第01讲 空间向量及其运算-2022学年高二数学同步讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第。1讲空间向量及其运算

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课程标准课标解读

1.理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、

1.理解空间向量的概念，空间向量的共线

减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空间距离的

定理、共面定理及推论.

求解.

2.会进行空间向量的线性运算，空间向量

2.利用空间向量的相关定理及推论进行空间向量共线、

的数量积，空间向量的夹角的相关运算.

共面的判断..

题知识精讲

知识点01空间向量的有关概念

1.空间向量

(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量.

(2)长度或模：空间向量的大小.

(3)表示方法：

①几何表示法：空间向量用直包线段表示；②字母表示法：用字母a,b,c,…表示；若向量。的起点是A,

终点是B，也可记作：荏，其模记为回或|福卜

2.几类常见的空间向量

名称方向模记法

零向量任点:00

单位向量任意1

相反向量相反相等。的相反向量：二0

人后的相反向量：BA

相等向量相同相等a=b

【微点拨】解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点

（1）关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向.

（2）注意点：注意一些特殊向量的特性.

①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传

递性.

②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.

③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同.若两

个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量.

【即学即练1】下列说法：

①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；

->->

②若向量而，c力满足AB>，且通与。方同向，则A月>6；

③若两个非零向量而与丽满足4»+前=0，则而，。方为相反向量；

④丽=丽的充要条件是A与C重合，8与。重合.

其中错误的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】①错误.两个空间向量相等，但与起点和终点的位置无关；②错误.向量不能比较大小；③正确.

A&，C/）为相反向量；④错误.4与C,B与D不一■定重合.

【详解】

②错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关.

②错误.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.

③正确.AB+CD=Q-得AB=-CD>且丽，而为非零向量，所以通，CD

为相反向量.

—>->

④错误.由砺=而，知AB=CO,且砺与而同向但4与C,B与0不一定重合.

故选：C

【点睛】易错点睛：向量是一个既有大小，又有方向的矢量，考虑向量的问题时，一定要注意这一点.

【即学即练2】向量£②互为相反向量，已知忖=3,则下列结论正确的是()

A.a=bB.Q+B为实数0

C.a与坂方向相同D.同=3

【答案】D

【分析】根据相反向量的概念，逐项判定，即可求解.

rr

【详解】由题意，向量£花互为相反向量，可得。二人，且方向相反，所以C不正确，

可得二=」,，所以A不正确；可得£+B=0,所以B不正确；又山W=3,所以W=3.故选：D.

知识点02空间向量的线性运算

(1)向量的加法、减法

加法OB=OA+OC=a+b

空间向量的运算

减法CA=OA-OC=a-b0aA

①交换律：a+b=b+a

加法运算律

②结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

(2)空间向量的数乘运算

①定义：实数力与空间向量a的乘积—仍然是一个向量,称为向量的数乘运算.

当＞0时，当与向量。方向相同;

当时，个与向量。方向相反;

当a=o时，〃=9；痴的长度是。的长度的回倍.

②运算律

a.结合律：=〃(痴)=(九。0.

b.分配律：(2+分。=痴+〃。,X(a+b)=Xa+Xb.

【微点拨】空间向量加法、减法运算的两个技巧：

(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向

量首尾相接.

（2）巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的

方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.

【即学即练3】若空间中任意四点。，A,B,P满足丽=加丽+〃砺，其中m+〃=1,则（）

A.PGABB.P电AB

C.点P可能在直线AB上D.以上都不对

【答案】A

【分析】由已知化简可得入户=〃4后，即可判断.

【详解】

因为所以m=l一”,

所以丽=（1一〃）丽+〃而，即而一幅="（而一砺），

即AA=〃/密，所以而与南共线.

又而，而有公共起点A,所以HA,8三点在同一直线上，即PGA8.故选：A.

