数学同步测控：集合之间的关系与运算

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精同步测控我夯基,我达标1.集合A=｛x｜0≤x<3且x∈N｝的真子集的个数是()A。16B.8C。7解析:根据集合A中所含元素的个数来判断.A=｛x｜0≤x<3且x∈N｝=｛0，1，2｝，则A的真子集有23—1=7个,故选C。答案：C2。已知集合M=｛（x,y)｜x+y=2｝,N={（x,y）|x-y=4},那么集合M∩N为(）A.x=3,y=—1B.（3,-1)C。{3，-1｝D.｛（3，—1）}解析:首先搞清M、N中元素是点,M∩N首先是集合，并且其中元素也是点，即可选D项。答案：D3.已知集合A=｛0,1｝,B={y｜x2+y2=1，x∈A｝,则…(）A.A=BB。ABC。BAD。BA解析：∵x∈A，∴x=0或x=1。又∵x2+y2=1,∴x=0，y=±1或x=1,y=0。∴B=｛-1，0，1}.∴AB.故选B。答案：B4。满足条件{1，2}A{1，2，3,4｝的集合A的个数是()A。1B.2C解析:∵｛1,2｝A{1，2,3,4}，∴A中至少有1、2两个元素,至多有1、2、3（4)三个元素.∴集合A可能有三种情况:{1,2｝，｛1,2，3｝，｛1，2，4}.∴集合A的个数是3.故选C。答案：C5。设M={x｜x=a2+1，a∈N*｝，P={y|y=b2—4b+5，b∈N＊｝,则下列关系正确的是（)A.M=PB。MPC。PMD。M∩P=解析:∵a∈N*,∴x=a2+1=2，5,10,…。∵b∈N*,∴y=b2-4b+5=(b-2)2+1=1，2，5，10，….∴MP。故选B。答案：B6。下列各组中的两个集合P和Q，表示同一集合的是（）A。P={1,,π}，Q=｛π，1，｜｜}B.P={π},Q=｛3。14159｝C。P=｛2，3｝,Q=｛（2,3)｝D.P=｛x|—1〈x≤1，x∈N｝，Q={1｝解析：只要两个集合的元素完全相同，这两个集合就表示同一集合。｛π,1,|-3｜｝=｛π，1，3｝=｛1,3，π｝，所以A正确;由于π≠3。14159,所以B错误；集合{2，3}中的元素是实数,而集合{（2，3)}中的元素是点,所以C错误;集合{x｜-1<x≤1,x∈N｝={0，1},所以D错误。答案：A7。设集合A=｛-3,0,1｝，B={t2-t+1｝.若A∪B=A，则t=___________。解析：由A∪B=A，知BA,∴t2—t+1=—3，或t2—t+1=0,或t2-t+1=1，前2个方程无解;第3个解得t=0或t=1。答案：0或18.已知集合A=｛x|—1≤x≤1｝，B={x|x>a},且满足A∩B=，则实数a的取值范围是__________。解析:借助于数轴求得.画出数轴得a≥1.答案:a≥19。求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有多少个？分析：将这200个数分为满足题设条件和不满足题设条件的两大类,而不满足条件的这一类标准明确而简单，所以可考虑用扣除法.解：如图,先画出Venn图如下,其中2的倍数的数有100个；3的倍数的数有66个;5的倍数的数有40个;既是2的倍数，又是5的倍数的数有20个;既是2的倍数，又是3的倍数的数有33个;既是3的倍数，又是5的倍数的数有13个;既是2的倍数,又是3的倍数,还是5的倍数的数有6个.所以不符合条件的数共有100+66+40—20—33—13+6=146.所以，既不是2的倍数，又不是3的倍数,也不是5的倍数的数共有200-146=54(个）.10。已知集合P=｛a,a+d，a+2d｝,Q=｛a,aq，aq2}，其中a≠0,且P=Q，求q的值。分析:本题是以集合P=Q为载体,列方程求未知数的值的问题，而集合中的元素具有无序性，由P=Q知,第一个集合中的元素a不可能与后面元素中的任何一个元素相等,再看第一个集合中的元素a+d,其不可能与第二个集合中的元素a相等,除此以外,可能的对应情况为或解方程组,得出解后验证可得正确结论。解：由P=Q,假设②—①，得d=aq（q-1)，代入①得a+aq（q-1）=aq.∵a≠0，∴方程可化为(q-1)2=0,解得q=1。于是a=aq=aq2，与集合中元素的互异性相矛盾，故只能是解得q=或q=1。经检验q=1不符合要求，舍去。∴q=。我综合，我发展11。(2006江苏高考,7）若A、B、C为三个集合,A∪B=B∩C，则一定有()A。ACB.CAC。A≠CD。A=解析：因为AA∪B且C∩BC,A∪B=C∩B,由此得AC。答案:A12。同时满足（1）M{1,2,3，4,5｝，(2）若a∈M，则6—a∈M的非空集合M有（)A。32个B.15个C.7个D。6个解析:∵M｛1,2,3，4,5｝，a∈M,则6-a∈M，∴1、5应同属于M,2、4也应同属于M，3可单独出现。