数学同步测控：圆内接四边形

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精同步测控我夯基我达标1。如图1.2—112,∠DCE是⊙O的内接四边形ABCD的一个外角,并且∠DCE=110°，则∠A等于()图1.2—112A。70°B。80°C.100°D.110°解析:∠A=∠DCE=110°.答案：D2。已知圆内接四边形ABCD，∠A∶∠B∶∠C=3∶5∶6,那么∠A等于（）A.20°B。40°C。60°D。80°解析:设∠A=3x，则∠C=6x，且∠A+∠C=180°,∴x=20°，∴∠A=60°.答案:C3。四边形ABCD为圆的内接四边形，BC为圆的直径，若∠ABC+∠DCB=120°,则所对的圆周角为(）A。30°B.40°C。60°D.80°解析:如图，∵BC是⊙O的直径，∴的度数为180°，又（）+(）的度数为120°。∴(）的度数为240°。∴的度数为60°，所对的圆周角为30°.答案:A4.如图1。2-113,四边形ABCD内接于⊙O，延长AD、BC相交于点M，延长AB、DC相交于点N，∠M=40°,∠N=20°,则∠A的大小是（）图1。2-113A.55°B.60°C.65°D。70°解析：∵∠CBA=∠N+∠1，∠CDA=∠M+∠2。又∠A=∠1=∠2，∠CBA+∠CDA=180°，∴2∠A=180°—(∠M+∠N），∴∠A=60°.答案:B5.如图1.2-114，已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，E为BC延长线上一点，∠BOD=100°，则∠DCE的度数是（）图1。2-114A。70°B。80°C。50°D。无法确定解析:∠A=12∠BOD=50°,又∠A=∠DCE，∴∠DCE=50°.答案：C6.四边形ABCD内接于圆，则∠A、∠B、∠C、∠D的度数比可以是(）A.1∶2∶3∶4B.7∶5∶10∶8C.13∶1∶5∶17解析:∵∠A+∠C=∠B+∠D=180°，∴13+5=1+17满足要求。答案:C7.圆内接平行四边形一定是（)A。矩形B。正方形C。菱形D。梯形解析：∵圆的内接四边形ABCD的对角互补，∴∠A+∠C=180°，又由同旁内角知∠A+∠B=180°，∴∠B=∠C，又∵∠B+∠C=180°,∴∠B=∠C=90°.∴圆内接平行四边形ABCD一定为矩形。答案：A8.如图1。2-115，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠BAC=20°,AD=CD，则∠DAC的度数是(）图1。2—115A.30°B.35°C。45°D。70°解析：连结BC，则∠ACB=90°，∴∠ABC=70°，∵∠ABC+∠ADC=180°，故∠ADC=110°.又∵AD=CD,∴∠DAC=(180°-110°)=35°。答案：B9.已知四边形ABCD是圆内接四边形，下列结论中正确的有(）①如果∠A=∠C,则∠A=90°②如果∠A=∠B，则四边形ABCD是等腰梯形③∠A的外角与∠C的外角互补④∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是1∶2∶3∶4A。1个B.2个C.3个D。4个解析：由“圆内接四边形的对角互补”可知:①相等且互补的两角必为直角；②两相等邻角的对角也相等(亦可能有∠A=∠B=∠C=∠D的特例）；③互补两内角的外角也互补；④两组对角之和的份额相等（这里1+3≠2+4）。因此得出①③正确，②④错误。答案:B10.如图1。2-116，四边形ABCD为圆O的内接四边形.如果∠BOD=100°,那么∠BCD等于（）图1。2-116A。130°B。100°C。80°D。50°解析：∠A=∠BOD=50°，∠BCD=180°-∠A=130°。答案：A11.如图1.2-117,自圆外一点P引两条割线PAB和PCD，连结AD、BC相交于E,则下列各式中成立的是（）图1.2—117A.PA·AB=PC·PDB。AE·BE=CE·DEC.PB·AB=PD·CDD.PA·BC=PC·AD解析：∵∠B=∠D且∠P=∠P，∴△PBC∽△PDA，∴PAPC=ADBCPA·BC=PC·AD。答案：D我综合我发展12.如图1。2-118,∠C=135°，则∠O等于_____________。图1。