第13关 以二次函数与圆的问题为背景的解答题（解析版）

第十三关：以二次函数与圆的问题为背景的解答题

L总体点评】二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次

函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或

函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学习。“圆”

在初中阶段学习占有重要位置，“垂径定理”、“点与圆的位置关系”的判定与性质、”直线与圆的位置关系”

的判定与性质、“正多边形的判定与性质”通常是命题频率高的知识点.由于这部分知识的综合性较强,多作

为单独的解答题出现.如果把圆放到直角坐标系中，同二次函数结合,则多作为区分度较高的压轴题中出现.

此类题目由于解题方法灵活，考查的知识点全面，体现了方程、建模、转化、数形结合、分类讨论等多种数

学思想,得到命题者的青睐

【解题思路】二次函数与圆都是初中数学的重点内容，历来是中考数学命题的热点，其本身涉及的知识

点就较多，综合性和解题技巧较强，给解题带来一定的困难，而将函数与圆相结合，并作为中考的压轴题，

就更显得复杂了.只要我们掌握解决这类问题的思路和方法，采取分而治之，各个击破的思想，问题是会

迎刃而解的.解决二次函数与圆的问题，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数学结合思想，以

及代入法、消元法、配方法、代定系数法等。解题时要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技

巧的灵活应用，要抓住题意，化整为零，层层深入，各个击破，从而达到解决问题的目的。

【典型例题】

【例1】（2019•黑龙江中考真题）如图，抛物线y=Q/+历:一|经过点A（1,0）和点B（5,0）,与y轴

交于点C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的OA,请判断。A与y轴有怎样的位置关系，并说明理由；

（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P,连接PB、PC,请问：APBC的面积是否存在最大值？若存

在，求出这个值和此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.

yt

【答案】(1)y=-1X2+2X-1；(2)相交；(3)SAPBC有最大值崂，此时P点坐标为《，白

332424

【解析】

试题分析：(1)把A、B两点分别代入抛物线解析可求得a和b,可求得抛物线解析式:

(2)过A作AD_LBC于点D,则AD为©A的半径，由条件可证明△ABDs/\CBO,利用相似三角形的性

质可求得AD的长，可求得半径，进而得出答案;

(3)由待定系数法可求得直线BC解析式，过P作PQ〃y轴，交直线BC于点Q,交x轴于点E,可设出

P、Q的坐标，可表示出APQC和APQB的面积，可表示出APBC的面积，再利用二次函数的性质可求得其

最大值，容易求得P点坐标.

试题解析：(1)•・•抛物线、=。/+6%-3经过点人(1,0)和点B(5,0),・••把A、B两点坐标代入可得

ci—b—=0f__11《

3

5,解得：。一一5，・••抛物线解析式为y=T/+2x—［；

(25a+5b-：0{b=233

(2)相交，理由：过A作AD_LBC于点D,如图1,丁0A与BC相切，，AD为。A的半径，由(1)可

知C(0,、)，且A(1,0),B(5,0),AOB=5,AB=OB-OA=4,OC=1；在RsOBC中，由勾股定理

可得BCZOJ+0B?=J©2+52=乎,VZADB=ZBOC=90°,ZABD=ZCBO,AAABD^ACBO,/.

多=9,即组=4，解得AD=半，即。A的半径为雪，•・•罕>1,・・・0A与y轴相交；

ULDU—vA>A

33

(3)VC(0,-»,・,•可设直线BC解析式为丫=10<-/把B点坐标代入可求得k=%・••直线BC的解析式

为、="一£过P作PQ〃y轴，交直线BC于点Q,交x轴于点E,如图2,设P(x,-*+2%一?),

则Q［x,APQ=(-1X2+2X-1)-(如一力=一枭2+亚=一女》一］+不二

SAPBC=SAPCQ+S.PBQ=；PQ・OEWPQ・BEWPQ(OE+BE)=；PQ・OB《PQ=一：-32+号,.・.当x：时,SAPBC

2222262242

有最大值崂，此时P点坐标为《，》，・・・当P点坐标为《，9时，APBC的面积有最大值.

242424

考点：二次函数综合题；探究型；二次函数的最值；最值问题；存在型；压轴题.

