数学同步测控：利用平均不等式求最大（小）值

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精同步测控我夯基,我达标1。设x、y∈R+，且满足x+4y=40，则lgx+lgy的最大值是(）A。40B.10C.4解析：lgx+lgy=lg（xy)=lg≤lg=lg=2.答案：D2。设x、y∈R+,且xy-（x+y)=1,则()A.x+y≥2(+1)B.xy≤+1C。x+y≤(+1)2D.xy≥2（+1）解析:∵x、y∈R+，∴xy≤（）2.∴（)2—（x+y)≥1，即（x+y-2）2≥8.∴x+y≥2(+1）。而xy—（x+y）≤xy-2，∴xy-2≥1，即(-1)2≥2.∴≥+1。即xy≥3+。答案为A.答案:A3.设x、y∈R，且x+y=4,则3x+3y的最小值为()A.9B.18C.3解析:∵3x+3y≥==18。答案:B4。若a>b〉1,P=，Q=（lga+lgb),R=lg(）,则（)A.R〈P<QB。P〈Q〈RC.Q<P<RD。P〈R〈Q解析：∵a〉b〉1，∴lga>lgb〉0。∴Q>P。∵R=lg>lg=（lga+lgb）=Q，∴R〉Q>P。答案:B5。下列命题中，①x+的最小值是2;②的最小值是2;③的最小值是2;④2—3x—的最小值是2。其中正确命题的个数为（）A.1B.2C.3解析：①x不一定为正数，错;②≥2，当且仅当x=0时取“="，正确;③=≥2，但≠,∴等号取不到；④2—3x-中x的正负不定，错。答案：A6。x>0,y>0且x+y=1，则≤a恒成立的a的最小值是（)A。B.C。2D.解析:∵a2≥(）2=x+y+2，又∵x+y+2≤2(x+y)=2，由≤a恒成立，得a2≥2,即amin=。答案:B7.若x+3y+2z=6，则μ=3x+27y+9z的最小值为(）A。6B.9C。27解析：μ=3x+27y+9z≥==27.答案：C8.若x〉0，则4x+的最小值为（)A。50B.100C。解析:4x+=2x+2x+≥.答案：C我综合，我发展9.设x>0,y〉0，x2+=1,则的最大值为________________。解析:∵x〉0,y〉0，x2+=1,∴=≤.答案：10。若正数a、b满足ab=a+b+3,则ab的最小值为________________。解析：∵a>0,b>0,a+b≥2,∴ab=a+b+3≥2+3。∴(-3)（+1）≥0.∴-3≥0。∴ab≥9。答案:911.已知sin2α+sin2β+sin2γ=1（α、β、γ均为锐角)，则cosαcosβcosγ的最大值为______________。解析:∵cos2αcos2βcos2γ≤()3=(）3=（）3=,又∵α、β、γ均为锐角,∴cosαcosβcosγ≤。答案:12。函数①y=x2+；②y=;③y=ex+4e-x；④y=sinx+（0〈x<π）中最小值为4的函数为_____________。（只填序号）解析：①y=x2+≥=4，当且仅当x2=，即x2=2时取“="。②y==4.当且仅当时取“=”，但≠,∴最小值不是4。③y=ex+4e-x≥=4，当且仅当ex=4e—x，即ex=2时取“=”。④∵0〈x〈π,∴sinx〉0,y=sinx+≥=4.但sinx≠，∴最小值不是4。答案：①③13.已知a〉b〉0,求a2+的最小值.分析:可构造乘积为定值,求和的最小值。解:∵a〉b>0，∴a—b>0.∴0<b（a—b)≤［］2=.∴.∴a2+≥a2+≥=16。当且仅当a2=,即a=且b=a-b，b==时取“=”.∴当a=,b=时,a2+最小为16.14.当0<x<时，求y=x2（1—3x)的最大值.解：∵0〈x<，∴1—3x>0。∴y=x2（1—3x)=≤×［］3=×=。当且仅当=1-3x，即x=时取“=”,ymax=我创新，我超越15.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是宽和长分别为x、y(单位:m)的矩形，上部是等腰直角三角形,要求框架围成的总面积为8m2，问x、y分别为多少时用料最省?(精确到0.001m分析:根据题意列出等式,表示出料长,求最小值.解:由题意得x·y+·x·=8,∴y=(0<x<).∴框架用料长度为l=2x+2y+2（）=(+)x+≥，当(+)x=，即x==8—时等号成立,此时x=2.343,y==2.828。∴当x=2.343m，y=2。828m时用料最省.16。某单位决定投资32000元建一仓库(长方体状）,高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅,每米长造价为400元，两侧墙砌砖，每米长造价450元,顶部每平方米造价为200元,试计算：仓库面积S最大为多少？这时铁栅长多少?解:设铁栅长为xm，一堵墙长为ym,则S=xy，由题意,得400x+2×450y+200xy≤32000，即4x+9y+2xy≤320。∵4x+9y