【即学即练4】.己知向量且入月=£+2B，BC^-5a+6b-C6=7%-M），则一定共线的三点是

（）

A.A,B,DB.A,B,CC.B,C,DD.A,C,D

【答案】A

【分析】计算某两个向量的和，与和向量共线的另一向量，即得结论.

【详解】

VBC=-5a+6b<CD=7a-2b'BD=BC+CD=2a+4b

又荏=£+25，所以丽=2通，即通〃丽，而荏，而有公共点B,

AA,B,〃三点共线，A选项正确；

AC=-4a+Sb'显然/，比，而两两不共线，选项B,C,D都不正确.

故选：A

知识点03共线问题

共线向量:

(1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平行向

量.

(2)方向向量：在直线/上取非零向量。，与向量a平行的非零向量称为直线/的方向向量.

规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量。，都有0〃a.

(3)共线向量定理：对于空间任意两个向量小仪厚0),的充要条件是存在实数2使a=肪.

(4)如图，。是直线/上一点，在直线/上取非零向量a,则对于直线/上任意一点P,由数乘向量定义及

向量共线的充要条件可知，存在实数人使得丽=痴.

【微点拨】利用数乘运算进行向量表示的技巧

(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量

转化为已知向量.

(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.

【即学即练5】如图，已知平行六面体—，E,F分别是棱G2，Bg的中点，记

AB-a,AD=b,AAi=c,则EF=（）

A.EF=—a+B+cB.EF^-a+b+-c

222

一1-一1一一1一一1一

C.EF=­a—b----cD.EF=----a+h+—c

2222

【答案】C

【分析】利用空间向量的线性运算即可求解.

【详解】EF=Eq+qF=^AB+C^+B^F

故选：C

【即学即练6】设„是空间两个不共线的向量，已知%分沅=51+4]，DC=-^-2^,

且A,B,。三点共线，实数上=

【答案】1

UUU1UUU

【分析】先根据点共线得到向量共线AD=；LA5,再利用向量的线性运算列方程求解即得结果.

【详解】依题意，丽=1+2耳\

故AD-AB+BC+CD=(q+ZeJ+(5q+4e,)+(q+2e,)=7q+(%+6)e2，

A,8,D三点共线，可设明=九浅，则7q+仪+6应=几（弓+加2），

[7=2

所以《"6=放解得E故答案为」

知识点04向量共面问题

共面向量：

（1）定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量.

（2）共面向量定理：若两个向量a,b不共线，则向量P与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实

数对（x,y）,使p=xa+vb.

（3）空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对（x,y）,使Q=x而+），/或对空间任意

一点O，^OP=OA+xAB+yAC.

【微点拨】证明空间三点共线的三种思路：

对于空间三点P,A,B可通过证明下列结论来证明三点共线.

（1）存在实数2,使西=2而成立.

（2）对空间任一点O,有而=砺+/而QGR）.

（3）对空间任一点O,有而=x35+y丽（x+y=l）.

解决向量共面的策略：

（1）若已知点尸在平面ABC内，则有/=》而+），/或而=x35+y而+z反，x+y+z=l,

然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数.

（2）证明三个向量共面或四点共面，需利用共面向量定理，证明过程中要灵活进行向量的分解与合成，将

其中一个向量用另外两个向量来表示.

【即学即练7】下列条件中，使点尸与A,8,C三点一定共面的是()

—■1―-2—■—■1--1—.1—.

A.PC=-PA+-PBB.OP=-OA+-OB+-OC

33333

________________UllUUULUlllUUIU1

c.OP=OA+OB+OCD.OP+OA+OB+OC=0

【答案】AB

【分析】根据四点共面的充要条件，若A,B,C,P四点共面

UUUULIUHUUUUU1UUUUUIU

oPC=xPA+yPB(x+y=1)。OP=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1),对选项逐一分析，即可

得到答案.