【例2】（2019•广西中考真题）如图，直线丫=1一3交工轴于点A,交〉轴于点C,点8的坐标为（1,0）,

抛物线y=ax2+bx+c（a工0）经过A,B,C三点，抛物线的顶点为点D,对称轴与工轴的交点为点E,息E

关于原点的对称点为尸，连接CE,以点尸为圆心，的长为半径作圆，点0为直线y=x-3上的一

个动点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）求周长的最小值；

（3）若动点P与点。不重合，点。为。尸上的任意一点，当PQ的最大值等于时，过P,Q两点的

2

直线与抛物线交于M,N两点（点M在点N的左侧），求四边形的面积.

【答案】（1）y=-x2+4x-3：（2）V2+V10；（3）26+；后

【解析】

【分析】

（1）直线y=x-3,令x=0,则y=・3,令y=0,则x=3,故点A、C的坐标为⑶0）、（0,-3）,即可求解;

（2）过点B作直线y=x-3的对称点B\连接BD交直线y=x-3于点P,直线BB交函数对称轴与点G,则

此时ZSBDP周长=BD+PB+PD=BD+BB为最小值，即可求解；

(3)如图2所示，连接PF并延长交圆与点Q,此时PQ为最大值，即可求解.

【详解】

解：(1)直线y=x-3,令x=0,则丁=-3,令y=0,则x=3,

故点A,C的坐标为(3,0)、(0,-3),

则抛物线的表达式为：y=a(x-3)(x-1)=a(x2-4x+3),

则3a=-3,解得：a=-\,

故抛物线的表达式为：y=-x2+4x-3...©：

(2)过点B作直线y=x-3的对称点B'，连接8D交直线丫二工一3于点尸，

直线B'B交函数对称轴与点G，连接AB',

则此时ABDP周长=BD+PB+PD=BD+B'B为最小值，

。(2,1),则点G(2,—1),即：BG=EG，

即点G是5夕的中点,过点8'(3,-2),

△BDP周长豉小值=BD+B'B=亚+屈;

(3)如图2所示，连接尸尸并延长交圆9点Q,此时P0为最大值,

点点B,C,E,F的坐标为(3,0),(1,0),(0,-3),(2,0),(-2,0),

则CE=9，FQ=；CE,

q1

则=——CE=岳,

22

设点P（机m一3）,点尸（一2,0）,

PF2=13=（/n-2）2+（/n-3）2,

解得:m=l,故点尸（L-2）,

将点P,F坐标代入一次函数表达式并解得：

24

直线P厂的表达式为：y=~x--...@,

33

联立①②并解得：.J土后,

3

y”……•八…（7-5-26+2后［（7+后-26-25/34^1

故点M,N的坐标分别为：一,——,—1f―,——-——

过点M、N分别作x轴的垂线交于点S,R,

niil_《《«_26+8>/34

人」◎四边形A8MN一©梯形MfSM-J&ARN~°A5BW-Q

【名师点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、点的对称性、图形的面积计算等，其中（3）,确定PQ

最值时，通常考虑直线过圆心的情况，进而求解.

【例3】（2018•青海中考真题）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的。M的内接

四边形，点A,B在x轴上，△MBC是边长为2的等边二角形，过点M作直线1与x轴垂直，文0M于

（1）求过A,B,E三点的抛物线的解析式;

（2）求证：四边形AMCD是菱形；

(3)请问在抛物线上是否存在一点P,使得AABP的面积等于定值5?若存在，请求出所有的点P的坐标;

若不存在，请说明理由.

【答案】⑴y=J(x+1)2-2；(2)证明过程见解析；(3)(2,-),(-4,-).

222

【解析】

试题分析：(1)根据题意首先求出抛物线顶点E的坐标，再利用顶点式求出函数解析式；(2)利用等边三

角形的性质结合圆的有关性质得出NAMD=NCMD=2NAMC=6O。，进而得出DC=CM=MA=AD,即可得出

答案；(3)首先表示出AABP的面积进而求出n的值，再代入函数关系式求出P点坐标.