2-118解析：在优弧上取一点D，连结AD,BD，∠D=180°—∠C=45°.∠O=2∠D=90°。答案：90°13。如图1.2—119,AB是⊙O的直径,AB=AC，∠A=50°，是度____________，是度____________，∠EDC=度____________。图1.2-119解析：连结BE、DA，等腰△ABC中，∠A=50°，∴∠B=65°，∵∠ADB=90°。∴∠BAD=90°—65°=25°。∵的度数等于∠BAD的度数的2倍。∴的度数为50°，同理∠ABE=90°—50°=40°,的度数等于△ABE度数的2倍.∴的度数为80°，∠EDC=∠A=50°.答案:50805014.如图1。2-120,圆内接四边形ABCD中，若∶∶∶2∶5∶4∶1，则∠A=____________，∠B=____________，∠C=____________，∠D=____________。图1.2-120解析：设的度数为x，由2：5：4：1，可得AB的度数为2x，BC的度数为5x,CD的度数为4x，由于整个圆周为360°,所以x+2x+4x+5x=360°x=30°.所以的度数为60°，的度数是150°，的度数为120°.所以∠A的度数=的度数=（150°+120°)=135°。又∵四边形ABCD内接于圆,故∠A+∠C=180°，∴∠C=180°—135°=45°。同理∠D=105°，∠B=75°。答案:135°75°45°105°15。如图1。2-121,已知在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC,△ABD的外接圆和BC交于E。若∠C=35°，则∠EDC=______________.图1。2—121解析：连结DE。∵BD平分∠ABC，∴，AD=DE.∵ABED是圆内接四边形，∴∠EDC=∠ABC.∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠EDC=∠C=35°。答案：35°我创新我超越16。如图1。2—122所示，AB、CD都是圆的弦,且AB∥CD,F为圆上一点，延长FD、AB交于点E.求证：AE·AC=AF·DE。图1。2—122解析：连结BD。则BD=AC.即证AE·BD=AF·DE.证明：连结BD，∵AB∥CD，∴BD=AC.∵A、B、D、F四点共圆,∴∠EBD=∠F。∵∠E为△EBD和△EFA的公共角,∴△EBD∽△EFA。∴。∴,即AE·AC=AF·DE.17。如图1.2—123,△ABC的∠A的外角平分线交△ABC的外接圆于点D。求证:AB+AC〈2BD。图1。2-123解析：因为比较的是两条线段的和与另一条线段的大小，所以应将两条线段的和转化为一条线段，故可延长BA到E，使得AE=AC，然后比较BE与2BD的大小关系.证明：在BA延长线上取点E，使得AE=AC。连结DC、DE。∵AE=AC，∠1=∠2，AD=AD,∴△ADE≌△ADC.∴DE=DC.在△BED中，BE＜BD+DE=BD+DC，即AB+AC＜BD+DC。∵A、B、C、D是圆内接四边形，∴∠1=∠BCD.又∵∠2=∠DBC,∠1=∠2，∴∠BCD=∠DBC。∴BD=DC。因此AB+AC＜2BD成立.18.如图1.2—124,在圆内接四边形ABCD中,AB=BD=DA，BC=2CD，求证:AC=3CD.图1.2—124证明：在AC上截AE=BC，连结DE。∵AB=BD=DA,又∠1=∠2△ADE≌△BDCDE=CD，AC=AE+EC=BC+CD=3CD.19.如图1.2-125,ABCD是圆内接四边形，EB是⊙O的直径，且EB⊥AD，AD与BC的延长线交于F，求证：。图1。2-125证明：连结AC,.20。如图1。2-126,已知四边形ABCD内接于圆,延长AB和DC相交于E，EG平分∠E,且与BC、AD分别相交于F、G，求证:∠CFG=∠DGF.图1.2—126证明:∵A、B、C、D四点共圆，∴∠FCE=∠A∵∠CFG=∠FCE+∠CEF,∠DGF=∠A+∠AEG,而∠AEG=∠CEF，∴∠CFG=∠DGF.21。如图1.2127,已知P为正方形ABCD的对角线BD上一点，通过P作正方形的边的垂线，垂足为E、F、G、H.你能发现E、F、G、H是否在同一个圆上吗?试说明你的猜想.图1.2-127解析:根据正方形的对称性，可以猜想,此四个点应当在以O为圆心的圆上