［详解］对于A：VOC-OP^^(OA-OP)+^OB-OP),

_____i__i__2_»2_.2_»i____i__2_.__.

OC-OP=-OA——OP+-OB——OP,；.-OP+-OP-OP=-OA+-OB-OC=0,

33333333

--1一2—

故0C=-Q4+—QB,故A、B、C共线，故P、A、8、C共面；

33

—.1—.?—■—.

或由=+得：PA，PB，而为共面向量，故P、A、B、。共面；

对于B：—I1—=1,故尸、A、B、C共面；

333

对于C：由而=砺+砺+反，1+1+1=3。1,所以点PhiA、B、C三点不共面.

UUUUUULUUUtl1UUUULUUllUUUU

对于D：由OP+QA+OB+OC=0，得0P=—QA—06—OC，而一1—1—1=—3。1，所以点尸与A、

B、。三点不共面.故选：AB.

【点睛】

关键点睛：本题主要考查四点共面的条件，解题的关键是熟悉四点A,B,C,P共面的充要条件

ULBlUUUliUUUUU1UUUUUIU

PC=xPA+yPB(x+y=1)=OP=xOA+yOB+zOC(x+y+z=1)，考查学生的推理能力与

转化思想，属于基础题.

知识点05空间向量数量积的运算

空间向量的数量积：

(1)定义：已知两个非零向量〃，b,则|a||b|cos〈a,b)叫做力的数量积，记作〃也即。心=同网醒(a,

b}.

规定：零向量与任何向量的数量积为。.

（2）常用结论（a,b为非零向量）

①aJ_b.

@a-a=|a||a|cos〈a,a〉二城.

a*h

=

③cos〈a,b}\一a\1\1b.\1.

（3）数量积的运算律

数乘向量与数量积的结合律Ua)b=X(ab)=a(Xb)

交换律ab—ba

分配律a(b+c)=ab+ac

【微点拨】在几何体中求空间向量的数量积的步骤：

（1）首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.

（2）利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.

（3）根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模.

（4）代入公式ab=|a||例cos〈a,b）求解.

【即学即练8】三棱锥A-BCD中，AB=AC=AD=2,ZBAD=90°,NBAC=60。，则血.而等于（）

A.-2B.2C.-273D.2G

【答案】A

【详解】试题分析：

CD=AD-ACABCD==ABAD-ABAC=0-2x2xcos60。=-2

知识点06垂直问题、夹角问题、距离问题

当）J.）时，:$=（）.夹角公式：cos^=jfll^l

a=（x,y），向量的模：向=4一=旧+y'

【微点拨】用向量法证明垂直关系的步骤

（1）把几何问题转化为向量问题；

（2）用已知向量表示所证向量；

（3）结合数量积公式和运算律证明数量积为0：

（4）将向量问题回归到几何问题.

利用向量数量积求夹角问题的思路

（1）求两个向量的夹角有两种方法：①结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向

a*b

量夹角的范围；②先求。彷，再利用公式cos{a,b）=।求出cos〈a,b）的值，最后确定〈a,b）的

值.

（2）求两条异面直线所成的角，步骤如下：

①根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量（即直线的方向向量）：

②将异面直线所成角的问题转化为向量夹角问题；

③利用数量积求向量夹角的余弦值或角的大小；

④异面直线所成的角为锐角或直角，利用向量数量积求向量夹角的余弦值时应将余弦值加上绝对值，从而

求出异面直线所成的角的大小.

求两点间的距离或线段长的方法

（1）将相应线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模.

（2）因为aa=|a|2,所以|q|=d，这是利用向量解决距离问题的基本公式.另外，该公式还可以推广

为|a±b|=±=yla2±2a-h+h2.

（3）可用"e|=|a||cosq（e为单位向量，。为a,e的夹角）来求一个向量在另一个向量所在直线上的投影.

【即学即练9】如图所示，已知P是AABC所在平面外一点，PA_LPC,P8_LPC,P4_LPB,求证：在

平面ABC上的射影〃是A4BC的垂心.

p

B

【答案】证明见解析

【分析】根据垂直关系得数量积为0,进而得丽,平面P8C,可得加.前=0,得AH_L5C,同理

可证8"，AC,CHLAB从而得证.