试题解析：(1)由题意可知，AMBC为等边三角形，点A,B,C,E均在。M上，则MA=MB=MC=ME=2,

又・・・CO_LMB,AMO=BO=1,AA(-3,0),B(1,0),E(-1,-2),

抛物线顶点E的坐标为(・1,-2),设函数解析式为y=a(x+1)2・2(a#0)

把点B(1,0)代入广a(x+1)2-2,解得：a=^,

故二次函数解析式为：y=i(x+1)2-2；

(2)连接DM,〈△MBC为等边三角形，AZCMB=60°,ZAMC=120°,,点D平分弧AC,

:.ZAMD=ZCMD=-^ZAMC=60°,VMD=MC=MA,AAMCD,AMDA是等边三角形，

ADC=CM=MA=AD,:.四边形AMCD为菱形(四条边都相等的四边形是菱形)；

(3)存在.

理由如下：设点P的坐标为(m,n)VSAABP^-ABInl，AB=4A-^x4x|n|=5,即21nl=5,

解得：：当15

n=b|,,1—(m+l)2-2=—,解此方程得：mi=2,m2=-4

4»

RR

即点P的坐标为(2,^),(-4,£),

515

当好-另时，■—(m+l)2-2="-,此方程无解，

55

故所求点P坐标为(2,5)，(-4,5).

考点：二次函数综合题.

【方法归纳】函数知识要理解好数形结合的思想，知识点的掌握中要理解文字解释和图像之间的关系,

至于与圆、三角形、方程的综合题，往往最后一问难度大，要建立模型、框架，完善步骤，循序渐进.

【针对练习】

1.我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”.

（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有;

②在凸四边形ABCD中，AB=AD且CBHCD,则该四边形“十字形”.（填“是”或“不是”）

（2）如图1,A,B,C,D是半径为1的。O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD交于点E,N

ADB-ZCDB=ZABD-ZCBD,当6<AC2+BD2<7时，求OE的取值范围；

（3）如图2,在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a,b,c为常数，a>0,c<0）与x轴交于

A,C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0,-ac）,记“十字形"ABCD

的面积为S,记AAOB,ACOD,AAOD,ABOC的面积分别为Si，S2>S3,S4.求同时满足下列三个条件

的抛物线的解析式；

①阵店+医；②向匹医+医；③“十字形”ABCD的周长为12as.

【答案】⑴①菱形，正方形；②不是；⑵10EW号（OE>0）；⑶y=x2-9.

【解析】分析：（1）利用"十字形’'的定义判断即可;

（2）先判断出NADB+NCAD=NABD+/CAB,进而判断出NAED=NAEB=90。，即：AC_LBD,再判断

出四边形OMEN是矩形，进而得出OE2=2・；（AC?十BD?）,即可得出结论；

（3）由题意得，A（毛巴o）,B（0,c）,C（多叵，o）,D（0,-ac）,求出S=|AC*BD=-1（ac+c）x在，

2a2a22a

S1=；OA・OB=-竺华2S2=；OC・OD:空衿，S3=！OAxOD二任等，S4=[OBxOC=-C（呼叫,进而建立方程

24a242424a

J-譬+b）+=卜（：+2+卜黑？求出a=l,再求出b=0,进而判断出四边形ABCD是菱形，

V4a22V4a

求出AD=3V10,进而求出c=-9»即可得出结论.

详解：（1）①•.•菱形，正方形的对角线互相垂直，

，菱形，正方形是：“十字形”，

•••平行四边形，矩形的对角线不一定垂直，

・•・平行四边形，矩形不是“十字形”，

故答案为：菱形，正方形；

②如图，

当CB二CD时，在AABC和4ADC中，

AB=AD

CB=CD,

AC=AC

AAABC^AADC(SSS),

AZBAC=ZDAC,

VAB=AD,

AAC1BD,

:.当CB/2D时，四边形ABCD不是“十字形”,

故答案为：不是；

(2)VZADB+ZCBD=ZABD+ZCDB,ZCBD=ZCDB=ZCAB,

:.NADB+NCAD=NABD+NCAB,

A180°-^AED=180°-ZAEB.

