2025届安徽省阜阳市太和第一中学高二数学第一学期期末经典试题含解析

2025届安徽省阜阳市太和第一中学高二数学第一学期期末经典试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（）A.9 B.8C.7 D.62．已知直线过点，当直线与圆有两个不同的交点时，其斜率的取值范围是（）A. B.C. D.3．椭圆的左、右焦点分别为，过焦点的倾斜角为直线交椭圆于两点，弦长，若三角形的内切圆的面积为，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.4．黄金矩形是宽（）与长（）的比值为黄金分割比的矩形，如图所示，把黄金矩形分割成一个正方形和一个黄金矩形，再把矩形分割出正方形．在矩形内任取一点，则该点取自正方形内的概率是A. B.C. D.5．已知圆，圆，M，N分别是圆上的动点，P为x轴上的动点，则以的最小值为（）A B.C. D.6．已知，，则等于（）A.2 B.C. D.7．已知向量，，且，则实数等于（）A.1 B.2C. D.8．已知双曲线C：-＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，若过原点倾斜角为的直线与双曲线C左右两支交于M、N两点，且MF1NF1，则双曲线C的离心率是（）A.2 B.C. D.9．设点是点，，关于平面的对称点，则（）A.10 B.C. D.3810．在正方体中，E，F分别为AB，CD的中点，则与平面所成的角的正弦值为（）A. B.C. D.11．已知，为双曲线的两个焦点，点P在双曲线上且满足，那么点P到x轴的距离为（）A. B.C. D.12．已知椭圆C：（）的长轴的长为4，焦距为2，则C的方程为（）A B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知为坐标原点，等轴双曲线的右焦点为，点在双曲线上，由向双曲线的渐近线作垂线，垂足分别为、，则四边形的面积为______.14．已知抛物线C的方程为：，F为抛物线C的焦点，倾斜角为的直线过点F交抛物线C于A、B两点，则线段AB的长为________15．由曲线围成的图形的面积为_______________16．已知圆：和圆：，动圆M同时与圆及圆外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）若点在棱上，且平面，求线段的长18．（12分）如图，三棱锥中，为等边三角形，且面面，（1）求证：；（2）当与平面BCD所成角为45°时，求二面角的余弦值19．（12分）如图，圆锥的底面直径与母线长均为4，PO是圆锥的高，点C是底面直径AB所对弧的中点，点D是母线PA的中点（1）求圆锥的表面积；（2）求点B到直线CD的距离20．（12分）平面直角坐标系中，过椭圆：右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.（1）求椭圆M的方程；（2）C，D为椭圆M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD与AB垂直，求四边形ACBD面积的最大值.21．（12分）已知函数.（1）当时，求函数的极值；（2）若对，恒成立，求的取值范围.22．（10分）在2021年“双11”网上购物节期间，某电商平台销售了一款新手机，现在该电商为调查这款手机使用后的“满意度”，从购买了该款手机的顾客中抽取1000人，每人在规定区间内给出一个“满意度”分数，评分在60分以下的视为“不满意”，在60分到80分之间（含60分但不含80分）的视为“基本满意”，在80分及以上的视为“非常满意”.现将他们的评分按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图.（1）求这1000人中对该款手机“非常满意”的人数和“满意度”评分的中位数的估计值.（2）若按“满意度”采用分层抽样的方法从这1000名被调查者中抽取20人，再从这20人中随机抽取3人，记这3人中对该款手机“非常满意”的人数为X.①写出X的分布列，并求数学期望；②若被抽取的这3人中对该款手机“非常满意”的被调查者将获得100元话费补贴，其他被调查者将获得50元话费补贴，请求出这3人将获得的话费补贴总额的期望.