【详解】

•••PA1PC,PB1PC,PA±PB,

uuuuu________

♦,•PAPC=0，PBPC=0,PAPB=0，PA_L平面PBC，

PABC=Q-

由题意可知，PH_L平面ABC,

•••PHBC=Q^PHAB=Q>P/7AC=0-

AHBC=（PH-PA）BC=PHBC-PABC=Q,

：.AH±BC.

同理可证5"，AC,CH±AB.

，”是AABC的垂心.

【即学即练10】如图，在空间四边形O4BC中，0A=8,AB=6,4c=4,BC=5,N。4c=45。，NOAB

=60°,求异面直线OA与8c的夹角的余弦值.

_3-2\/2

【r答案］±__2_

5

【解析】

【分析】由前^一而求出次.配，再由cos(OA,BC)=

RFI求解即可.

【详解】,BC=AC-AB

.♦.砺•=砺./一砺.而=囱.“际(弧叼_1叫网cos(两硝

=8x4xcosl350-8x6xcosl20°=24-16\/2

OABC24-16a3-2>/2

cos(OA,Bc'j

网园8x55

•••异面直线0A4BC的夹角的余弦值为3-2夜

5

【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于利用向量的减法运算以及数量积运算得出砺.耳心，进而求出异面

直线0A与8C的夹角的余弦值.

【即学即练11】

如图所示,在平行四边形ABCD中,AB=4C=l,N4CD=90。,将△ACO沿对角线AC折起，使AB与CO成60。角，

求B,。间的距离.

【答案】2或五

【分析】由题意先得到诙=丽+就+丽，然后两边平方根据数量积可得|丽F,进而可得|丽|,即为

所求的两点间的距离.

【详解】；NACD=90。，

ACCD=Q同理而•丽=()•

,/在三棱锥A-BCD中，48与CO成60。角，

：.<BA,CD>=60°或<BA,CD>=\20°.

又丽=丽+/+彷

I2।J2IJ2IJ2----------------------/—\

•［叫=B£）B£）=|BA|+|AC|+|C£＞|+23A.AC+2BA.CO+2AC.C3=3+2X1X1X（8A・C£）＞.

当＜丽,而＞=60。时，|丽『=4；

当＜丽,而＞=120°时，|丽（=2.

二|而|=2或|而|份|,即B,D间的距离为2或应.

【点睛】在空间中，求两点间距离或某一线段的长度时，一般用向量的模来解决，通过向量数量积的运算

可得所求结果.在本题中容易出现的错误是误认为丽，丽的夹角为60°，而忽视另•种情形，解题时一定

要分清两直线的夹角和向量夹角的关系.

考法01

【典例1】

给出下列命题：

①零向量没有确定的方向；

②在正方体ABOAiBCQi中，/=京；

③若向量£与向量坂的模相等，则£，坂的方向相同或相反；

④在四边形4BCC中，必有而+而=/.

其中正确命题的序号是.

【答案】①②

【分析】根据零向量、相等向量、向量和及向量模等概念逐一判断.

【详解】

①正确；②正确，因为而与葩■的大小和方向均相同：③w=w，不能确定其方向，所以£与坂的方向

不能确定；④只有当四边形ABCO是平行四边形时，才有通+而=/.综上可知，正确命题为①②.

故答案为:①②

考法02

【典例2】如图所示，在三棱柱ABC-AUG中，M是3g的中点，化简下列各式:

c

(1)AB+B\；

(2)AB+ByCy+C|C；

(3)AM-BM-CBi

(4)-AA^+AB-AM.

【答案】(1)AB+BA,=A4j*；(2)+QC=4C：(3)AM-BM-CB=AC'(4)

g丽+丽—丽=o.

【分析】

(1)利用向量加法的三角形法则即可求解.

(2)由通=4瓦，利用向量加法的三角形法则即可求解.