/.ZAED=ZAEB=90°,

AAC1BD,

过点0作OM_LAC于M,ON_LBD于N,连接OA,OD,

AOA=OD=1,OM2=OA2-AM2,ON2=OD2-DN2,AM=iAC,DN=^BD,四边形OMEN是矩形,

22

・・・ON;ME,OE2=OM2+ME2,

r.OE2=OM2+ON2=2--(AC2+BD2),

4

V6<AC2+BD2<7,

.\2-^<OE2<2-1,

号

・,亭OE岑;

(3)由题意得，Ao),B(0,c),Co),D(0,-ac),

2a2a

Va>0,c<0,

・・・OA冬,OBiOC塞,OD=-ac,AC号BD=-ac-c,

.・.S《AC・BD=->ac+c)x浑s4)A・OB一吟,s240c・OD―年

S3=k)AxOD=-叱+叱S4=k)BxOC=-，牛叱

•••我=展+医，遮=疝+医，

.J-Cp/Z+b)J-c(VZ-b)J_C(y/X+b)J-c(yfX-b)

,,-薜~+2=2+-帚-'

>/4c=2»

a=l,

•.s=-cVZ,S产-包运电,s卡■包叵3,

4a4a

**VS=yfSl+JS?,

,*S=Si+S2+2JS1S2,

»c氏一竿+2产身，

\y/b2—4c=V—4c

•・b=0,

•・A(G，0),B(0,c),C(xFc,0),d(0,-c),

••四边形ABCD是菱形,

,.4AD=12V10,

\AD=3VTO,

即：AD2=90,

/AD2=C2-c>

*.c2-c=90,

•・c=-9或c=10(舍),

即：y=x2-9.

【名师点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了新定义，平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质，全

等三角形的判定和性质，三角形的面积公式，求出a=l是解本题的关键.

2.(2019•湖南中考真题)如图，抛物线)=以2+6公(。为常数，。>0)与x轴交于。，从两点，点3为抛

物线的顶点，点。的坐标为处0)(-3</<0),连接并延长与过。，A,B三点的。尸相交于点C.

(1)求点A的坐标；

(2)过点C作。尸的切线CE交x轴于点E.①如图1,求证：CE=DE;②如图2,连接AC,BE,BO,

当〃=,NCAE=NOBE时，求---------的值

3ODOE

【答案】(1)4(—6,0)；(2)①见解析；②--------------=—

ODOE6

【解析】

【分析】

(1)令y=0,可得ax(x+6)=0,则A点坐标可求出；

(2)①连接PC,连接PB延长交x轴于点M,由切线的性质可证得NECD二/COE,则CE二DE；

②设OE二m,由CE2=OE・AE,可得m=」----由NCAE=NOBE可得殷二变，则m=—9—,综合

6+2rBEOE-t-6

整理代入-可求出上-上的值.

tmODOE

【详解】

(1)令o?+box=0

ax(x+6)=0

.•・A(-6,0)

(2)连接PC,连接尸8延长交x轴于M

•・・。尸过0、A、B三点，8为顶点

...PM_LOA，/PBC+/BOM=9U

又,：PC=PB

/PCB=/PBC,

•・・CE为切线

ZPCB+ZECD=90s

又・.・NBDP=/CDE

/ECD=/COE,

：.CE=DE,

(3)设OE=m,即E(m,0)

由切割定理：CR=OEAE

m—i}1=m•(机+6)="二-----①,

7'76+2/

vZC4E=ZCBD.

已知NCAE=NOBE,/CBO=NEBO

BDDO

由角平分线定理:

~BE~~OE

(3+^27J、吁旦②

丫(3+优)+27m-r-6

由①©得一--=―——=>z2+18/+36=0

6+2/-t-6

卢=—187—36

1____111_3r+6_1

~OD~~OE~~~t~~m~一~?~~6,

【点睛】

本题是二次函数与圆的综合问题，涉及二次函数图象与x轴的交点坐标、切线的性质、等腰三角形的判定、

切割线定理等知识.把圆的知识镶嵌其中，会灵活运用圆的性质进行计算是解题的关键.

3.(2019•浙江中考真题)已知在平面直角坐标系xQy中，直线分别交X轴和),轴于点4(-3,0),8(0,3).

⑴如图I,已知。P经过点O,且与直线4相切于点求。P的直径长;

⑵如图2,已知直线小＞=31-3分别交x轴和)轴于点。和点。，点。是直线6上的一个动点，以。为

圆心，2行为半径画圆.

①当点。与点。重合时，求证：直线4与OQ相切;

②设0Q与直线4相交于M,N两点，连结QM,QN.问:是否存在这样的点。，使得AQMN是等腰直角

【答案】(1)0P的百杼长为30：(2)①加解析：②存在这样的点。!(3-)5,6-30)和

02(3+0,6+3正)，使得AQMN是等接直角三角形.

