2025届成都市七中高三数学上学期10月考试卷附答案解析

届成都市七中高三数学上学期10月考试卷（考试时间：120分钟；满分150分）第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.已知复数满足，则（）A. B. C. D.3.已知向量，满足，且，则（）A. B. C. D.4.如图为函数y=fx在上的图象，则的解析式只可能是（）A. B.C. D.5.已知为奇函数，则曲线在点处切线方程为（）A. B. C. D.6.在体积为12的三棱锥中，，，平面平面，，，若点都在球的表面上，则球的表面积为（）A. B. C. D.7.若，则的最大值为（）A. B. C. D.8.设，，，则（）A. B.C. D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9.设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，，下列结论正确的是（）A.B.C.是数列中的最大值D.数列无最大值10.一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件“摸出的两个球的编号都大于2”，事件“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（）A.事件与事件是互斥事件 B.事件与事件是对立事件C.事件与事件是相互独立事件 D.事件与事件是互斥事件11.已知，其中，则的取值可以是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，第14题第一个空3分，第二个空2分．12.若，则____________.13.设是数列前项和，点在直线上，则数列的前项和为________.14.已知点，，，是轴上的动点，且满足，的外心在轴上的射影为，则点的轨迹方程为______，的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．15.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点P．（1）求；（2）若，BE＝2，，求的面积．16.如图，在三棱锥D－ABC中，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，△ABD是边长为2的正三角形，E为AD的中点，F为DC上一点，且平面BEF⊥平面ABD.（1）求证：AD⊥平面BEF；（2）若平面ABC⊥平面ABD，求平面BEF与平面BCD夹角的余弦值.17.为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表：近视情况每天看电子产品时间合计超过一小时一小时内近视10人5人15人不近视10人25人35人合计20人30人50人附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828．（1）根据小概率值独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关；（2）在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？（3）以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为X，每天看电子产品超过一小时的人数为Y，求的值．18.已知函数．（1）求曲线y=fx在处的切线方程.（2）讨论函数的单调性；（3）设函数．证明：存实数，使得曲线y=gx关于直线对称.19.已知椭圆的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点和．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作不与坐标轴平行的直线交曲线于，两点，过点，分别向轴作垂线，垂足分别为点，，直线与直线相交于点．①求证：点在定直线上；②求面积的最大值．2025届成都市七中高三数学上学期10月考试卷（考试时间：120分钟；满分150分）第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【分析】化简集合，由交集运算即可求解.【详解】解：所以故选：A．2.已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【分析】设复数，由共轭复数的性质和复数的意义求出复数，再由复数的乘除计算即可得到结果；【详解】设复数，所以，又因为复数满足，所以，整理可得，解得，所以，所以，故选：A.3.已知向量，满足，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的数量积即可求解.【详解】由得，两式相减得，，所以，则.故选：A.4.如图为函数y=fx在上的图象，则的解析式只可能是（）A. B.C. D.【答案】C【分析】判断函数的奇偶性，结合函数在给定区间上的符号，利用排除法求解即可．【详解】对于B.的定义域为R，且，故为偶函数；对于D.的定义域为R，且，故为偶函数；由图象，可知为奇函数，故排除B、D；对于A.当时，则，而，此时，由图像知道排除A；故选：C.5.已知为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【分析】由奇函数的性质求出，再由导数的意义求出切线的斜率，最后由点斜式求出直线方程即可；【详解】因为为奇函数，且定义域为，所以，即，所以，经检验符合题意，则，曲线y=fx在点处的切线斜率为，又所以曲线y=fx在点处的切线方程为，即.故选：D6.在体积为12的三棱锥中，，，平面平面，，，若点都在球的表面上，则球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】如图，取的中点，连接，，根据题中条件确定点为球心，设球半径为，利用三棱锥的体积求出，最后用球的表面积公式即可求解.【详解】如图，取的中点，连接，，因为，，所以，因此点就是球心，又，故是等腰直角三角形，所以．因为平面平面，平面平面，所以平面．设球半径为，则，，又，则，所以三棱锥体积，所以，所以球O的表面积为．故选：D．7.若，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由知，由两角和正弦公式展开并整理得到，再利用得到，由基本不等式得.【详解】若，则，所以，所以，即，，若使得取得最大值，不妨设，则，当且仅当，即时取等号.故选：D.【点睛】方法点睛：三角函数中的凑角技巧；；.8.设，，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用对数函数的性质得到最大，再利用作差法，结合基本不等式得到，从而得解.【详解】由对数函数的性质知，，，所以，，；当时，，所以，取，则，所以，即，综上，.故选：C.【点睛】结论点睛：对数比大小常用结论：.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9.设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，，下列结论正确的是（）A.B.C.是数列中的最大值D.数列无最大值【答案】ABC【解析】【分析】根据条件判断，分和两情况讨论得成立与否得出，即可判断A；对于B，利用A的结论和等比数列项的性质即可判定；对于C，D，由前面推得的即可判断.【详解】对于A，由可得，（*），由可得.当时，因，则，即（*）不成立；当时，，（*）成立，故，即A正确；对于B，因，故B正确；对于C,D，由上分析，且，则是数列中的最大值，故C正确，D错误.