数学同步测控：对数函数指数函数与对数函数的关系

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精同步测控我夯基,我达标1。当a＞1时,在同一坐标系中,函数y=a-x与y=logax的图象是()图3-2-3解析:首先把y=a—x化为y=（）x，∵a＞1,∴0＜＜1。因此y=（）x，即y=a—x的图象是下降的，y=logax的图象是上升的。答案:A2.已知0＜x＜y＜a＜1，则有()A.loga（xy）＜0B。0＜loga（xy)＜1C.1＜loga（xy）＜2D.loga（xy）＞2解析：∵0＜x＜a＜1,∴logax＞logaa=1。又0＜y＜a＜1，∴logay＞logaa=1。∴logax+logay=loga（xy)＞2。答案:D3。若函数y=f（x）的定义域为［，2]，则函数y=f（log2x）的定义域为()A.［-1，1]B.［，2］C.［1,2］D.［，4］解析:由题意得≤log2x≤2，即log2≤log2x≤log24.解得≤x≤4。答案：D4.若定义在（—1，0）上的函数f（x)=log2aA。(0，)B.(0,］C.(，+∞)D。（0，+∞）解析:当x∈(—1,0）时，有x+1∈(0,1），此时要满足f（x）〉0，只要0<2a〈1即可.由此解得0〈a<.答案：A5。函数y=loga（x—2)+1（a＞0且a≠1）恒过定点________。解析:若x—2=1，则不论a为何值，只要a＞0且a≠1,都有y=1.答案：（3，1)6.函数f（x）=log(a—1）x是减函数，则a的取值范围是_________。解析：注意到a—1既受a-1＞0且a—1≠1的制约，又受减函数的约束，由此可列关于a的不等式求a.由题意知0＜a-1＜1，∴1＜a＜2.答案:1＜a＜27。求下列函数的定义域：(1）y=;(2)y=；（3）y=（a〉0，a≠1)。分析:解决有关函数求定义域的问题时可以从以下几个方面考虑，列出相应不等式或不等式组，解之即可。（1)若函数解析式中含有分母,则分母不等于0；(2)若函数解析式中含有根号,要注意偶次根号下非负；（3）0的0次幂没有意义;（4）若函数解析式中含有对数式,要注意对数的真数大于0。求函数的定义域的本质是解不等式或不等式组.解:（1)由32x—1≥0,得32x-1≥3-3.∴2x—1≥-3.∴x≥—1。∴函数的定义域为[-1，+∞）.（2)由0≤x〈1.∴函数的定义域为［0,1)。(3）由得①当a>1时，—a<-1，由①，得x+a〈a.∴x<0.∴定义域为（-a,0).当0<a<1时,-1〈—a〈0.由①，得x+a〉a.∴x〉0.∴定义域为(0,+∞）.故所求定义域是:当0<a<1时，x∈(0，+∞)；当a〉1时,x∈(—a，0).8.已知f(x）=1+logx3，g（x）=2logx2，试比较f（x）与g（x)的大小。分析:要比较两个代数式的大小，通常采取作差法或作商法,作差时，所得差同零比较，作商时，应先分清代数式的正负,再将商同“1"比较大小。因为本题中的f（x)与g（x)的正负不确定，所以采取作差比较法。解：f（x)和g(x）的定义域都是（0，1）∪（1，+∞）.f（x）-g(x）=1+logx3-2logx2=1+logx3-logx4=logxx.（1）当0＜x＜1时,0＜x＜<1.此时logxx＞0，即0＜x＜1时，f(x）＞g（x).（2)当x＞1时,若x＞1，即x＞,此时logxx＞0，即x＞时，f（x)＞g（x）;若x=1,即x=,此时logxx=0,即x=时，f（x）=g（x）;若0＜x＜1，即0＜x＜，此时logxx＜0，即1＜x＜时，f（x）＜g（x）.综上所述，当x∈(0，1）∪(，+∞）时，f（x）＞g（x）；当x=时，f（x）=g(x）；当x∈（1，）时，f（x）＜g（x）。我综合,我发展9。已知函数f（x）=log2（x2—ax+3a）在［2，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是(）A.（—∞,4）B。（-4，4］C。(-∞，—4）∪［2，+∞)D.[—4，4)解析：解决复合函数问题的通法是把复合函数化归为基本初等函数.令u（x)=x2—ax+3a，其对称轴为x=。由题意有解得-4〈a≤4。答案：B10.函数y=lg的图象大致是(）图3—2—4解析：本题通法有两种：①图象是由点构成的，点构成函数的图象,所以可取特殊点（2，0）、（，1）;②利用函数解析式判断函数的性质，函数的定义域为（1，+∞），在定义域上函数为减函数。答案：A11。若函数f(x）=logax（0<a〈1）在区间［a，2a］上的最大值是最小值的3倍，则a等于（)A。B。C.D.解析：本题关键是利用f(x)的单调性确定f（x）在[a,2a］上的最大值与最小值。f（x）=logax（0〈a<1）在(0，+∞)上是减函数，当x∈[a,2a］时，f(x)max=f（a）=1，f(x)min=f(2a）=loga2a.根据题意,得3loga2a=1，即loga2a=,所以loga2+1=，即loga2=。故由a=2，得a=2=。答案:A12.（2006福建高考，理8）函数y=log2（x>1）的反函数是（)A.y=(x>0）B.y=（x<0）C.y=（x〉0)D。