山东省枣庄市、聊城市、临沂市、菏泽市2024年中考数学真题试卷

山东省枣庄市、聊城市、临沂市、菏泽市2024年中考数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．1．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽）下列实数中，平方最大的数是（）A．3 B．12 C．﹣1 2．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽）用一个平面截正方体，可以得到以下截面图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽）2023年山东省扎实落实民生实事，全年新增城乡公益性岗位61.9万个，将61.9万用科学记数法表示应为（）A．0.619×103 B．61.9×104 C．6.19×105 D．6.19×1064．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽）下列几何体中，主视图是如图的是（）A． B． C． D．5．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽）下列运算正确的是（）A．a4+a3＝a7 B．（a﹣1）2＝a2﹣1C．（a3b）2＝a3b2 D．a（2a+1）＝2a2+a6．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（）A．200 B．300 C．400 D．5007．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽）如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN．若∠ABN＝120°，则n的值为（）A．12 B．10 C．8 D．68．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽）某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他们选择同一项活动的概率是（）A．19 B．29 C．139．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽）如图，点E为▱ABCD的对角线AC上一点，AC＝5，CE＝1，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接BF，则BF为（）A．52 B．3 C．7210．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽）根据以下对话，给出下列三个结论：①1班学生的最高身高为180cm；②1班学生的最低身高小于150cm；③2班学生的最高身高大于或等于170cm．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．11．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽）因式分解：x2y+2xy＝．12．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽）写出满足不等式组x+2⩾12x−1<5的一个整数解13．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽）若关于x的方程4x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，则m的值为．14．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，若OA∥CB，∠ACB＝25°，则∠CAB＝．15．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽）如图，已知∠MAN，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与AM、AN相交于点B，C；分别以B，C为圆心，以大于12BC的长为半径作弧，两弧在∠MAN内部相交于点P，作射线AP．分别以A，B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别与AB，AP相交于点F，Q．若AB＝4，∠PQE＝67.5°，则F到AN的距离为16．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次运算后，必进入循环圈1→4→2→1，这就是“冰雹猜想”．在平面直角坐标系xOy中，将点（x，y）中的x，y分别按照“冰雹猜想”同步进行运算得到新的点的横、纵坐标，其中x，y均为正整数．例如，点（6，3）经过第1次运算得到点（3，10），经过第2次运算得到点（10，5），以此类推．则点（1，4）经过2024次运算后得到点．三、解答题：本题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽）（1）计算：+2﹣1﹣（﹣12）；（2）先化简，再求值：(1−1a+3)÷18．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽）【实践课题】测量湖边观测点A和湖心岛上鸟类栖息点P之间的距离．【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具【实践活动】某班甲小组根据胡岸地形状况，在岸边选取合适的点B．测量A，B两点间的距离以及∠PAB和∠PBA，测量三次取平均值，得到数据：AB＝60米，∠PAB＝79°，∠PBA＝64°．画出示意图，如图1：（1）【问题解决】计算A，P两点间的距离．（参考数据：sin64°≈0.90，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）（2）【交流研讨】甲小组回班汇报后，乙小组提出了另一种方案：如图2，选择合适的点D，E，F，使得A，D，E在同一条直线上，且AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当F，D，P在同一条直线上时，只需测量EF即可．乙小组的方案用到了．（填写正确答案的序号）①解直角三角形②三角形全等【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好，对于实际测量，要根据现场地形状况选择可实施的方案．19．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽）某学校开展了“校园科技节”活动，活动包含模型设计、科技小论文两个项目．为了解学生的模型设计水平，从全校学生的模型设计成绩中随机抽取部分学生的模型设计成绩（成绩为百分制，用x表示），并将其分成如下四组：60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100．下面给出了部分信息：80≤x＜90的成绩为：81，81，82，82，83，83，84，84，84，85，86，86，86，87，88，88，88，89，89，89．根据以上信息解决下列问题：（1）请补全频数分布直方图；（2）所抽取学生的模型设计成绩的中位数是分；（3）请估计全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数；（4）根据活动要求，学校将模型设计成绩、科技小论文成绩按3：2的比例确定这次活动各人的综合成绩．某班甲、乙两位学生的模型设计成绩与科技小论文成绩（单位：分）如下：模型设计科技小论文甲的成绩9490乙的成绩9095通过计算，甲、乙哪位学生的综合成绩更高？20．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽）列表法、表达式法、图象法是三种表示函数的方法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函数y＝2x+b与y＝kxx−a12x+ba1____k________7（1）求a、b的值，并补全表格；（2）结合表格，当y＝2x+b的图象在y＝kx的图象上方时，直接写出x21．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝60°，AB＝BC＝2AD＝2．以点A为圆心，以AD为半径作DE交AB于点E，以点B为圆心，以BE为半径作EF所交BC于点F，连接FD交EF于另一点G，连接CG．（1）求证：CG为EF所在圆的切线；（2）求图中阴影部分面积．（结果保留π）22．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽）一副三角板分别记作△ABC和△DEF，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，∠EDF＝30°，AC＝DE．作BM⊥AC于点M，EN⊥DF于点N，如图1．（1）求证：BM＝EN；（2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C与点E重合记为C，点A与点D重合，将图2中的△DCF绕C按顺时针方向旋转α后，延长BM交直线DF于点P．①当α＝30°时，如图3，求证：四边形CNPM为正方形；②当30°＜α＜60°时，写出线段MP，DP，CD的数量关系，并证明；当60°＜α＜120°时，直接写出线段MP，DP，CD的数量关系．23．（2024·枣庄、聊城、临沂、菏泽）在平面直角坐标系xOy中，点P（2，﹣3）在二次函数y＝ax2+bx﹣3（a＞0）的图象上，记该二次函数图象的对称轴为直线x＝m．（1）求m的值；（2）若点Q（m，﹣4）在y＝ax2+bx﹣3的图象上，将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当0≤x≤4时，求新的二次函数的最大值与最小值的和；（3）设y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交点为（x1，0），（x2，0）（x1＜x2）．若4＜x2﹣x1＜6，求a的取值范围．