故选：ABC.10.一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件“摸出的两个球的编号都大于2”，事件“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（）A.事件与事件是互斥事件 B.事件与事件是对立事件C.事件与事件是相互独立事件 D.事件与事件是互斥事件【答案】ACD【解析】【分析】先列举各事件，再根据互斥事件，对立事件，相互独立事件的概率特征逐一判断即可；【详解】列举各事件如下：，，，A：由互斥事件同时发生的概率为0，即，故A正确；B：由对立事件的概率和为1，，，，故B错误；C：因为，故C正确；D：事件，事件，为互斥事件，不可能同时发生，故D正确；故选：ACD.11.已知，其中，则的取值可以是（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】【分析】令，求出函数的单调区间，结合已知可得，不妨设，解法一：记，设，，利用导数求出的范围即可.解法二：由，两式相减，可得，令，令，利用导数求出函数的单调区间，进而可得出答案.解法三：令，利用导数求出函数的单调区间，再结合洛必达法则即可得解.解法四：根据，两式相减得，再结合对数均值不等式即可得解.【详解】令，则，故当时，f'x>0，当时，单调递减，∵，，∴，又，不妨设，解法一：记，设，，则在上恒成立，所以在上单调递减，所以，，则，又因为，且在上单调递减，所以，则，所以.解法二：由，两式相减，可得，令，则，∴；令，则，令，则在1,+∞上恒成立，所以在1,+∞上单调递增，因为在1,+∞上恒成立，所以在1,+∞上单调递增，则，即，所以.解法三：令，则，记，则在1,+∞上恒成立，∴在1,+∞上单调递增，∴，所以在1,+∞上恒成立，∴在1,+∞上单调递增，又由洛必达法则可知，∴，∴.解法四：∵，两式相减得，由对数均值不等式，可得，下列对数均值不等式右半部分：，证明：不妨设，则上述不等式可化为，即，记，则不等式可化为时，，令，则，所以在1,+∞上单调递减，则，所以时，，所以.故选：CD.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数y=gx的图象的交点问题.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，第14题第一个空3分，第二个空2分．12.若，则____________.【答案】【解析】【分析】根据题意利用诱导公式以及倍角公式运算求解.【详解】因为，所以.故答案为：.13.设是数列的前项和，点在直线上，则数列的前项和为________.【答案】【解析】【分析】点，在直线上，可得．利用等差数列的求和公式、裂项求和方法即可得出．【详解】解：点，在直线上，．．．则数列的前项和．故答案为：．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14.已知点，，，是轴上的动点，且满足，的外心在轴上的射影为，则点的轨迹方程为______，的最小值为______．【答案】①②.【解析】【分析】根据外心的性质设，即可根据得，即可求解轨迹方程，利用抛物线的定义，结合三点共线即可求解最值.【详解】不妨设点，，根据点是的外心，设，而，则，所以从而得到点的轨迹为，焦点为F1,0由抛物线的定义可知，因为，即，当点在线段上时等号成立．故答案为：，.四、解答题：本题共5小题，共77分．15.设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，BC，AC边上的两条中线AD，BE相交于点P．（1）求；（2）若，BE＝2，，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理边角互化，再结合余弦定理求解即可；（2）由余弦定理结合面积公式计算.【小问1详解】因为，所以由正弦定理得，由余弦定理得，又，所以.【小问2详解】因为P是BC，AC边上的两条中线AD与BE的交点，所以点P是的重心.又，，，所以在中，由余弦定理，所以，又，，所以，所以，所以的面积为．16.如图，在三棱锥D－ABC中，△ABC是以AB为斜边的等腰直角三角形，△ABD是边长为2的正三角形，E为AD的中点，F为DC上一点，且平面BEF⊥平面ABD.（1）求证：AD⊥平面BEF；（2）若平面ABC⊥平面ABD，求平面BEF与平面BCD夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】(1)借助等边三角形的三线合一，再运用面面垂直的性质得到线面垂直即可；(2)建立空间直角坐标系，写出关键点的坐标，求出平面的法向量，再根据(1)的结论取得平面的法向量，再用向量夹角的公式计算即可.【小问1详解】是边长为2的正三角形，E为AD的中点，则.且平面平面，平面平面，平面，则平面.【小问2详解】由于底面为等腰直角三角形，是边长为2正三角形，可取AB中点O，连接，则.且平面平面，且平面平面，则平面.因此两两垂直，可以建立空间直角坐标系.是边长为2的正三角形，则可求得高.底面等腰直角三角形，求得.可以得到关键点的坐标由第（1）问知道平面的法向量可取.设平面的法向量为，且则,则，解得.则.则平面与平面夹角的余弦值为.17.为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间进行了统计，得到如下的列联表：近视情况每天看电子产品的时间合计超过一小时一小时内近视10人5人15人不近视10人25人35人合计20人30人50人附表：0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828．（1）根据小概率值的独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关；（2）在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？（3）以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取2人，记其中近视的人数为X，每天看电子产品超过一小时的人数为Y，求的值．【答案】（1）认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）假设为：学生患近视与长时间使用电子产品无关，求得，再根据小概率值判断；（2）根据给定条件，利用组合计数问题及互斥事件的概率公式计算即得.（3）分别求得，，，再将概率相加即可求解．【小问1详解】零假设为：学生患近视与长时间使用电子产品无关．计算可得，，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为患近视与长时间使用电子产品的习惯有关．【小问2详解】每天看电子产品超过一小时的人数为，则，所以在该班近视的同学中随机抽取3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是．【小问3详解】依题意，，，事件包含两种情况：①其中一人每天看电子产品超过一小时且近视，另一人既不近视，每天看电子产品也没超过一小时；②其中一人每天看电子产品超过一小时且不近视，另一人近视且每天看电子产品没超过一小时，于是，所以．18.已知函数．（1）求曲线y=fx在处的切线方程.（2）讨论函数的单调性；（3）设函数．证明：存在实数，使得曲线y=gx关于直线对称.【答案】（1）（2）答案见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）求出切点，求导，由导数的几何意义得到切线斜率，进而得到切线方程；（2）求定义域，求导，分，两种情况，得到函数的单调性；（3）