y=(x<0）解析：将对数式换成指数式,得2y=(x>1)x=〉12y>1y〉0，故所求的反函数为y=（x>0）。答案:A13.loga〈1，则a的取值范围是________。解析：当a>1时，loga〈1=logaa.∴a〉。又a>1，∴a>1。当0〈a〈1时，loga<1=logaa。∴a〈。又0<a<1，∴0〈a<.答案：（0，）∪（1，+∞)14。函数f（x）=loga(a>0且a≠1)，f(2)=3，则f（—2）的值为__________.解析：∵f（—x）=loga=—loga=—f（x).∴函数为奇函数.∴f（-2）=—f（2）=-3。答案：-315.求函数f(x）=log2+log2（x—1）+log2（p—x）的值域.分析:求函数值域，必须先求定义域，求对数函数的定义域转化为解不等式组。解：f(x）的定义域为∴∴∵函数定义域不能是空集，∴p＞1，定义域为（1，p）.而x∈(1，p）时，f（x）=log2（x+1）（p-x）=log2[—x2+（p—1)x+p］=log2［—(x)2+（）2］。（1）当0＜≤1，即1＜p≤3时，0＜（x+1）(p-x）＜2（p—1）。∴f（x)的值域为（—∞，log22（p-1）)。（2）当1＜＜p,即p＞3时，0＜（x+1）(p—x）≤（)2。∴函数f(x）的值域为（-∞,2log2(p+1)—2］。16.已知f(x）=lg（ax-bx）（a>1〉b〉0）.（1）求y=f（x）的定义域；(2)在函数图象上是否存在不同的两点，使过两点的直线平行于x轴。分析:对于（2)的判断可借助函数图象，思维难点是把问题化归为研究函数的单调性问题。解：(1）由ax—bx>0,得（）x〉1=（）0.∵〉1,∴x〉0。∴函数的定义域为(0，+∞）.（2）先证明f（x)是增函数。对于任意x1〉x2>0，∵a〉1>b>0，∴a〉a，b<b.∴a-b〉a—b.∴lg（a—b）〉lg（a-b）.∴f（x1）>f（x2）。∴f(x)在（0，+∞）上为增函数。假设y=f（x）的图象上存在不同的两点A（x1，y1）、B（x2，y2)，使直线AB平行于x轴，则x1≠x2，y1=y2,这与f（x）是增函数矛盾。∴y=f(x）的图象上不存在两点，使过这两点的直线平行于x轴.我创新，我超越17。已知函数y=f（x）的图象与函数y=ax(a〉0且a≠1)的图象关于直线y=x对称,记g(x)=f（x）［f（x)+f（2）-1］。若y=g（x)在区间［,2］上是增函数，则实数a的取值范围是(）A。［2,+∞)B。（0，1）∪(1，2）C。［，1）D。(0，］解析:∵y=f（x)的图象与y=ax的图象关于直线y=x对称,∴f（x）=logax（x>0）.g(x)=f（x）［f（x)+f（2)-1］=f2(x)+f（x）loga。令f（x）=t.因为g(x)在［，2］上单调递增,①当a〉1时,f（x）单调递增,t∈［loga,loga2］，g（t)=t2+loga·t，则loga≥loga满足题意。解得a∈.②当0〈a<1时,f（x）单调递减，t∈［loga2,loga］，g（t)=t2+loga·t,则loga≤loga满足题意.解得a∈（0，］.综合①②可得a∈（0,]。答案：D18。已知函数f（x）=（)x的图象与函数g（x)的图象关于直线y=x对称，令h（x）=g(1—|x|），则关于h（x）有下列命题：（1）h（x)的图象关于原点对称;（2）h(x)为偶函数；(3）h(x)的最小值为0；（4）h(x)在(0,1）上为减函数.其中正确命题的序号为_______.（将你认为正确的命题的序号都填上）解析：根据题意,得g(x）=logx,∴h（x)=g(1—|x|)=log（1-｜x｜)（—1<x<1）.∴h(x）是偶函数，h（x）不关于原点对称.∴（1）不正确；(2）正确。∵h（x）=log（1—｜x|)≥log1=0，∴（3）正确.∵u=1—|x|在(0,1）上为减函数,h(x）=logu为减函数,∴f（x)为增函数。∴（4)不正确.答案：(2)(3）19.已知函数f(x)=ln（ax-kbx)(k>0，a〉1>b〉0)的定义域为(0，+∞），是否存在这样的a、b，使得f(x）恰在（1,+∞）上取正值，且f（3）=ln4？若存在,试求出a、b的值，若不存在，试说明理由。分析：对于探索性问题中的存在性问题，往往是先假设存在符合题设的条件，然后综合运用已知条件和数学思想方法步步推导，直到找出与题中的条件、定理、公理相符或矛盾的结果,从而得出上述假设肯定或否定的结论。解:∵f(x）的定义域为（0，+∞），∴不等式ax-kbx〉0的解集为（0，+∞），该不等式化为（）x〉k。∵不等式的解集为(0，+∞），∴k=1.从而f(x）=ln（ax-bx)。若存在满足题设的a、b，则f（3)=ln（a3-b3)=ln4。ln（ax-bx)>0对一切x＞1恒成立,易证得f（x）在（1，+∞)上是增函数，∴当x＞1时，f(x）＞f（1），又f(x）＞0恰在（1，+∞）上成立，即ln（a—b）=0,∴a-b=1.①又f（3）=ln（a3-b3)=ln4，∴a3—b3=4。②由①②组成方程组，并注意到a〉1>b>0，解得a=，b=。故存在满足题设中的a、b。20.已知函数f（x)=loga［（—2）x+1]在区间[1,2］上恒为正，求实数a的取值范围。分析:f（x)是对数函数,g（x）为一次函数，影响对数函数的单调性的参数是底数a，影响一次