∴集合M的情况有七种:｛3},{1,5｝,｛2，4｝,{1,3,5}，｛2,3,4｝,{1,2，4,5}，｛1,2,3,4,5}。故选C.答案：C13.集合M=｛x｜x=m+,m∈Z},N={x｜x=,n∈Z｝,P={x｜x=+，p∈Z｝,则M、N、P之间的关系是()A。M=NPB。MN=PC。MNPD.NP=M解析：思路一:可简单列举集合中的元素.思路二：从判断元素的共性和差异入手.M={x|x=,m∈Z｝,N=｛x｜x==,n∈Z}，P={x｜x=,p∈Z｝。由于3（n—1)+1和3p+1都表示被3除余1的数，而6m+1表示被6除余1的数,所以MN=P.答案:B14.定义集合A*B={x|x∈A且xB},若A={1，3,5,7｝,B={2，3,5｝,则（1）A*B的子集为__________;(2）A*（A*B)=__________。解析：（1）A＊B=｛1,7｝，其子集为，｛1｝,｛7｝，｛1，7｝.(2）A*（A＊B)={3，5}。答案：（1)，{1}，{7｝，{1,7｝(2)｛3,5｝15.某车间有120人,其中乘电车上班的84人，乘汽车上班的32人,两车都乘的18人，求:(1)只乘电车的人数；（2)不乘电车的人数;（3）乘车的人数;(4）不乘车的人数；(5）只乘一种车的人数.分析:解题的关键是把文字语言转化为集合语言，借助于Venn图的直观性把它表示出来,再求解。解：根据题意,画出Venn图如图所示:由图，可知(1)只乘电车的人数为66人;（2）不乘电车的人数为120-84=36人；(3)乘车的人数为84+14=98人;（4）不乘车的人数为120-98=22人；(5）只乘一种车的人数为66+14=80人.16.设I={1,2,3，…，9｝，已知：(1)(A)∩B=｛3，7}，（2）(B)∩A={2,8},（3)（A）∩(B)={1,5,6}，求集合A和B。分析:通常的题目是首先给出集合,然后求集合的交、并、补等运算结果.本题恰恰相反,先给出了集合A、B的运算结果，然后要求求集合A、B.可以借助Venn图把相关运算的结果表示出来，自然地就得出集合A、B了。解：用Venn图表示集合I、A、B的关系，如图所示的有关区域分别表示集合A∩B，（A)∩B,A∩(B)，（A)∩（B）,并填上相应的元素，可得A={2,4,8，9｝,B=｛3,4,7，9}.我创新,我超越17.设集合M=｛x｜m≤x≤m+｝,N=｛x|n≤x≤n},且M、N都是{x|0≤x≤1｝的子集，如果把b-a叫做集合{x｜a≤x≤b｝的“长度"，求集合M∩N的“长度”的最小值。分析:吃透定义是解决定义型创新题目的关键,本题所谓“长度"定义就是闭区间表示在数轴上两端点数据之差的绝对值的大小,也可以看作是闭区间表示在数轴上两端点的距离大小。解：由已知可知集合M的“长度”为，集合N的“长度”为。若使集合M∩N的“长度"最小,则集合M与N的公共部分就要最少。如图,当集合M的左端点与0重合,螻的右端点与1重合时,使集合M与N的公共部分达到最少,即集合M∩N的“长度"的最小值是+-1=。18.向50名学生调查对A、B两事件的态度，有如下结果:赞成A的人数是全体人数的,其余的不赞成;赞成B的比赞成A的人数多3人,其余的不赞成；另外对A、B都不赞成的学生人数比对A、B都赞成的学生人数的多1人，问A、B都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？分析：解题的关键是把文字语言转化成集合语言，借助于维恩图的直观性把它表示出来，再根据集合中元素的互异性求出问题的解。解：如图所示，设50名学生为全集U,所以赞成A的人数为50×=30,赞成B的人数为30+3=33人，设对A、B都赞成的学生人数为x，则对A、B都不赞成的学生人数为+1，则赞成A不赞成B的人数为30—x,赞成B而不赞成A的人数为33-x，所以由题意，得(30-x）+（33-x）+x++1=50.∴x=21,+1=8.所以对A、B都赞成的人数为21人,对A、B都不赞成的有8人.19.已知三个集合E={x|x2—3x+2=0}，F={x|x2—ax+(a-1)=0},G={x|x2—3x+b=0｝。问:同时满足FE，GE的实数a和b是否存在?若存在，分别求出a、b所有值的集合;若不存在，请说明理由.分析：将集合之间的关系转化为二元一次方程的解之间的关系，从而求得a、b的值。解：(1)由已知,得E={1,2｝，又∵FE，∴F=或{1｝或{2｝.①当F=时,即方程x2—ax+（a—1）=0无解.∴Δ=a2-4(a—1)<0,即（a-2）2〈0,无解.∴F不可能为，即F≠.②当F={1｝时，即方程x2-ax+（a-1）=0有两相等的实根1,由根与系数的关系,知∴a=2,即a=2时，FE。③当F=｛2}时,即方程x2-ax+（a-1)=0有两相等的实根2。由根与系数的关系,知∴∴a无解,即不存在a的值使FE.综上,a=2时，FE.(2）当GE且E=｛1,2｝时，G=或{1}或