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由双曲线方程求出，再根据点在双曲线的两支之间，结合可求得答案【详解】由，得，则，所以左焦点为，右焦点，则由双曲线的定义得，因为点在双曲线的两支之间，所以，所以，当且仅当三点共线时取等号，所以的最小值为9，故选：A2、A【解析】设直线方程，利用圆与直线的关系，确定圆心到直线的距离小于半径，即可求得斜率范围.【详解】如下图：设直线l的方程为即圆心为，半径是1又直线与圆有两个不同的交点故选：A3、C【解析】由题可得直线AB的方程，从而可表示出三角形面积，又利用焦点三角形及三角形内切圆的性质，也可表示出三角形面积，则椭圆的离心率即求.【详解】由题知直线AB的方程为，即，∴到直线AB距离，又三角形的内切圆的面积为，则半径为1，由等面积可得，.故选：C.4、C【解析】设矩形的长，宽分别为,所以，把黄金矩形分割成一个正方形和一个黄金矩形,所以，设矩形的面积为,正方形的面积为,设在矩形内任取一点，则该点取自正方形内的概率是,则，故本题选C.【详解】本题考查了几何概型，考查了运算能力.5、A【解析】求出圆关于轴的对称圆的圆心坐标，以及半径，然后求解圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出的最小值.【详解】圆关于轴对称圆的圆心坐标，半径为1，圆的圆心坐标为，半径为3，易知，当三点共线时，取得最小值，的最小值为圆与圆的圆心距减去两个圆的半径和，即：.故选：A.注意:9至12题为多选题6、D【解析】利用两角和的正切公式计算出正确答案.【详解】.故选：D7、C【解析】利用空间向量垂直的坐标表示计算即可得解【详解】因向量，，且，则，解得，所以实数等于.故选：C8、C【解析】根据双曲线和直线的对称性，结合矩形的性质、双曲线的定义、离心率公式、余弦定理进行求解即可.【详解】设双曲线的右焦点为F2，过原点倾斜角为的直线为，设M、N分别在第三、第一象限，由双曲线和直线的对称性可知：M、N两点关于原点对称，而MF1NF1，因此四边形是矩形，而，所以是等边三角形，故，因此，因为，所以，在等腰三角形中，由余弦定理可知：，由矩形的性质可知：，由双曲线的定义可知：，故选：C【点睛】关键点睛：利用矩形的性质、双曲线的定义是解题的关键.9、A【解析】写出点坐标，由对称性易得线段长【详解】点是点，，关于平面的对称点，的横标和纵标与相同，而竖标与相反，，，，直线与轴平行，，故选：A10、B【解析】作出线面角构造三角形直接求解，建立空间直角坐标系用向量法求解.【详解】设正方体棱长为2，、F分别为AB、CD的中点，由正方体性质知平面，所以平面平面，在平面作，则平面，因为，所以即为所求角，所以.故选：B11、D【解析】设，由双曲线的性质可得的值，再由，根据勾股定理可得的值，进而求得，最后利用等面积法，即可求解【详解】设，，为双曲线的两个焦点，设焦距为，，点P在双曲线上，，，，，，的面积为，利用等面积法，设的高为，则为点P到x轴的距离，则，故选：D【点睛】本题考查双曲线的性质，难度不大.12、D【解析】由题设可得求出椭圆参数，即可得方程.【详解】由题设，知：，可得，则，∴C的方程为.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】求出双曲线的方程，可求得双曲线的两条渐近线方程，分析可知四边形为矩形，然后利用点到直线的距离公式以及矩形的面积公式可求得结果.【详解】因为双曲线为等轴双曲线，则，，可得，所以，双曲线的方程为，双曲线的渐近线方程为，则双曲线的两条渐近线互相垂直，则，，，所以，四边形为矩形，设点，则，不妨设点为直线上的点，则，，所以，.故答案为：.14、8【解析】根据给定条件求出抛物线C的焦点坐标，准线方程，再求出点A，B的横坐标和即可计算作答.【详解】抛物线C：焦点，准线方程为，依题意，直线l的方程为：，由消去x并整理得：，设，则，于是得，所以线段AB的长为8.故答案为：815、【解析】当时，曲线表示的图形为以为圆心，以为半径的圆在第一象限的部分，所以面积为，根据对称性，可知由曲线围成的图形的面积为考点：本小题主要考查曲线表示的平面图形的面积的求法，考查学生分类讨论思想的运用和运算求解能力.