(3)利用向量减法的运算法则即可求解.

(4)利用向量加法、减法的运算法则即可求解.

【详解】

(1)AB+BAi=A4,.

(2)AB+BtC}+C,C=^4,5,+B,C]+CIC=A^C-

(3)AM-BM-CB^AM+MB+BC^AC-

(4)^A4^+AB-AM=BA7+AB+M4=AB+W+M4=6.

考法03

【典例3】已知忖=13,忖=19,卜+囚=24,则,一0=.

【答案】22

【分析】先由归+1的平方求出£石，再求1一8的平方.

rr2r2rrr2,r|2rr,r|2rr,

【详解】因为a+Z?=a+2a-h+h=4+2a-b+\b\=132+2«-Z?+192=242,

iirr2r2rrr2rr

所以2a力=46,4一人=a—2a-b+b=13?—46+19?=484,故a-b=22・

故答案为：22

【典例4】（多选题）在四面体P—ABC中，以上说法正确的有（）

----1-------2—

A.若A£）=§AC+§A5,则可知台心=38万

B.若。为AABC的重心，则所=g而+；丽+；无

c.若P4・BC=O，PC-A月=0，则p与必6=0

D.若四面体P-A3C各棱长都为2,M,N分别为PABC的中点，则|丽|=1

【答案】ABC

【分析】作出四面体P-A5C直观图，在每个三角形中利用向量的线性运算可得.

【详解】

―,1__2—._._._k_._.______,___

对于A,•：AD^-AC+-AB,.-.3AD^AC+2AB<:.2AD-2AB^AC-AD，:.2BD=DC，

，3丽=丽+反=而即..3丽=元，故A正确；

对于B，•.•。为AABC的重心，则逾+/+0心=6,

:.3PQ+QA+QB+QC=3PQ:.(PQ+QA)+(PQ+QB)+(PQ+QC)=3PQ,

:.PA+PB+PC=3PQ

即故8正确；

333

对于C，若丽•比=0，PC.AB=0>W'JPA.BC+PC.AB=0-

PA»BC+PC^AC+CB)=0..-,P/i.BC+PC»AC+PC»CB=0

PA»BC+PC»AC-PC»BC=0-A(PA-PC)>BC+PC.AC=0

CA.BC+PC»AC=0，AC-CB+PC»AC=0

AC»(PC+CB)=0,AC*PB=Q'故C正确；

对于O，：.MN=PN-PM=-(PB+PC)--PA=-(PB+PC-PA)

222

.­.\MN\=^\PB+PC-P^=^\PA-PB-PC\

■.■^PA-PB-PC^yJP^+PB'+PC2-2PA^PB-2PA.PC+2PC.PB

J22+22+22-2x2x2x--2x2x2x-+2x2x2x-^2y[2

V222

・J丽|=拒，故。错误.故选：ABC

【点睛】

用已知向量表示某一向量的三个关键点

(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.

(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始

点指向末尾向量的终点的向量.

(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.

考法04

【典例5】如图，己知E,F,G,”分别是空间四边形ABC。的边AB,BC,CD,D4的中点，用向量方法

证明:

A

（DE,F,G,"四点共面；

（2）B£>//平面EFG”.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】

（1）由共面向量定理得证.

（2）用线面平行的判定定理证明.

【详解】

证明：（1）如图所示，连接BG,

uuu____._.1___._.__.___.___

则nlEG=EB+BG=EB+—（BC+BD）=EB+BF+EH=EF+EH'

由共面向量定理知，E,F,G,H四点共面.

11-.1____1——

（2）因为£7/-AHAE--^D-AB=—（AD-AB）--BD,

乙乙乙乙

且E,H,B,£>四点不共线，所以EH〃BD.

又EHu平面EFGH,8OC平面EFGH,所以80〃平面EFG”.

如图所示，已知斜三棱柱—点M，N分别在AG和BC匕且满足•=%相,

BN=kBC（0^1）,判断向量丽是否与向量而，共面.