答案解析部分1．【答案】A【知识点】有理数的乘方法则；有理数的大小比较-其他方法【解析】【解答】

A：32=9

B：（12）2=14

C：（−1）2．【答案】D【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形【解析】【解答】

A：是轴对称图形但不是中心对称图形，不合题意；

B：是轴对称图形但不是中心对称图形，不合题意；

C：是轴对称图形但不是中心对称图形，不合题意；

D：既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；

故答案为：D

【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形的定义，熟悉其定义，明确其区别即可得出结论。3．【答案】C【知识点】科学记数法表示大于10的数【解析】【解答】

解：61.9万=619000=6.19×105

故答案为：C

【分析】本题考查科学记数法，熟练掌握科学记数法的定义可得答案。4．【答案】D【知识点】简单组合体的三视图【解析】【解答】

A：选项所给几何体的主视图是，不合题意；

B：选项所给几何体的主视图是，不合题意；

C：选项所给几何体的主视图是，不合题意；

D：选项所给几何体的主视图是，符合题意；

故答案为：D

【分析】本题考查立体图形的投影与视图，理解立体图形的三视图画法是解题关键。5．【答案】D【知识点】整式的加减运算；单项式乘多项式；多项式乘多项式；幂的乘方运算【解析】【解答】

A：a4+a3不能合并，原选项错误，不合题意；

B：（a﹣1）2＝a2-2a+1，原选项错误，不合题意；

C：（a3b）2＝a6b2，原选项错误，不合题意；

D：a（2a+1）＝2a2+a，原选项正确，符合题意；

故答案为：D

【分析】本题考查整式的运算，幂的乘方，单项式多项式的乘法，乘法公式等知识，熟练掌握整式运算方法是解题关键。6．【答案】B【知识点】分式方程的实际应用-工程问题【解析】【解答】