点评：解决此题的关键是看出所求图形在四个象限内是相同的，然后求出在一个象限内的图形的面积即可解决问题.16、【解析】根据动圆同时与圆及圆外切，即可得到几何关系，再结合双曲线的定义可得动点的轨迹方程.【详解】由题，设动圆的半径为，圆的半径为，圆的半径为,当动圆与圆，圆外切时,,,所以,因为圆心,，即，又根据双曲线的定义，得动点的轨迹为双曲线的上支，其中，，所以,则动圆圆心的轨迹方程是；故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）见解析.（Ⅱ）．（Ⅲ）.【解析】第一问根据面面垂直的性质和线面垂直的性质得出线线垂直的结论，注意在书写的时候条件不要丢就行；第二问建立空间直角坐标系，利用法向量所成角的余弦值来求得二面角的余弦值；第三问利用向量共线的关系，得出向量的坐标，根据线面平行得出向量垂直，利用其数量积等于零，求得结果.（Ⅰ）证明：因为平面⊥平面，且平面平面，因为⊥，且平面所以⊥平面因为平面，所以⊥.（Ⅱ）解：在△中，因为，，，所以，所以⊥.所以，建立空间直角坐标系，如图所示所以，，，，，，.易知平面的一个法向量为.设平面的一个法向量为，则，即，令，则.设二面角的平面角为，可知为锐角，则，即二面角的余弦值为（Ⅲ）解：因为点在棱，所以，因为，所以，.又因为平面，为平面的一个法向量，所以，即，所以所以，所以.18、（1）证明见解析；（2）.【解析】(1)根据给定条件证得平面即可推理作答.(2)由与平面BCD所成角确定正边长与CD长的关系，再作出二面角的平面角，借助余弦定理计算作答.【小问1详解】在三棱锥中，平面平面，平面平面，而，平面，因此有平面，又有平面，所以.【小问2详解】取BC中点F，连接AF，DF，如图，因为等边三角形，则，而平面平面，平面平面，平面，于是得平面，是与平面BCD所成角，即，令，则，因，即有，由(1)知，，则有，过C作交AD于O，在平面内过O作交BD于E，连CE，从而得是二面角的平面角，中，，，中，由余弦定理得，，，显然E是斜边中点，则，中，由余弦定理得，所以二面角的余弦值.19、（1）（2）【解析】（1）直接运用圆锥的表面积公式计算即可；（2）建立空间直角坐标，然后运用向量法计算可求得答案.【小问1详解】【小问2详解】如图，建立直角坐标系，，，，∴B在CD上投影的长度∴B到CD的距离解法2：设直线CD上一点E满足令，则∴，∴，∴∴，故B到CD距离为.20、（1）（2）【解析】（1）设，，的中点为，利用“点差法”求解；（2）由求得A，B的坐标，进而得到的长，再根据，设直线的方程为，由，求得的长，然后由四边形的面积为求解.【小问1详解】解：把右焦点代入直线，得，设，，的中点为，则，，相减得，即，即，即.又，，则.又，解得，，故椭圆的方程为.【小问2详解】联立消去，可得，解得或，故交点为，.所以.因为，所以可设直线的方程为，，，联立消去，得到，因为直线与椭圆有两个不同的交点，则，解得，且，又，则.故四边形的面积为，故当时，取得最大值，最大值为.所以四边形的面积的最大值为.21、（1）极小值为，无极大值；（2）.【解析】（1）对函数进行求导、列表、判断函数的单调性，最后根据函数极值的定义进行求解即可；（2）对进行常变量分离，然后构造新函数，对新函数进行求导，判断其单调性，进而求出新函数的最值，最后根据题意求出的取值范围即可.【详解】（1）函数的定义域为，当时，.由，得.当变化时，，的变化情况如下表-0+单调递减极小值单调递增所以在上单调递减，上单调递增，所以函数的极小值为，无极大值.（2）对，恒成立，即对，恒成立.令，则.由得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，因此.所以的取值范围是.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，考查了构造函数法、常变量分离法，考查了数学运算能力和分类讨论思想.22、（1）65分（2）①分布列答案见解析，数学期望：；②172.5元【解析】（1）由图可知中位数在第二组，则设中位数为，从而得，解方程可得答案，（2）①由题意可求得“不满意”与“基本满意”的用户应抽取17人，“非常满意”的用户应抽取3人，则X的可能取值分别为0，1，2，3，然后求