【答案】向量丽与向量而，福共面.

【分析】

由丽=丽一次，再分别将丽，㈤/表示为丽=(1-%)通+%配，AM=k(A^+AC),最后用共

面向量定理可判断.

【详解】

■.■AN=AB+BN=AB+kW-AB+k(AC-AB)=O-k)AB+kAC.

AM=kAC[=k(A\+AC),

~MN=AN-AM=(\-k)AB-kAA^,

，由共面向量定理知向量丽与向量而，羽共面.

M分层提分

题组A基础过关练

1.在下列结论中：

①若向量»共线，则向量£出所在的直线平行；

②若向量£4所在的直线为异面直线，则向量£出一定不共面；

③若三个向量c两两共面，则向量a,c共面；

④已知空间的三个向量),力[,则对于空间的任意一个向量方总存在实数x,y,z使得

UIVVI

p-xa+yb+zc-其中正确结论的个数是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】根据向量共线的概念、异面直线的概念及空间向量的基本定理逐一判断.

【详解】平行向量就是共线向量，它们的方向相同或相反，未必在同一条直线上，故①错.

两条异面直线的方向向量可通过平移使得它们在同一平面内，故②错.

三个向量两两共面，这三个向量未必共面，如三棱锥P-ABC中，两，方,定两两共面，但它们不是共

面向量，故③错.

根据空间向量基本定理，忑需不共面才成立，故④错.

故选:A.

—3—1—1—

2.已知。为空间任意一点，若。P==04+-08+-OC,则ARC,P四点（）

488

A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.无法判断

【答案】B

【分析】由空间向量共面定理的推论可得，若丽=。砺+心而+。反，满足a+b+c=l,则

四点共面可判断.

【详解】由空间向量共面定理的推论若丽砺+人而+c反，满足。+匕+。=1，则A,8,C,P四点共

—3—1—1—31I

面，VOP=-OA+-OB+-OC,而己+—+—=1,故A,B,C,P四点共面.故选：B.

488488

3.已知:与］不共线，则存在两个非零常数加，n,使%是7，）,［共面的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据平面向量的基本定理及充分条件、必要条件的概念判断.

【详解】若i与］不共线，根据平面向量的基本定理，则存在两个非零常数机、〃，使/=/+〃），所

以1与；，7共面；

若存在两个常数“2,"，使％=加+，"2,〃不--定非零.故选:A.

4.如图所示，在平行六面体ABCD-AiBiGDi中,E,F,G,H,P,0分别是4A,AB,BC,CCi,C\D\,

A-EF+GH+PQ=OB-EF-GH-PQ=O

c-EF+GH-PQ=QD-EF-GH+PQ=Q

【答案】A

【分析】通过相等向量进行平移，将游，国，历平移后可以首尾相接，最后得出结果即可.

【详解】由题图观察，£工质,%平移后可以首尾相接，故有£>+国+%=人

故选：A.

5..如图，在平行六面体A8C£>-AbC77中，设A»=Z，AD~b<AA=c>则下列与向量H忑相等的

A.—a+b+cB.—a—b+cC.a-b-cD.a+b—c

【答案】D

【分析】利用空间向量的运算求解即可.

【详解】在平行六面体ABCQ-AbCTT中，Xc-XA+AB+^C-a+b-cD.

rr

6.己知非零向量£石不平行，且。=匕，则£+5与£-5之间的关系是()

A.垂直B.同向共线C.反向共线D.以上都可能

【答案】A

【分析】作£+5与方-6的数量积即可.

【详解】因为(Z+B)•伍一耳=7-7=停用2=0,所以£+」与力垂直.故选:A

7.已知向量3，B是平面a内两个不相等的非零向量，非零向量£在直线/上，则£."=()，且=2=0是

11a的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据线面垂直的判定与性质定理，若L平面a,则有7"=0,bc=O>若。〃力，则反之不对.