解：设改造后每天生产的产品件数为x件，依题意得：

600x=400x−100

600（x-100）=400x

200x=60000

x=300

经检验，x=300是该分式方程的解，7．【答案】A【知识点】正多边形的性质【解析】【解答】

解：∵以BC为边在该正n边形的外部作正方形BCMN

∴∠NBC=90°

∵ABN＝120°

∴∠ABC=360°-∠NBC-ABN＝150°

则正n边形的一个内角为150°

则正n边形的一个外角为30°

∴n=360°30°=12

故答案为：A

【分析】本题考查正多边形的知识，熟练正多边形边数与内角，外角和的关系，正多边形的边数n=360°8．【答案】C【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式【解析】【解答】

解：甲、乙两位同学各自任选其中一项参加的树状图如下：

甲、乙两位同学各自任选其中一项参加的所有情况共9种，其中选择同一项活动的情况有3种，则他们选择同一项活动的概率是39=13

9．【答案】B【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质【解析】【解答】

解：如图所示，过点F作FH∥DC，交AC于H

∴∠DCE=∠FHE

∵DE=FE，∠DEC=∠FEH

∴∆DCE≅∆FHE（AAS）

∴CE=HE=1，DC=FH

∵▱ABCD

∴DC∥AB，DC=AB，

∴FH∥AB，FH=AB，

∴四边形AHFB为平行四边形

∴BF=AH=AC-CE-HE=3

故答案为：B

【分析】本题考查特殊四边形--平形四边形的判定与性质，”8“字型全等的判定与性质，熟练掌握此类知识是解题关键。作FH∥DC，证∆DCE≅∆FHE，得CE=HE=1，DC=FH，根据▱ABCD的性质，得四边形AHFB为▱，得BF值。10．【答案】C【知识点】一元一次不等式的应用；列一元一次不等式【解析】【解答】解：设1班同学的最高身高为xcm，最低身高为ycm，2班同学的最高身高为acm，最低身高为bcm，根据1班班长的对话，得x≤180，x+a＝350，∴x＝350﹣a，∴350﹣a≤180，解得a≥170，故③正确；1班学生的身高不超过180cm，最高未必是180cm，故无法判断①；根据2班班长的对话，得b＞140，y+b＝290，∴b＝290﹣y，∴290﹣y＞140，∴y＜150，故②正确，故答案为：C．

【分析】本题考查不等式的应用，根据题意，找出数量关系，列出不等式，求解可得结论。11．【答案】xy（x+2）【知识点】因式分解﹣提公因式法【解析】【解答】

x2y+2xy＝xy（x+2）

【分析】本题考查因式分解提公因式，因式分解时，先提公因式，再考虑公式法或者十字相乘法等方法，直到不能分解。12．【答案】-1【知识点】一元一次不等式组的特殊解【解析】【解答】x+2⩾1①2x−1<5②

解不等式①得x≥−1，

解不等式②得x<3，

∴该不等式组的解集为−1≤x<3,

∴该不等式组得整数解为-1，0，1，2，

故答案为-1，0，1，2中其中一个即可.

【分析】先解得不等式①，②13．【答案】1【知识点】一元二次方程根的判别式及应用【解析】【解答】

解：∵关于x的方程4x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根

∴a=4，b=-2，c=m

∆=b2−4ac=（−2）214．【答案】40°【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理【解析】【解答】

解：如图，连接OB

∴∠AOB=2∠ACB=50°

∵OA=OB

∴∠OAB=∠OBA=65°

∵OA∥BC

∴∠OAC=∠ACB=25°

∴∠CAB=∠OAB-∠OAC=40°

【分析】本题考查圆的知识，圆心角圆周角的数量关系，角度的计算，熟悉圆的基础知识是解题关键。连接OB，得∠AOB=2∠ACB，OA=OB，∠OAB=∠OBA=65°，结合OA∥BC得∠CAB.15．【答案】2【知识点】等腰直角三角形；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；线段垂直平分线的应用；角平分线的应用【解析】【解答】