【解析】

【分析】

(1)连接BC,证明^ABC为等腰直角三角形，则。P的直径长=BOAB,即可求解；

(2)过点C作CE_LA8于点E,证明CE=ACsin450=4x经血=圆的当径，即可求解；

(3)假设存在这样的点。，使得AQMN是等腰直角三角形，分点。在线段C尸上时和点。在线段CF的

延长线上两种情况，分别求解即可.

【详解】

(1)如图3,连接BC,

图3

VZBOC=90°,

，点P在BC上，

•・・OP与直线h相切于点B,

AZABC=90°,WOA=OB,

/.△ABC为等腰直角三角形，

则。P的直径长二BC=AB=3V2

(2)如图4过点。作CE_LA3于点E，

图4

将y=0代入y=3x-3,得X=l,

，点C的坐标为(1,0).

AC=4>

•・•ZC4E=45°,

二CE-与AC=2a

丁点。与点C重合,

又。。的半径为20，

・•・直线4与。。相切.

②假设存在这样的点。，使得AQMN是等腰直角三角形,

•・,直线4经过点A(—3,0)1(0,3),

・•・/的函数解析式为》=x+3.

记直线4与4的交点为产，

情况一：

如图5,当点。在线段C尸上时,

由题意，得NMNQ=45。.

如图，延长N。交x轴于点G,

图5

•・,4Ao=45。，

・•・ZNGA=180°-45°-45°=90°,

即NG_Lx轴，

工点。与N有相同的横坐标，

设Q（机,3加一3）,则N（m,m+3）,

QN=m+3-（3加-3）.

•••。。的半径为2&，

，机+3—（3机-3）=2^2,

解得切=3-&，

・•・3机—3=6-3点，

・•・Q的坐标为（3-6-3夜）.

情况二：

当点。在线段C尸的延长线上时，同理可得利=3+应，。的坐标为（3+企,6+3五）.

・•・存在这样的点0(3-五,6-30)和。2(3+后,6+3&)，使得AQMN是等腰直角三角形.

【点睛】

本题为圆的综合运用题，涉及到一次函数、圆的切线性质等知识点，其中(2),关键要确定圆的位置，分

类求解，避免遗漏.

4.(2018•山东中考真题)如图①，在平面直角坐标系中，圆心为P(x,y)的动圆经过点A(1,2)且与

x轴柜切于点B.

(1)当x=2时，求。P的半径；

(2)求y关于x的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；

(3)请类比圆的定义(图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合)，给(2)中所得函数图象进

行定义：此函数图象可以看成是到的距离等于到的距离的所有点的集合.

<4)当OP的半径为1时，若0P与以上(2)中所得函数图象相交于点C、D,其中交点D(m,n)在点

C的右侧，请利用图②，求cosNAPD的大小.

【答案】(1)v；(2)图象为开口向上的抛物线，见解析；(3)点A；x轴；(4)75-2

4

【解析】

分析：(1)由题意得到AP=PB,求出y的值，即为圆P的半径；

(2)利用两点间的距离公式，根据AP二PB,确定出y关于x的函数解析式，画出函数图象即可;

(3)类比圆的定义描述此函数定义即可；

(4)画出相应图形，求出m的值，进而确定出所求角的余弦值即可.

详解：(1)由x=2,得至ljP(2,y),

连接AP,PB,

•・•圆P与X轴相切，

・・・PBJ_x轴，即PB=y,

由AP=PB,得到J(l_2『+(2_y)2=y,

解得：y=[，

则圆p的半径为3：

4

(2)同(1),由AP=PB,得至lj(x-1)2+(y-2)2=y2,

整理得：y=!(x-1)2+1,即图象为开口向上的抛物线,

4

画出函数图象，如图②所示；

(3)给(2)中所得函数图象进行定义：此函数图象可以看成是到点A的距离等于到x轴的距离的所有点

的集合；

故答案为点A；x轴；

(4)连接CD,连接AP并延长，交x轴于点F,交CD于E,

设PE=a,则有EF=a+l,ED=J1_°2,

；・D坐标为(1+J]—々2,a+l),

代入抛物线解析式得：a+l=-(1-a2)+1,

解得：a=-2+&■或a=-2-&（舍去），即PE=-2+右,

在RIAPED中，PE=75-2,PD=I,

PE

则cos/APD二一=Jr5-2.