【详解】若/_1_平面a,则c_La，c_LZ?，所以a-c=O，be=0<

反之，若74,则"J_Z，clb'并不能保证/J■平面a.

故选：B

8.若向量而垂直于向量£和坂，向量〃=+eR,办wO）,则（）

A.m//nB.mlnC.加i既不平行也不垂直D.以上三种情况都可能

【答案】B

【分析】由条件可以得到而工=0，即可选出答案.

【详解】因为机♦〃=机・（几”+闷=强/+〃，"=0,所以而J.3.故选：B

题组B能力提升练

i.（多选）设2瓦）是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题正确的是（）

—•—•—•——«-♦I—*I/—•—•

A.（a-b）c-（c-a）b=0B.\a\=\ja-a

c.ab=i"aD.函+2分（312W=9p1-4同

【答案】BD

【分析】根据平面向量数量积的运算律判断.

【详解】因为数量积不满足结合律，故A不正确；由数量积的性质可知B正确，C中结论不一定成立，D

运算正确.故选：BD.

UUU

2.在平行六面体ABC。-AgGA中，下列各式中运算结果为4G的是（）

A.丽-泪+南，B.AB+BC+CQ

C.AB-QC+B^D.羽+加+瓦，

【答案】BCD

【分析】利用向量加法、减法以及向量的可平移性逐项进行化简计算即可得到结果.

【详解】如图所示:

A.随一^■+南=涵+砺+南=防+宿=*工离，故错误;

B.AB+BC+CCt=AC+CCt=ACX,故正确；

c.AB-qc+^q=A8+cq+^q=Aq.故正确:

D.丽+方+航=羽+牺+瓦C=西"，故正确.

故选：BCD.

3.若工友工是空间任意三个向量，A&R,下列关系中，不想妥的是（）

A.\a+b\=\b-a\B.(a+b)-c-a-(b+c)

C.A(a+b)=Aa+AbD.b-Aa

【答案】ABD

【分析】根据空间向量加法法则、数量积的运算律、向量数乘法则和共线向量定理分别判断各选项.

【详解】由向量加法的平行四边形法则，只有即GZ=o时，都有|£+刈=Z-£|,A不成立;

由数量积的运算律有（a+l>c=a-c+9c,a（b+c）=a-b+ac,与石i不一定相等，B不成立;

向量数乘法则，C一定成立;

只有£石共线且时，才存在2,使得5=义£，D这成立.

故选：ABD.

4.（多选）若4,4C不共面，则（)

A.B+c,B-c,a共面B.B+c,B-c,2B共面

C.B+CMM+B+C共面D.a+c,a-2c,c共面

【答案】BCD

【分析】根据空间向量基本定理逐-判断是否共面即可.

【详解】

；=(B+c)+(B-c)，,5+c,5-。,2石共面，故B正确;

a+B+c=(B+c)+a,二B+c,a,a+B+c'共面，故C正确;

•；a+c=(a-2c)+3c，，a+c,a-2c,c共面，故D正确.

A=1

对于A选项，若设B+c=X(B—c)+〃a,则B+—4c+〃a得"-%=1,故无解，因此B+c,B-c,a不

〃二0

共面.故选：BCD.

【点睛】本题考查了空间向量的基本定理.

5.给出下列命题：

①若|初=|5|,则〃=方或万=—5；

②若向量G是向量5的相反向量，则|矶=|5|；

③在正方体ABCD-ALBICQI中，；

④若空间向量疣,“，万满足应=五，万="，则成=万.

其中正确命题的序号是.

【答案】②③④

【分析】根据向量模长、相反向量、相等向量的定义判断即可.

【详解】对于①，向量M与5的方向不一定相同或相反，故①错；

对于②，根据相反向量的定义知|团=出|，故②正确；

对于③，根据相等向量的定义知，*=而|,故③正确；

对于④，根据相等向量的定义知④正确.