解：由题知：AP平分∠MAN，DE是AB的垂直平分线，F为AB的中点

∴AF=12AB=2，EF⊥AF，∠BAC=2∠FAQ

∵∠PQE=67.5°

∴∠FAQ=90°-∠PQE=22.5°

∴∠BAC=45°

过点F作FP⊥AE，则∆FAP为等腰直角三角形，F到AN的距离为FP

∴FP=sin45°AF=2×22=2

∴F到AN的距离为2

【分析】本题考查尺规作图--角平分线，线段的垂直平分线，等腰三角形，点到直线的距离等知识，熟悉角平分线，线段的垂直平分线的作图过程是解题关键，结合等腰三角形的性质可得答案。由题知AP平分∠MAN，DE是AB的垂直平分线，F为AB的中点，计算∠BAC=45°，作FP⊥AE，可得F到AN的距离为16．【答案】（2，1）【知识点】探索规律-点的坐标规律【解析】【解答】解：点（1，4）经过1次运算后得到点为（1×3+1，4÷2），即为（4，2），经过2次运算后得到点为（4÷2，2÷1），即为（2，1），经过3次运算后得到点为（2÷2，1×3+1），即为（1，4），……，发现规律：点（1，4）经过3次运算后还是（1，4），∵2024÷3＝674⋯2，∴点（1，4）经过2024次运算后得到点（2，1），故答案为：（2，1）．

【分析】本题考查找规律，根据题目方法，对偶数奇数的运算要求，多次运算后，根据点的坐标，找出运行规律是解题的关键。由点（1，4）经过3次运算后还是（1，4）可知三次一循环，据此可得答案。17．【答案】（1）解：原式＝2+1（2）解：原式＝a+2＝a+2＝a﹣3；将a＝1代入，得：原式＝1﹣3＝﹣2．【知识点】实数的混合运算（含开方）；分式的化简求值-直接代入【解析】【分析】本题考查实数的运算和分式的化简求值。

（1）掌握二次根式化简，负整数指数幂及加减法则计算即可；

（2）分式化简时，通分，约分，化为最简，代入数值计算。18．【答案】（1）解：如图，过B作BH⊥AP于H，∵AB＝60米，∠PAB＝79°，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，∴AH＝AB•cos79°≈60×0.19＝11.4（米），BH＝AB•sin79°≈60×0.98＝58.8（米），∵∠PAB＝79°，∠PBA＝64°，∴∠APB＝180°﹣79°﹣64°＝37°，∴tan∠APB=∴PH≈58∴AP＝AH+PH＝11.4+78.4＝89.8（米）；即A，P两点间的距离为89.8米；（2）②【知识点】全等三角形的应用；背靠背模型【解析】【解答】解：（2）∵AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，当F，D，P在同一条直线上时，∴∠ADP＝∠EDF，∴△ADP≌△EFD（ASA），∴AP＝EF，∴只需测量EF即可得到AP长度；∴乙小组的方案用到了②；

【分析】本题锐角三角函数的应用，解直角三角形和全等三角形的判定与应用，找出所给角度，线段长之间的数量关系，利用三角函数求出所求线段是关键。

（1）过点B作BH⊥AP，由AB长，∠PAB＝79°，sin79°≈0.98，cos79°≈0.19，得AH，BH；结合∠APB，求出PH，最后求出AP；

（2）根据AD＝DE，∠DEF＝∠DAP，∠ADP＝∠EDF可证△ADP≌△EFD，可知乙用三角形全等的方法。19．【答案】（1）解：∵5÷10%＝50，而80≤x＜90有20人，∴70≤x＜80有50﹣20﹣5﹣10＝15，补全图形如下：（2）83（3）解：全校1000名学生的模型设计成绩不低于80分的人数为：1000×20+10（4）解：甲的成绩为：94×3乙的成绩为：90×3∴甲的综合成绩比乙高．【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；条形统计图；中位数；用样本的频数估计总体的频数【解析】【解答】

（2）解：本组数据共有50个，按照从小到大的顺序排列，处于中间位置的两个数在80-90之间，是83和83，83+832=83，则中位数是83.