PD

点睛：此题属于圆的综合题，涉及的知识有：两点间的距离公式，二次函数的图象与性质，圆的性质，勾

股定理，弄清题意是解本题的关键.

5.(2。18•江苏中考真题)如图，在平面直角坐标系中，二次函数丫=(x-a)(x-3)(0<a<3)的图象与x轴

交于点A、B(点A在点B的左侧)，与)轴交于点D,过其顶点C作直线CP_Lx轴，垂足为点P,连接

AD、BC.

(1)求点A、B、D的坐标；

(2)若AAOD与ABPC相似，求a的值；

(3)点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由.

7

【答案】(1)(1)A(a,0),B(3,0),D(0,3a).(2)a的值为一.(3)当@二6时，D、0、C、B四点

共圆.

【解析】

【分析】(1)根据二次函数的图象与x轴相交，则y=0,得出A(a,0),B(3,0),与y轴相交，则x=0,

得出D(0,3a).

(2)根据(1)中A、B、D的坐标，得出抛物线对称轴x=@二，AO=a,OD=3a,代入求得顶点C(空3，

22

1),从而得PB=3--=—,PC=f—I；再分情况讨论：①当AAODs^BPC时，根据

I2)22I2)

a_3a

相似三角形性质得3-。(3-。丫，解得：a=±3(舍去);

1a13a7

②△AODsaCPB,根据相似三角形性质得(3-。丫3-。,解得：ai=3(舍)，a?二-；

33

(3)能；连接BD,取BD中点M,根据己知得D、B、O在以BD为直径，M(-,-a)为圆心的圆上,

22

若点C也在此圆上，则MC二MB,根据两点间的距离公式得一个关于a的方程，解之即可得出答案.

【详解】(1)*.*y=(x-a)(x-3)(0<a<3)与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，

AA(a,0),B(3,0),

当x=0时，y=3a,

AD(0,3a)；

(2)VA(a,0),B(3,0),D(0,3a).，对称轴,AO=a,OD=3a,

2

%«+3叶f'3-af

当x=——时，y=-----,

2I2)

①当AAODsaBPC时,

.AOOD

解得：a=±3（舍去）;

②△AODs^CPB,

AOOD

7

解得：ai=3(舍)，a2=—.

3

7

综上所述：a的值为彳；

3

（3）能；连接BD,取BD中点M,

33

VD,B、0三点共圆，且BD为直径，回心为M（-,-a）,

22

若点C也在此圆上，

化简得：a4-14a2+45=0,

:.（a2-5）（a2-9）=0,

a2=5或a2=9,

*,•31=\/5，32=_y/S»33=3（舍），H4=_3（舍），

V0<a<3,

••a二^5，

・••当2=石时，D、0、C、B四点共圆.

【点睛】本题考查了二次函数、相似三角形的性质、四点共圆等，综合性较强，有一定的难度，正确进行

分析，熟练应用相关知识是解题的关键.

6.（2017•江苏中考真题）如图，以原点。为圆心，3为半径的圆与x轴分别交于A,B两点（点B在点A

的右边）,P是半径OB上一点，过P且垂直于AB的直线与。O分别交于C,D两点（点C在点D的上方），

直线AC,DB交于点E.若ACCE=1：2.

（1）求点P的坐标；

（2）求过点A和点E,且顶点在直线CD上的抛物线的函数表达式.

y

【答案】(1)P(1,0).(2)y=2^x2-亚x-15一

848

【解析】

试题分析：(1)如图，作EF_Ly轴于F,DC的延长线交EF于H.设H(m,n),则P(m,0),PA=m+3,

arprAPi

PB=3-m.首先证明△ACPS^ECH,推出一=一=一=一，推出CH=2n,EH=2m=6,再证明ADPB

CECHHE2

-△DHE,推出竺=丝=2_=1,可得=9，求出m即可解决问题；

EHDH4n42m+64

(2)由题意设抛物线的解析式为y=a(x-3)(x-5),求出E点坐标代入即可解决问题.

试题解析：(1)如图，作EFJ_y轴于F,DC的延长线交EF于H.设H(m,n),则P(m,0),PA=m+3,

AAACP^AECH,

.竺_竺_竺一

••布一祷一诟一万

ACH=2n,EH=2m=6,

VCD1AB,

APC=PD=n.

