选：A.3、D【解析】先求解出导函数，然后代入到导函数中，所求导数值即为切线斜率.【详解】因为，所以，所以切线的斜率为.故选：D.4、C【解析】设，，根据双曲线的定义可得，，在中由勾股定理列方程可得，在中由勾股定理可得关于，的方程，再由离心率公式即可求解.【详解】设，则，由双曲线的定义可得：，，因为点在以为直径的圆上，所以，所以，即，解得：，在中，，，，由可得，即，所以双曲线离心率为，故选：C.第II卷（非选择题5、D【解析】根据给定条件利用空间向量平行的坐标表示计算作答.【详解】因，，又，则，解得，所以实数.故选：D6、C【解析】根据题意，先求得的值，代入离心率公式，即可得答案.【详解】因为，所以所以，解得.故选：C7、B【解析】利用中点坐标公式直接求解【详解】在空间直角坐标系中，点，1，，，1，，则线段的中点坐标是，，，1，故选：B.8、C【解析】根据数列为递增的等比数列，，利用“”法求得，再代入等比数列的前n项和公式求解.【详解】因为数列为递增等比数列，所以，解得：，所以.故选：C【点睛】本题主要考查等比数列的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9、C【解析】∵“”⇒“方程表示焦点在轴上的椭圆”，“方程表示焦点在轴上的椭圆”⇒“”，∴“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的充要条件，故选C.10、A【解析】设，，设与平行且与相切的直线与切于，由导数的几何意义可求出点的坐标，则到直线的距离最小值为点到直线的距离，再求解即可.【详解】解：设，，设与平行且与相切的直线与切于所以所以则到直线的距离为，即到直线的距离最小值为，故选：A11、A【解析】先求出向量，再利用空间向量中点到平面的距离公式即可求解.【详解】解：由题知，点在内，点在外，所以又向量为平面的法向量所以点到平面的距离为：故选：A.12、B【解析】由导数运算法则可求出.【详解】，.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】先计算出,所以,利用余弦定理求出，即可求出,即得到M的横坐标为，代入椭圆C：求出.【详解】椭圆C：,所以.因为M在椭圆上,.因为M在第一象限,故.为等腰三角形,则,所以,由余弦定理可得.过M作MA⊥x轴于A,则所以,即M的横坐标为.因为M为椭圆C：上一点且在第一象限，所以，解得：所以M的坐标为.故答案为：14、【解析】设直线l的方程为，代入椭圆方程并化简，然后根据M为线段AB的中点结合根与系数的关系得到k,t间的关系，进而写出线段AB的垂直平分线的直线方程，可以判断它过定点E，再考虑直线l的斜率不存在的情况，根据题意可知，点D在以OE为直径的圆上，最后求出点D的轨迹方程.【详解】设直线l的方程为，代入椭圆方程并化简得：，设，则，解得.因为直线是线段AB的垂直平分线，故直线：，即：令，此时，，于是直线过定点当直线l的斜率不存在时，，直线也过定点点D在以OE为直径的圆上，则圆心为，半径，所以点D轨迹方程为：15、2或6【解析】由解析式得到导函数，结合是函数极值点，即可求的值.【详解】由，得，因为函数在处有极值，所以，即，解得2或6.经检验，2或6满足题意.故答案为：2或6.16、①.②.1011【解析】根据题意得到，得到，，，，进而得到，从而即可求得的值.【详解】由题意，递增数列共有项，各项均不为零，且，所以，所以的范围是，因为时，仍是数列中的项，即，且上述的每一项均在数列中，所以，，，，即，所以，所以.故答案为：；.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】(1)延长CB交x轴于点N，根据给定条件求出即可计算作答.(2)利用待定系数法求出圆M的方程，再由给定弦长确定C点位置，推理计算得解.【小问1详解】延长CB交x轴于点N，如图，因，则，又，则有，又，于是得，则直线BC的倾斜角为120°，直线BC的斜率，因此，，即所以直线BC的方程为.【小问2详解】依题意，设圆M的方程为，由(1)得：，解得，于是得圆M的方程为，即，圆心，半径，因直线OC被圆M所截的弦长为4，则直线OC过圆心，其方程为，由解得，即，所以点C的坐标是.18、（1）单调递增区间为；单调递减区间为和（2）【解析】（1）求出，然后可得答案；（2）由条件可得，设，则，然后利用导数可得在上单调递增，，然后分、两种情况讨论求解即可.【小问1详解】由题可得令，得；令，得，所以f(x)的单调递增区间为；单调递减区间为和【小问2详解】由，得，即设，则设，则当时，，，所以所以即在上单调递增，则若，则，所以h(x)在上单调递增所以h(x)≥h(0)＝0恒成立，符合题意若a＞2，则，必存在正实数，满足：当时，，h(x)单调递减，此时h(x)＜h(0)＝0，不符合题意综上所述，a的取值范围是19、（1）（2）反比例函数模型拟合效果更好，产量为10千件时每件产品的非原料成本约为11元，（3）见解析【解析】（1）令，则可转化为，求出样本中心，回归方程的斜率，转化求回归方程即可，（2）求出与的相关系数，通过比较，可得用反比例函数模型拟合效果更好，然后将代入回归方程中可求结果（3）利用已知数据求出样本标准差s，从而可得非原料成本y服从正态分布，再计算，然后各个数据是否在此范围内，从而可得结论【小问1详解】令，则可转化为，因为，所以，所以，所以，所以y关于x的回归方程为【小问2详解】与的相关系数为因为，所以用反比例函数模型拟合效果更好，把代入回归方程得（元），所以产量为10千件时每件产品的非原料成本约为11元【小问3详解】因为，所以，因为样本标准差为，所以，所以非原料成本y服从正态分布，所以因为在之外，所以需要此非原料成本数据寻找出现异样成本的原因20、（1）（2），【解析】（1）设数列公比为，根据列出方程，即可求解；（2）：由（1）得到，利用等比数列的求和公式，即可求解.【小问1详解】解：设数列公比为，因为为的等差中项，可得，即，即，解得或（舍去），所以等比数列的公比为.【小问2详解】解：由（1）知且，可得，所以.21、（1）；（2）2021.【解析】（1）求出公比和首项即可.(2)利用错位相减法，求出，再作差求出递增，即可求解.【详解】（1）因为数列满足：，所以，设的公比为q，可得，又，即，解得，所以；（2），，，上面两式相减可得，化简可，因为，所以递增，最小，且为所以，解得，则m的最大值为202122、（1）递减区间是，单调递增区间是，极小值（2）证明见解析（3）【解析】（1）对函数进行求导通分化简，求出解得，在列出与在区间上的表格，即可得到答案.（2）由（1）知，在区间上的最小值为，因为存在零点，所以，从而．在对进行分类讨论，再利用函数的单调性得出结论.（3）构造函数，在对进行求导，在对进行分情况讨论，即可得的得到答案.【小问1详解】函数的定义域为，，由解得与在区间上的情况如下：–↘↗所以，的单调递减区间是，单调递增区间是；在处取得极小值，