【分析】本题考查统计图，熟练掌握频数分布直方图，频率，中位数，样本总数，加权平均数等知识，根据直方图和扇形图，结合数量关系，用样本估算整体情况是解题关键。（1）由60≤x＜70组人数为5人，占比10％，得样本总数=50人，计算得70≤x＜80人数，补全即可；

（2）按照中位数的定义可得答案；

（3）根据样本估算整体，”总人数×符合情况的占比即可；

20．【答案】（1）解：当x=−7当x＝a时，2x+b＝1，即2a+b＝1，∴a−b=−72a+b=1解得：a=−2b=5∴一次函数为y＝2x+5，当x＝1时，y＝7，∵当x＝1时，y=k∴反比例函数为：y=7当x=−72时，当y＝1时，x＝a＝﹣2，当x＝﹣2时，y=−7补全表格如下：x−﹣212x+b﹣217k﹣2−7故答案为：7；﹣2；−7（2）解：由表格信息可得：两个函数的交点坐标分别为(−7∴当y＝2x+b的图象在y=kx的图象上方时，x的取值范围为【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题【解析】【分析】本题考查待定系数法求一次函数，反比例函数解析式，求一次函数与反比例函数交点坐标，函数与不等式的关系，熟练掌握函数的图象性质是解题关键。

（1）根据表格数据（−72，a）（a，1），求出a，b值，可知一次函数解析式；根据（1，7）得k值，可得反比例函数解析式；

（2）求出两个函数的交点坐标分别为(−72,−2)，（1，7），当y＝2x+21．【答案】（1）证明：连接BG，如图1，根据题意可知：AD＝AE，BE＝BF，又∵AB＝BC，∴CF＝AE＝AD，∵BC＝2AD，∴BF＝BE＝AD＝AE＝CF，∵AD∥BC，∴四边形ABFD是平行四边形，∴∠BFD＝∠DAB＝60°，∵BG＝BF，∴△BFG是等边三角形，∴GF＝BF，∴GF＝BF＝FC，∴G在以BC为直径的圆上，∴∠BGC＝90°，∴CG为EF所在圆的切线；（2）解：过D作DH⊥AB于点H，连接BG，如图2，由图可得：S阴影＝S▱ABFD﹣S扇AED﹣S扇BEG﹣S△BFG，在Rt△AHD中，AD＝1，∠DAB＝60°，∴DH=AD⋅sin∴S�ABFD由题可知：扇形ADE和扇形BGE全等，∴S扇形AED等边三角形BFG的面积为：12∴S阴影【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质；扇形面积的计算；平行四边形的面积【解析】【分析】本题考查圆与扇形的知识，包括圆的切线判定与性质，扇形的面积公式（S扇形=nπr2360），阴影的面积（整体-局部），三角函数的应用（计算三角形边长），熟练掌握此类知识，正确运用辅助线来解决问题是关键。

（1）连接BG，由AB＝BC＝2AD＝2，AD=AE，BE=BF得ABFD是平行四边形，可知△BFG是等边三角形，则GF＝BF＝FC，则∠BGC＝90°，则CG为切线；

（2）过D作DH⊥AB于点H，连接BG，得DH，计算SABFD22．【答案】（1）证明：设AC＝DE＝a，∵∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，∴∠A＝∠C＝45°，∴AB＝BC，∵BM⊥AC，∴BM=AM=CM=1∵∠EDF＝30°，EN⊥DF，∴EN=1∴BM＝EN；（2）解：①证明：∵∠D＝30°，CN⊥DF，∴∠CND＝90°，∠DCN＝90°﹣30°＝60°，∵α＝∠ACD＝30°，∴∠ACN＝90°，∵BM⊥AC，∴∠PMC＝∠BMC＝90°，∴四边形PMCN为矩形，∵BM＝EN，即BM＝CN，而BM＝CM，∴CM＝CN，∴四边形PMCN是正方形；②解：当30°＜α＜60°时，线段MP，DP，CD的数量关系为DP+MPCD=3如图1，当30°＜α＜60°时，连接CP，由（1）可得：CM＝CN，∠PMC＝∠PNC＝90°，∵CP＝CP，∴△PMC≌△PNC（SAS），∴PM＝PN，∴MP+DP＝PN+DP＝DN，∵∠D＝30°，∴cos∠D=∴DP+MPCD如图，当60°＜α＜120°时，MP−DP综上，当30°＜α＜60°时，线段MP，DP，CD的数量关系为DP+MPCD=3