VPB/7HE,

/.△DPB^ADHE,

PB_DP_n_1

•t•,

现DH4口4

3一必_1

2初+64

.*.m=l,

AP(1,0).

(2)由(1)可知，PA=4,HE=8,EF=9,

连接OP,在RSOCP中，PC70c2_°p2=2&，

，CH=2PC=4&,PH=6也，

AE(9,6&),

•・•抛物线的对称轴为CD,

:.(-3,0)和(5,0)在抛物线上，设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-5),把E(9,6及)代人得到

a①

8

・•・抛物线的解析式为丫=亚(x+3)(x-5),即y=2^x2-@x-包2.

8848

考点：圆的综合题.

7.(2019•山东中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=。/+8%+，与。1\1相交于人、B、C^

D四点.其中AB两点的坐标分别为(-1,0),(0,-2),点D在x轴上且AD为。M的直径.点E是。M

与y轴的另一个交点，过劣弧DE上的点F作FH_LAD于点H,且FH=1.5.

(1)求点D的坐标及该抛物线的表达式；

(2)若点P是x轴上的一个动点，试求出/PEF的周长最小时点P的坐标；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使/QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标;

如果不存在，请说明理由.

【答案】(1)(4,0),y=1(%+1)(%-4)：(2)P(2,0)；

35353325

(3)Q.(—9—),QJ(一,--)9Q?(一,・4),/•Q4(一,•—

12222252428

【解析】

试题分析：(1)根据题意，设点M的坐标为(m,0),根据两点间的距离公式(半径相等)可以求得m=£,

则点D的坐标为(4,0),这样就可以根据交点式来求解抛物线的解析式:y=1(x+l)(x-4)=^2-1%-2；

(2)要在“轴上的找到一点P,使得Z1PEF的周长最小，我们先来看E,F两点，这是两个定点，也就是说

EF的长度是不变的，那实际上这个题目就是求PE+PF的最小值，这就变成了轴对称问题中最为经典的“放

羊问题”,要解决这一问题首先我们看图中有没有E或F的对称点，根据题意，显然是有E点的对称点B的，

那么连接BF与X轴的交点就是我们要求的点P(2,0)；

(3)首先点M本身就在抛物线对称轴上，其坐标为6，0)；点C是点B关于抛物线对称轴的对称点，所以

点C的坐标为(3,-2)；求Q点的坐标，根据题意可设Q点为0,n)./QCM是等腰三角形，则可能有

三种情况，分别是QC=MC；QM=MC；QC=QM.根据这三种情况就能求得Q点的坐标可能是(;，±4或

(|，一月或G，一旬.

试题解析：(1)VA(-1,0),B(0,-2)

AOE=OB=2,OA=1,

TAD是。M的直径，

.\OEOB=OAOD,

即：22=1OD,OD=4,

AD(4,0),

把A0),B(0,-2),D(4,0)代入了二扇+此+仁得:

a-b+c=0

c=-2

16a4-4b+c=0

3

2

-X

该抛物线的表达式为：y=^2

连接AF,DF,

・・・FHJ_AD于点H,AD为直径

AAAFH^AFDH,

・・・E点与B点关于点0对称，

根据轴对称的性质，连接BF交x轴于点P,

VA(-1,0),D(4,0),

.\AD=5,

设DH=x,则AH=5-x,

即1.52=x⑸x),

9

5x-x2=—,

4

4x2-20x+9=0,

(2x-l)(2x-9)=0,

由AH>DH,

1

ADH=-,

2

1

.\OH=OD-DH=-，

3

AF(3.5,1.5),

设直线BF的解析式为y=h+b,

则3.5k+b=l.5；b=-2,

则k=l,b=-2,

.*.y=x-2,

令y=0,贝ljx=-2,

AP(2,0)

325

-，----)

28

考点：二次函数与圆

8.(2019•山东中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心。在坐标原点，且与两坐标

轴分别交于A、B、C、。四点.抛物线y=。/+①；+。与旷轴交于点。，与直线y=x交于点M、N,且

NC分别与圆。相切于点力和点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线的对称轴交x轴于点E,连结DE,并延长DE交圆。于凡求EF的长.

