数学同步测控：曲线的极坐标方程的意义

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精同步测控我夯基,我达标1。下列各点在方程ρ=8sinθ表示的曲线上的是（）A。（8,）B。（，)C。(4，）D.（8，）解析：代入验证，A、B、D都不对，C对.答案：C2.直线l1:ρsin(θ+α)=a和l2：θ=-α的位置关系是（其中θ为极角，α为常量）（)A。l1∥l2B.l1⊥l2C.l1和l2重合D.l1和l2解析:可以先化为直角坐标方程然后判断位置关系。答案:B3.如果直线ρ＝与直线l关于极轴对称，则直线l的极坐标方程是()A.ρ=B.ρ=C。ρ=D.ρ=解析：由ρ=,知ρcosθ-2ρsinθ=1，即x—2y=1。故直线l的直角坐标方程为x+2y—1=0。化为极坐标方程为ρcosθ+2ρsinθ-1=0,化简即为ρ=。答案:A4.极坐标方程ρ=所对应的直角坐标方程为.解析:本题考查直角坐标与极坐标之间的互化公式:将ρ、θ消去,换成字母x、y即可.因为ρ=可化为ρ=，即ρ=,去分母,得ρ=2+ρcosθ，即x2+y2=（2+x）2，整理可得.答案：y2=4(x+1)5.判断点O（0,)是否在曲线ρ=sin2θ上。解：由于O为极点，只需判断曲线是否过极点就行了，而sin2θ=0显然有解,故O(0，）在曲线ρ=sin2θ上。6。若以直角坐标系的原点作极点，x轴正半轴作极轴，化下列方程为极坐标方程。(1);(2）;(3）y2=2px。思路分析：本题考查直角坐标方程转化为极坐标方程，可用x=ρcosθ，y=ρsinθ代入直接得到。解：（1)将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入方程，得b2ρ2cos2θ+a2ρ2sin2θ=a2b2,即即以椭圆中心为极点的极坐标方程为ρ2=。（2)将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入方程，得即以双曲线中心为极点的极坐标方程为ρ2=。(3）将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入方程，得ρ=,即以抛物线的顶点为极点，对称轴为极轴时，抛物线的极坐标方程为ρ=.我综合，我发展7。曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化成直角坐标方程为（)A。x2+（y+2）2=4B.x2+（y-2)2=4C。（x—2)2+y2=4D.（x+2）2+y2=4解析:ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，所以x2+y2=4y,即x2+（y-2)2=4.答案：B8。极坐标方程ρ2cos2θ—2ρcosθ=1表示的曲线是（）A。圆B。椭圆C。抛物线D.双曲线解析：∵ρ2cos2θ—2ρcosθ=1,∴ρ2·（cos2θ—sin2θ）-2ρcosθ=1,ρ2cos2θ—2ρcosθ+1—ρ2sin2θ=2,(ρcosθ-1)2-ρ2sin2θ=2。令ρcosθ=x,ρsinθ=y,则（x-1）2—y2=2。∴曲线表示双曲线.答案：D9。极坐标方程ρ=cos（-θ)表示的曲线是（）A.双曲线B。椭圆C.抛物线D。圆解析：∵ρ=(cosθ+sinθ)，∴ρ2=ρcosθ+ρsinθ。∴直角坐标方程为（x2+y2)=x+y，表示圆.答案:D10。圆ρ=10cos（-θ)的圆心坐标是（)A.（5，0）B.（5，—)C。（5,)D.(5,2）解析：可以先化为直角坐标方程x2+y2—5x—5y=0，得圆心坐标为（，）,化为极坐标为（5，）.答案:C11。已知点P的坐标为（1，π)，那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（)A。ρ=1B。ρ=cosθC.ρ=D。ρ=解析：数形结合求直线的方程，关键是找出等量关系.答案：C12.从原点O引直线交直线2x+4y-1=0于点M，P为OM上一点,已知｜OP｜·|OM|=1，求P点的极坐标方程。思路分析：先把直线化为极坐标方程，由于P点的运动与M点有关，可以利用转移法来解决问题.我们可以根据长度之间的关系式找到点P与点M坐标之间的关系.解：如图，以O为极点,x轴正方向为极轴建立极坐标系,直线的方程化为2ρcosθ+4ρsinθ-1=0。设M(ρ0,θ0），P（ρ，θ)，则2ρ0cosθ0+4ρ0sinθ0-1=0.由知代入有cosθ+sinθ-1=0，∴ρ=2cosθ+4sinθ,表示一个圆(ρ≠0).我创新,我超越13。设圆C：ρ=10cosθ与极轴交于点A，由极点O引圆C的弦OQ，延长OQ至P，使|QP|=｜AQ|，如图，求动点P的轨迹.思路分析:因为所求点P的轨迹形成与点Q有直接关系，而点Q在已知的圆C上，所以常用代入法求轨迹方程.解：设P（ρ，θ),∵A(10，0),∴｜AQ|=10sinθ。∴Q(ρ-10sinθ，θ)。∵Q在圆C上，∴ρ-10sinθ=10cosθ,即点P的轨迹方程为ρ=10(sinθ+cosθ）.其轨迹是以（5,5)为圆心，5为半径的圆。14.已知锐角∠AOB=2α，角内有一动点P,PM⊥OA,PN⊥OB，且四边形PMON的面积等于常数C2，求动点P的轨迹的极坐标方程,并说明它表示什么曲线。思路分析：建立适当坐标系，表示出各点的坐标，并求出各边长,由面积公式直接代入得方程.解：以O为极点，∠AOB的平分线Ox为极轴建立极坐标系，如图。设P点的坐标为(ρ,θ），∵∠POM=α—θ,∠NOP=α+θ，∴｜OM｜=ρcos（α—θ），｜PM|=ρsin(α-θ），｜ON|=ρcos(α+θ），|PN|=ρsin(α+θ）.又四边形PMON面积S=·|OM｜·｜PM｜+·｜ON|·|PN｜，把｜OM｜，|ON|，｜PM|，|PN|及S=C2代入,得ρ2cos（α-θ）sin（α-θ）+ρ2cos（α+θ）sin（α+θ)=C2。化简得ρ2sin2α·cos2θ