故答案为：②③④

6.如图所示，在平行六面体ABC。-44GA中，4Gnqa=/，若赤=》通+）；亚+Z丽，则

x+y+z=.

【答案】2

【分析】题中儿何体为平行六面体，就要充分利用几何体的特征进行转化，

存=血+瓯+即=题+瓯+g丽，再将丽转化为而，以及将丽转化为通，瓯=瓯,总

—1

之等式右边为入分，AD-AA,从而得出x=y=5，z=l

【详解】

因为而=砺+函+所=通+西

=通+瓯+g（硒一晒）

一一1一1一

=AB+BB+-AD——AB

t122

1一1一一

=-AB+-AD+AA.,

22"

又通=1通+通+zR，

所以x=y=2，z=l，

则x+y+z=2.故答案为：2.

【点睛】要充分利用几何体的几何特征，以及将丽=x通+而+zZ4i作为转化的目标，从而得解.

7.已知耳，耳,用是空间单位向量，e,-e2=e2-e3=e3-et=,若空间向量万满足不=工4+y&(x,ye7?),

同=2,贝丽闾的最大值是.

【答案】空

3

【分析】由区『=4可构造出符合基本不等式的形式，求得(x+y)2的范围；根据向量的数量积运算可求得

展&=；(x+y),利用(x+y)2的范围可求得所求最大值.

222222

［详解］..•同=|喝+,司=2，.二同2=x?1+2xye1-e2+ye^=x+y=(x+y)-xy=4,

显然，当孙>0时，(％+y)2最大；

z、2］6

当x>0,y>0时，个=(x+y)2—4£立工(当且仅当x=y时取等号)，.•.(x+y)2

k2Ji

当X<0，,<0时，肛=(_x)(_y)=(x+y)2_4〈(z^l2)=("；)')(当且仅当T=一"，即X=。

时取等号)，4可；

)1A

综上所述：(X+>)一<不;

a-e3=(x«+ye2)-e3=xet-e3+ye2-e3=—(x+y),

；.|万闾=gk+y|=gJ(x+»455，闾的最大值为2,，

2百

故答案为:

亍

【点睛】关键点点睛：本题考查向量模长的相关问题的求解，解题关键是能够利用平方运算将模长转化为

数量积运算的形式，结合基本不等式求得最值.

uum2uuur

8.如图，四面体ABC。中，M、N分别是线段3C、的中点，已知AG=—AM,

3

(1)NM=-(NB+NC)；

2

(2)NM=DB+-AC；

2

(3)NG=^NA+NB+NC)；

(4)存在实数x,y,使得布=》而+丁反.

则其中正确的结论是.（把你认为是正确的所有结论的序号都填上）.

【答案】（1）（3）

【分析】

（1）由于M是线段3C的中点，可得利=!（而+近）；

2

（2）取的中点E，连接EN,EM.而府=庵+百/=!恁+,丽，即可判断出；

22

（3）利用初=+而4=g祝5=（（福一两），及（1）即可得出；

UUU2UULT

（4）由于〃、N分别是线段3C、AO的中点，AG=-AM,可得NG与平面OBC不平行，得出不

存在实数x,使得标=x而+y反.

【详解】

解：（1）是线段BC的中点，，丽=工丽+祝）,正确:

2

（2）取CD的中点E，连接EN,EM.则两=诟+两=’部+!而，因此不正确;

22

（3）

=W+MG=W+1M4=W'+|（M4-W）

=|xg（循+配）+；丽=；（而+配+福），因此正确；

UUH7uum-

（4）•.•M、N分别是线段8C、A。的中点，AG^-AM,

.•.NG与平面D8C不平行，

二不存在实数%,丫，使得而=*丽+丫反.

综上可得：只有（1）（3）正确.

故答案为：（1）（3）.

题组C培优拔尖练

1.已知空间四边形0ABe中，ZAOB=ZBOC=ZAOC,且0A=0B=0C,M,N分别是04,BC的中点,