(3)过点8作圆。的切线交。C的延长线于点P,判断点P是否在抛物线上，说明理

【答案】(1)9=一'+"+1(2)噂(3)点P在抛物线上，理由见解析

【解析】

解：(1)•••圆心0在坐标原点，圆。的半径为1,

・•.点力、B、C、。的坐标分别为4(一1,0)、B(0,-1),C(l,0)、0(0,1)

••・抛物线与直线＞=》交于点M、N,且NC分别与圆。相切于点4和点C,

M(-l,-1)、N(l,1).

•.•点。，M.N在抛物线上，将0(0,1).A1(-1,-1).N(l,1)的坐标代入

2

y=ax+bx+cf得：J—。+乃+’解之，得：b=1

,c=1

••・抛物线的解析式为：C(l,0)、D(0,1).

(2)y=-x2+x+1=-(x2+、

二抛物线的对称轴为“=5

又。£=在，0D=1,DB=2,

FD=竿，

：.EF=FD-DE=运-运=运.

5210

(3)点P在抛物线上.

设过D、C点的直线为：y=kx+b,

将点C(l,0)、D(0,1)的坐标代入y=kx+b,得：k=-l,b=1,

二直线DC为：y=kx+b.

过点P作圆0的切线BP与P轴平行，P点的纵坐标为y=-1,

将y=-1代入y=kx+b,得：x=2.

•••P点的坐标为y=-1,

当％=2时，y=-x24-x+1=-224-24-1=-1,

所以，P点在抛物线C(l,0).D(0,1)上.

(1)根据。O半径为1,得出D点坐标，再利用CO=1,AO=1,点M、N在直线y=x上，即可求出答案;

(2)先利用配方法求出顶点坐标，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得结果；

(3)先求出直线CD的解析式，即可得到点P的坐标，从而可以判断点P是否在抛物线上.

9.(2018•山东中考真题)如图，已知抛物线y=ax?+bx+c(a/))经过点A(3,0),B(-1,0),C(0,

-3).

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M,求切点M的坐标；

(3)若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形？若

a

【答案】(1)y=x2-2x-3；(2)M(-屋-W)；(3)存在以点B,C,Q.P为顶点的四边形是平行四

边形，P的坐标为(1+J7,3)或(1-",3)或(2,-3).

【解析】

【分析】

(1)把A,B,C的坐标代入抛物线解析式求出a,b,c的值即可；

(2)由题意得到直线BC与直线AM垂直，求出直线BC解析式，确定出直线AM中k的值，利用待定系

数法求出直线AM解析式，联立求出M坐标即可；

(3)存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况，利用平移规律确定出P的坐标即

可.

【详解】

9a+36+c,-0

(1)把人(3,0),B(-1,0),C(0,-3)代入抛物线解析式得：，a-b+c=0,

c=-3

a=\

解得：＜力=-2,

c=-3

则该抛物线解析式为y=x2-2x-3；

(2)设直线BC解析式为丫=1^-3,

把B1・1,0)代入得：・k・3=0,即k=-3,

，直线BC解析式为y=-3x-3,

・•・直线AM解析式为y=1x+m,

把A(3,0)代入得：l+m=0,即m=-1,

:.直线AM解析式为y=-x-1,

y=-3x-3

联立得：(1—

y=—x-1

I3

3

x=——

解得：，

0

y="5

36

则nlM(-丁-y);

(3)存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形，

分两种情况考虑：

设Q：x,0),P(m,m2-2m-3),

当四边形BCQP为平行四边形时，由B(-1,0),C(0,-3),

根据平移规律得：-l+x=0+m,0+0=-3+m2-2m-3,

解得：m=\±yf7,x=2土币,

当m=l+V7时，m2-2m-3=8+2后-2-2近-3=3,即PC+近，3)；

当m=l-近时，m2-2m-3=8-277-2+277-3=3,即P（1-近，3）；

当四边形BCPQ为平行四边形时，由B（・1,0）,C（0,-3）,

根据平移规律得：-l+m=0+x,0+m2-2m-3=-3+0,

解得：m=0或2,

当m=0时，P（0,-3）（舍去）；当m=2时，P（2,-3）,

综上，存在以点B,C,Q,P为顶点的四边形是平行四边形，P的坐标为（1+",3）或（1-、斤，3）

或（2,-3）.

【点睛】

此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质以及平移规律，

熟练掌握各自的性质是解本题的关键.

10.（2018•湖南中考真题）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”.

（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有;

②在凸四边形AB